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【小升初奥数专题】几何之五大模型(已更新完)
几何五大模型
一、五大模型简介
(1)等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等;
2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b;
3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图②所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b;
4、在一组平行线之间的等积变形,如图③所示,S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub];反之,如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub],
则可知直线AB平行于CD。
例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。
(2)鸟头(共角)定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;
2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点
则有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE)
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!
如图连接BE,根据等积变化模型知,S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB、S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,所以S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]:(S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC
,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC)。
例、如图在ΔABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,
△ADE的面积为12平方厘米,求ΔABC的面积。
(3)蝴蝶模型
1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
例、如图,梯形ABCD,AB与CD平行,对角线AC、BD交于点O,已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米,求梯形ABCD的面积。
2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
例、如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3,且AO=2、DO=3,求CO的长度是DO长度的几倍。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径,通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
(4)相似模型
1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似;
2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相
交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;
②相似三角形周长的比等于相似比;
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线!
例、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=16、AD=10、BE=4,那么FC的长度是多少?
(5)燕尾模型
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴,所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质:
S[sub]△ABG[/sub]:S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]:S[sub]△CGE[/sub]=BE:CE
S[sub]△BGA[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]:S[sub]△GCF[/sub]=AF:CF
S[sub]△AGC[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]:S[sub]△BGD[/sub]=AD:BD
例、如图,E、D分别在AC、BC上,且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,AD与BE交于点F,四边形DFEC的面积等于22平方厘米,求三角形ABC的面积。
二、五大模型经典例题详解
(1)等积变换模型
例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?
例2、如图所示,Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点,且DQ、CP、ME彼此平行,已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3,求阴影部分三角形PQM的面积。
(2)鸟头(共角)定理模型
例1、如图所示,平行四边形ABCD,BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD,平行四边形ABCD的面积为2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例2、如图所示,△ABC的面积为1,BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG,求△FGS的面积。
(3)蝴蝶模型
例1、如图,正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少?
例2、如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,求余下的四边形OFBC的面积。
例3、如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD的中点,F为CE的中点,G为BF的中点,求三角形BDG的面积。
(4)相似模型
例1、如图,正方形的面积为1,E、F分别为AB、BD的中点,GC=1/3FC,求阴影部分的面积。
例2、如图,长方形ABCD,E为AD的中点,AF与BD、BE分别交于G和H,OE垂直于AD,交AD于E点,交AF于O点,已知AH=5,HF=3,求AG的长。
(5)燕尾模型
例1、如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,求四边形BGHF的面积。
例2、如图,在△ABC中,BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC,那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍?
例3、如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E、F是BC的三等分点,若△ABC的面积是1,求四边形CDMF的面积。
三、巩固练习
1、如图,在角MON的两边上分别有A、C、E、B、D、F六个点,并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1,求△DCF的面积。
2、如下图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米,求三角形CDF的面积。
3、如下图,在三角形ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC,求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几?
4、如图,四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA,求四边形ABCD的面积。
5、边长为1的正方形ABCD中,BE=2EC、FC=DF,求三角形AGE的面积。
6、如图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积为11,三角形BCH的面积为23,求四边形EGFH的面积。
7、如图,三角形ABC是一块锐角三角形余料,BC=120毫米,高AD=80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件,是正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
8、如图,已知正方形ABCD的面积为120平方厘米,E是AB边的中点,F是BC边的中点,求四边形BGHF的面积。
9、如图,正方形ABCD的边长是12厘米,E、F分别是AB、BC的中点,AF与CE交于点G,求四边形AGCD的面积。
10、如图,在四边形ABCD中,AB=3BE、AD=3AF,四边形AEOF的面积是12,求平行四边形BODC的面积。
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