数学思维活动的本质是什么？

开门见山给出结论，数学思维活动的本质就是在数学思维方法论指导下的合情合理的(运动)变化。

数学解题思维的最高宗旨就是变化(变换)，不仅要灵活变更问题的形式，而且要灵活变更解题者的思维。

数学思维活动的哲学基础

数学思维活动的哲学基础是辩证法，特别是辩证法中的运动观，运动是绝对的，万事万物都在运动，都在变化，唯一不变的就是变化，思维活动显然也是运动，所以辩证法的运动观也适合思维活动。

对辩证法的理解，再升华一下，其实整个辩证法都在讲运动变化。

运动观显然是，联系观虽然表面上是讲联系，但关注联系的目的是为了什么？也是为了更好地运动变化，例如利用联系来办事，来解决问题，来通讯交流。矛盾观也是如此，研究矛盾的目的，是为更好地利用矛盾的相互联系，相互转化的特性。例如数学中的”数”与”形”就是一对矛盾，数学中的数形结合思想就是运用了这一对矛盾可以相互转化的特性，转化就是运动。否定之否定，描述的就是循环往复螺旋式发展的运动变化。质变量变，变化就是运动。辩证思维也是如此，强调考虑问题要灵活变通，要周全系统。

可见整个辩证法就是变化法，运动变化的大法。变中有不变或相对不容易变化的东西，这就是我们研究的各种规律，包括本系列研究的数学思维之道，它是思维的规律。掌握规律后就相对容易把握运动变化。易经中有三易：变易，不易，简易，和这个道理是类似的。

数学思维活动中的变化

穷则思变，变则通，变化才有出路，才可能峰回路转。高手要像西游记孙悟空那样，掌握多种变化手段，要会灵活地变化。数学思维不能呆板、机械、教条，根据具体问题具体情况随机应变。体会下孙悟空和二郎神斗法时，他们俩的变化就体现了变化的灵活性、多样性和辩证变通。

数学思维活动中的变化，体现在思维的形式和思维的内容两个方面。思维形式是外在的，决定怎么想，例如是联想，还是类比，还是归纳，还是逆向思维；思维内容是内在的，主要是想什么，想的内容，例如想到三角形的某些知识，想到某个数学方法，比如配方法、待定系数法。

第一个是思维形式的变化。思维形式有很多种，缩小到数学思维领域，常用的思维形式，不是分类，例如联想、类比、抽象、逻辑思维、归纳、形象思维&具象思维、逆向思维、辩证思维、直觉思维、灵感思维、感性思维、理性思维、溯源思维、横向思维、发散思维、聚合思维、创新思维、破局思维、试验探索思维、优先级思维、变式思维等。还有更基础的，比如分析、综合、比较、推理、判断等。思维形式的多样性，就决定了思维活动肯定是变化无穷的。思考一个问题，其思维活动可能主要使用了联想，换另一个问题，可能要改变下思维形式，不能用联想，可能主要使用类比。当然多种思维形式一般是综合使用的，也就是一个问题，要使用多种思维形式，可能开头要用或适合用联想，后面要用其他思维形式。这就是思维活动中的变化。

在思考和解决一个问题的思维活动中，如何在适当时间选用适当的思维形式和综合多种思维形式，也就是对思维形式的编排(组织)。此时就要掌握思维策略和思维监控。我们考试时优先做简单题，后做难题就是做题的策略。思维也讲策略，例如辩证思维指导下的正难则反，具体与抽象(抽象问题不好解决就具体化，具体问题不好解决就抽象化)、一般与特殊、复杂与简化/简单，等等诸如此类的相互转化策略。还要有思维监控。思维监控从监控两个字的字面意义很好理解。思维策略和思维监控，目的是对思维活动进行编排、组织、调节、控制，不让思维出轨，保证思维的正确方向和效率。思维策略和思维监控也是运动变化。

第二个是思维内容上的变化，包括思想方法的变化。思维的内容更加丰富，例如想到蓝天、想到白云，想到数学中的勾股定理。在数学思维活动中，一会想到数学知识(勾股定理)，接着想到另一个知识(二次函数)，这就是思维内容上的变化。

在思考问题，该想的不想或想不到，或想了没用的内容，这就是在思维内容上出了问题。提到思维的内容，就必须要提到数学思想方法，它的定义就不讲了。

思想方法和思维形式的联系与区别，市面上几乎没有人和书讲清楚讲透彻。本人头条上文章已经作了详尽的阐述。这里简略讲一下，思想是思维(活动)的结果，思想可以粗暴理解为一种观念，一种意识习惯。思维形式决定思维的外在形式，外表看上去的形式，例如正向思维和逆向思维，外在形式就不一样。思维形式也一定程度上决定思维的内在，也就是思维的内容，例如采用形象思维，那思维的内容通常就限定为形象类，比如图片，图表，视觉印象等，而较少为文字内容。而思想方法主要就是针对思维的内容，例如两个诗人看到秋天的落叶，他们俩都是用联想思维，悲观思想的诗人想到悲凉的内容，乐观思想的诗人想到丰收的内容。

思想方法也有很多，比如熟知的各种唯心唯物思想。缩小到数学思想领域，其思想方法大致有：转化&化归、数形结合思想、方程思想、函数思想、关系思想、分类讨论、构造、特殊化、临界思想、比较、运动、整体思想、(局部)调整思想、算两次、逼近思想等等。

数学思想方法主要针对思维的内容：

1.引导我们想到合适的思维内容，产生思维的内容。

例如方程思想指引我们的思维内容往方程的发现想问题，找等量关系列方程。关系思想指引 我们想到各种关系，指引我们寻找隐藏的关系。”构造”思想会指引我们去想法构造出一个数 学模式或数学模型。

2.筛选、限定、排除&裁剪思维的内容和内容类型。

3.对思维的内容对象进行各种处理和变换。

例如分类讨论思想，对思维的内容对象进行分类或分组处理。转化思想，将涉及到的对象转 换为其它形式。运动思想，让思维内容对象在运动中考察，或让它运动变化，例如让x从小 到大变化，对几何图形进行平移变换。

思维和思想要指导具体的实践，要反应到实践层面的变化和行动操作上来。

具体操作层面的变化

拿数学解题实战来举例，解题思维活动和解题方法的每一步都是在变化，逐步向结论靠近。联想思维产生的内容，通常要写在纸上，纸上的内容就有了变化。转化思想指导下，对问题进行各种变形或换元等，这都是运动变化。

再摘录本人简书文章中的一段话，作为补充，和本文其他内容有些重复，如下。

数学家波利亚认为，”解题的过程就是不断变更问题，不断诱发灵感的过程。”。

波利亚的见解非常本质，但见解的层次还不够高，我们还要从思维方式层面和思想方法层面进行变化，这样才能最终引发解题操作层面的变化，也就是对内容和操作(例如变形)产生变化，否则解题操作层面的变化很可能是自发的盲目的，例如对代数式进行无目的的变形操作，碰运气。

变化就是运动，可见辩证法中的运动观也是统领解题思维的，万事万物都在运动变化，唯一不变的就是变化，要会灵活的变化。要变化，首先思想上要开悟，思想上始终要有变化的意识，先要有意识。要自觉而不是自发地变，有目的地变有意图地变(变什么、变哪里、何时变，在哪一步变，时机)，而不是瞎猫碰到死老鼠或守株待兔，要偶然变自然变必然。要有意图有目的地变，一般是在解题过程中观察，发现问题特征和模式(面向特征和模式驱动的解题策略)、通过矛盾分析法、常规的分析综合法、辩证思维、合理猜想等方法识别出变化的意图和目的，也就是知道要变怎么，变哪里、变化的时机。接下来，变更的意图和目的要通过技术手段和方法来实现。变更问题有多种方式手段，例如转化问题、几何题添加辅助线、进行几何变换(旋转、平移、对称、伸缩、位似、反演、射影)，构造模型、代数式的恒等变形或换元，一些基础的数学方法例如配方法、消元法、数学运算例如加减乘数&平方开方运算、分解与重组，从问题的特殊形式到一般形式，从原始问题抽象出本质问题，这些都是在变更问题;对应地，在解题过程中，我们的思维活动和思维模式也在不断地变化调整，例如由此及彼地联想，从A事物想到(变到)B事物，从正向思维变到逆向思维。

在解题懵圈卡壳时，一个重要的技能就是在反思的基础上多维度发散思维，自己和自己对话，多问问有哪些数学方法，有哪些思想方法和思维模式，它们之中还有哪些没有使用？还能变怎么(变更问题形式、变更解题使用的数学方法、变更思想方法和思维模式)，还能变哪里，还能怎么变，还有哪些已知条件没有使用或没有用好。这也适用于一题多解或问题推广。

运用辩证法中矛盾对立统一相互转化的辩证思维和辩证思维词汇表都是为了指引我们变化。要灵活地变化就要会辩证思维，理解辩证思维的本质，反者道之动，弱者道之用。反者道之动：思维之道在于辩证，在于循环往复的灵活变化，善于运用矛盾对立双方的相生&相互转化，本系列的数学思想方法、解题策略以及前面整理的辩证思维词汇表都是启发我们的辩证思维。弱者道之用：思维的运用之道，要注意领悟其微妙，思维要有柔韧性，要灵活变通，脑子要会转弯，不能刚性思维，机械固执，不能拘泥于固有(已有)的问题形式或固有的思维方式与思想方法，要根据实际情况善于变化问题、思维方式和思想方法，同时也是因为没有那种数学思想方法可作为银蛋用来解决所有问题，思维没有固定的模式。

探索法与变化

数学解题过程关键在于探索解题方法。重温下数学思想方法揭秘-1(原创)中提到过的”数学解题思维的本质和最高准则就是变化(变换)',辩证法中所讲的运动变化，唯一不变的是变化。解题的每一步都是在进行变化，一步步变出结论和答案，逐步向结论和答案靠近。从最初不知道问题答案(结论或证明)到最后知道答案，这就是变化，从未知变成已知。在解题过程中，大脑在不停地运转，不仅大脑中的思维模式和思维内容要变化(虚：无形的思想意识、精神上的、思维活动的运动变化)，例如进行由此及彼的联想、从具体到抽象的切换、转化或化归，变换问题的形式和目标。大脑思维从此跳到彼就是变化；而且在解题中还要善于对题目中的数学对象进行各种变化(实：实体的有形的数学对象的运动变化)，例如几何图形添加辅助线，对几何图形进行旋转平移等变换。对代数式进行各种变形(例如换元或等号左右两边移项)、对多个数学对象进行组合变换，例如两个方程式相减、相加、相乘。数学思想方法、解题策略、辩证法以及我们总结的辩证思维词汇表都是为了更好地指引我们探索合理的有章法的灵活的变化，它们是指导如何变化的道、法、术，整个数学思想方法揭秘系列文章其实都是在讲如何变化怎么变化。

解题探索离不开变化。波利亚：'如果不变化问题，我们几乎不能有什么进展'。在《怎样解题》中，波利亚也给出了变更问题的一些手段，如回到定义去(回到概念定义，联想到概念定义的内涵和外延，例如题目中有垂直，我们就想到垂直的定义和涵义)、引入辅助元( 加辅助线、辅助变量和未知数、辅助问题、证明辅助的引理)、分解与重新组合、特殊化、一般化(普通化)等“。

穷则思变，没有出路或碰壁时，我们不能坐以待毙，要想办法，要变化(改变)，更要会变化。虽然知道要变，但很多人没有掌握变化的方法论和技巧，大脑中不知道有哪些帮助我们探索变化的方法，不知道有哪些变化的方向和对象。对难题，变化须臾不可离，不会变化，我们在解题过程中几乎寸步难行。

解题过程中如何变化，如何探索解题方法？

前面的系列文章也提到过变化，提到过辩证法、辩证法就是变化法、提到过各种思维方法(辩证思维、发散思维、批判思维等)、数学思想方法和解题策略略以及辩证思维词汇表都是用来帮助我们在解题思维过程中思考问题：引导启发我们的思维和思路，调整我们的思维和思路，帮助我们找到变化的维度和方向，进一步找到进行变化的具体操作，从而探索出解题方法。

数学解题的本质就是不断地变化，不断地变更问题的形式，不断地变更思维方式和思想方法，其变化既有变化的技术也有变化的艺术。本系列从更高的高度，从辩证法辩证思维、数学思想方法和解题策略的高度给出了如何变化的方法论。

探索法就是不断探索解题方法之路的过程，主要特点就是不断地变更问题，不断地进行调整的过程：不断地反思和否定和否定之否定，不断地变化我们的思维方式和思想方法，变化我们看问题的维度，变化问题的表象形式，不断地变化我们的解题操作，不断地结合反思和解题策略进行思维上的变化和改变。变化就是运动，在运动中凸显问题的破绽和突破口，在变更过程中寻找题目中的破绽和突破口，寻找灵感,寻找解决问题的手段、机会。

我们要学习孙悟空，会灵活地辩证地千变万化，思维要会变通，手段要会变通。

做(do)什么，怎么做就包括了所有具体的行动，例如想什么、怎么想、变什么、怎么变。本系列文章就是为了阐释如何用数学思想方法论来指导数学研究和数学解题过程中做什么、怎么做的问题。例如在几何题中运用关系思想，那就要根据关系思想的指导，去找几何题中的关系，就是关系思想教导的找关系发现关系识别，所以我们想到什么？想到要找关系！接下来，找哪些关系？怎么找关系？审题和观察，根据题目已知条件和图形特征，联想类比学过的数学知识、数学定理、做过的题目题型和先前的经验，大脑中可能会闪现找全等关系、相似关系、比例关系、各种相等关系(角相等、线段相等)、数形关系、或其他关系中的一种或几种。如果觉得没有找到好用的关系，那就按照关系思想教导的，主动想办法去构造关系，去改造关系，去改善关系，所以就想法加辅助线或进行几何变换，如平移变换，旋转变换。这些都是在数学思想方法论中的关系思想的指导下解决想什么和怎么想的问题，运用其他数学思想也是如此这般，比如解题碰壁，想到本系列文章中提到的”反思”，调整思路，想到打破思维定势，接下来才是思考如何反思，再比如观察，在本系列文章中提到要观察，那你在解题时就要想到”观察”，接下来才是观察什么，怎么观察。

(运动)变化观指导下的解题实战

数学思维活动的运动变化观不是空对空的玄谈，在解题方法层面，它是可以直接指导我们的解题操作的，这里摘录本人简书文章中几道题来举例如何变化。

第一题

此题有两种方法，多看看第一种方法，体会如何运用数学解题思维的终极原则。

第一种方法如下图。

在此题中，换元就是一种变化，一种变更问题的方法，它改变了题目的表象形式。刚开始换元之后，没找到突破口，问题没有实质的改善，还是觉得前路茫茫，不知道下一步如何走，此时就要继续变化和反思：是否不应该用换元法、是否继续变化，如何继续变化。对这道题，我们选择继续变化，观察换元后的式子，发现它们具有幂指数的形式，共性。所以就联想到指数的逆运算对数，故我们下一步的变化就是取对数，这个取对数就是解题操作解题行动。

在数学思想方法揭秘-13讲述数学解题思维的最高宗旨就是变化(变换)时提到：'讲述在解题懵圈卡壳时，一个重要的技能就是在反思的基础上发散思维，自己和自己对话，多问问自己下一步还能变怎么，还能变哪里，还能怎么变。这也适用于一题多解或问题推广。”。关注来龙去脉，从哪里来到哪里去，是怎么来的，怎么去的，在数学思想方法揭秘-17后记2(原创)中讲溯源思维的最后也提到过。

还能变哪里？还能怎么变？可得到第二种方法，如下图，和第一种相反，第一种是取对数，第二种是用指数幂。

观察比较方程等号左右两边的结构形式，差异较大，左边是多级指数幂，而右边是普通数值。合理设想：改变它们的形式，缩小差异或对齐两者的结构形式，也就是我们的行动方向是缩小这种差异，最好能一致(对齐)。

这题中也运用了前面系列文章中讲过的基于特征的思维（观察发现特征【包括题目条件中的特征和解题过程中发现的特征】、识别特征、基于特征来展开思维活动，例如辩证思维、联想类比、数形结合、抽象、转化等来利用特征，利用好特征），324是平方数，幂指数形式等就是我们发现的特征，在这道题中都利用上了。取对数进行变形是基于幂指数特征进行思维活动得出的一种变更问题的手段。

这道题首先要有变化的意识，要想到变化。

第二题

已知x、y为正数，且满足3x+4y-xy=0，求x+2y的最小值。

提供两种方法。

第一种方法是消元降维，再用整体换元(换为t)，结合使用一元二次方程判别式法。

第二种方法。

“数学解题的本质就是不断地变化，不断地变更问题的形式，不断变化我们的思维”。这句话是数学解题思维的终极原则和总的指导思想，是数学思维活动在哲学辩证法意义上的本质概括，也是辩证法运动发展观在数学解题中的具体化的变现，变化问题形式和变化人的思维都是辩证法中的运动形式，辩证法就是变化法，我们要学习孙悟空灵活自由的变化。变更问题就是变化客体，题目和问题是客体，题目解不出来就变题目，变换一下题目的形式或先换个有联系的简单些的题目来练手得到经验启发或做铺垫；不断地变化我们的思维是变化主体，人以及人的思维活动是主体，解数学题特别是数学考试显然不能找人帮忙替考，只能是改变调整人的思维，一计不成再生一计。数学解题中，变化客体(题目)显然首先要改变主体(人) ,也就是思考者要主动改变自己的思想观念和思维方式，否则不可能改变客体，这也是”我思故我在”的一种场景。

具体如何变化，就是多维度地发散思维，系统化地寻找各种变化的途径和方法，多反问自己还能如何变化，还有哪些变化的维度。

在这个终极原则的启发下，思考除了消元还能有哪些变化？

显然此时不会对x+2y进行变化，只能考虑对已知条件3x+4y-xy=0进行变化，我们选取变化的对象时抛弃x+2y而选择3x+4y-xy=0，这个扬弃本身也是运动变化。那对3x+4y-xy=0具体怎么变？加减乘除运算最容易想到(大脑思维从选择变化的对象，变到思考怎么变，这个也是变化)，逐一判断排除，选择用除法进行变形。怎么除？除以xy。可见整个解题过程，不仅看似无形的思维在运动变化，写在纸上的有形的解题操作也是一步步在运动变化，从开头第一步第一行逐渐变化出后续的多步解题过程，纸上的每一步自身也是运动变化，例如移项、相除，联想到柯西不等式后相乘、展开。

不限于数学解题，对任何类型的问题，如果先前熟知的思想、方法、策略、知识、经验、技巧等都失效，类似马斯克的第一性原理，一种惯用策略就是回到解题的本质，回到本源，回到定义，因为解题的本质就是变化，所以思想上就要回归本质：思考如何对问题进行变化，问问自己有哪些对象哪些维度哪些因素可以变化，还能怎么变，有哪些变化的手段，变化的方案和步骤是怎样的。结合反思，问问自己还有哪些思想、方法、策略、知识、经验、技巧没有使用，使用过的有什么特点，有什么不足，如何改进或跳出旧框框。反思也属于思维的运动变化形式之一。

思维活动中的合情合理

首先用一道题来介绍下合情合理的设想&猜想&构想&想象。

这道题，正余弦在分母中，分子为常数，我们根据这个特征，合情合理地结合我们所学的知识，柯西不等式，设想出柯西不等式模式，如下图的原创方法。美好的设想&想象&猜想要有，万一实现了呢。

一些不等式的证明，都可以用这种合情合理的设想，用到待定系数法，求出系数即可。在本人简书和头条上都有较多的例子。

合情合理的设想，可以训练。

1) 某题要证明a、b、c三个数中至少有1个数为5。不用反证法，用合理设想，你会设想出什么目标形式？

2) 要证明如下形式的结论：几何题，要证明

不只是合情合理的设想，延伸一下，数学思维活动本质上应该是合情合理的思维，例如合情合理的联想。合情合理的思维就是合乎情理，顺乎自然，圆融无碍，灵动变通，系统辩证的，体现辩证法的运动变化观、联系观、辩证的矛盾观和否定之否定的循环往复。即便是大胆想象和敏锐迅捷的直觉思维都是合情合理的，逻辑和直觉、想象不冲突，它们是辩证统一的，相互调和相互印证。逻辑&抽象思维、形象思维、直觉思维、灵感思维、联想、类比、试验探索、反思调整等相互融合，和谐共处。一些伟大科学家的直觉和大胆想象力，吃瓜群众(旁人)觉得是天马行空，不合逻辑。层次境界、知识结构、思维体系等不同，其实在他自己看来，是比较自然，合乎情理的。这里可以看看太极阴阳鱼图形，特别是动画，体会下合乎情理，顺乎自然，圆融无碍，灵动变通。

解题后的反思也涉及到合乎情理。对每道有难度的题，做完不是结束，最后还要反思，无论是否做出来都要反思，以便改进提高。反思的内容之一就是体会这道题的解题思维过程和解题方法，抛开表象，探寻本质和关键，回味&理解&提炼&吸收消化其中的合情合理的”味道”：

1.探索解题突破口时思维活动的合情合理；

2.关键步骤(关键解题操作)的合情合理；

这样做之后，心理上意识上就容易吸纳其中的本质精华，有营养的思维养料。

为何说是合情合理，而不是说合乎逻辑？这里就不讨论了。

思维方法方论体系

这个就不在这里阐述了，看本人简书。

总结

作为一个几十年不玩数学的业余人士，2年前开始业余时间写写自己对数学思维方法论的领悟，时间匆忙就不精雕细琢了。这也应该是最后的一篇文章了，该写的该讲的都在本人简书和头条上，这篇内容是从本人简书和头条上摘录汇总而成的。