第27期三角形的内切圆

三

角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

运用于切线有关的性质，可得到三角形内切圆的很多性质，下面我们借助几个例题来说明三角形内切圆的性质：

例1

⊙O内切于△ ABC,切点分别是D.E.F.

已知∠ B=50°，∠C=60°，连接OE,OF,DE,DF,

则∠ EDF=_______.

解析：因为⊙O是△ ABC的内切圆，连接OE,OF,则OE⊥AC,OF⊥AB,由∠ B=50°，∠C=60°，可得∠A=70°，则易得∠EOF=110°，则∠ EDF=55°.

题记：⊙O是△ ABC的内切圆，连接圆心与切点，就有垂直的关系，进而可求解本题。

例2

如图，已知⊙O是三角形的内切圆，∠ A=80°，求∠ BOC=________

解析：⊙O是△ ABC的内切圆，则点是△ ABC三条角平分线的交点，如图，

则BO平分∠ ABC,OC平分∠ ACB，

则

题记：⊙O是△ ABC的内切圆，则点是△ ABC三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理可得∠ BOC与∠ A的一个数量关系，

例3

如图，RT△ABC中，，AC=6，BC=8，则△ ABC 的内切圆半径为r=_______.

解析：⊙O是△ ABC的内切圆，设切点分别为D,E,F，连接OD,OE,OF,则OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC,

由勾股定理可得AB=10.

方法一：连接OA,OB,OC,则OD,OE,OF,可分别看成△BOC, △AOC,△AOB的一条高，且OD=OE=OF=r,

方法二：易得四边形ODEC为正方形，则CD=CE=OD=OE=r,如图

则BD=6-r,AE=8-r,由切线长定理可得BF=BD=6-r,AF=AE=8-r,而BF+AF=6-r+8-r=AB=10，r=1/2(6+8-10)=2.

题记：方法一利用了等面积建立等量关系，从而求出线段的长，方法二借助切线长定理，利用斜边建立等量关系，两种方法在直角三角形的前提下都可以推广如下

在直角三角形ABC中，三边长分别为a,b,c

利用方法一，连接OD,OE,OF,OA,OB,OC可得

利用方法二，如图，

则CD=CE=OD=OE=r,则BD=a-r,AE=b-r,由切线长定理可得BF=BD=a-r,AF=AE=b-r,而BF+AF=a-r+b-r=AB=c，

  在同一个直角三角形中，我们得出了两个关于内切圆的半径的表达式，实际上，对于第一个式子，分子分母同乘以（a+b-c）得，且而在直角三角形中，a2+b2=c2

综上，我们得出了直角三角形的内切圆半径的计算公式，

在a,b为直角边，c为斜边的直角三角形中，内切圆的半径计算公式为

熟练掌握这个等量关系，可在有些计算过程中事半功倍。

练习

如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数y=k/x经过正方形AOBC的对角线的交点，半径为（4-2√2）的圆内切于△ ABC,则k的值为________.

解析：如图，而图中圆是三角形ABC的内切圆，则由内切圆半径与边之间等量关系可得

1/2(AC+BC-AB)= 4-2√2,

AC+AC-√2AC= 2(4-2√2),

(2-√2)AC=8-4√2

AC=4，则正方形的对角线交点坐标（2,2），k=4.

题记： △ ABC是直角三角形，四边形OACB是正方形，想求k的值，只需要求出正方形的对角线交点坐标代入反比例函数解析式即可.

中考直击

(2015 湖州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是(       ) 

A.CD+DF=4            B.CD-DF=2√3-3   C.BC+AB=2√3+4    D.BC-AB=2