第26期 几何定值

几何

定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：

分清问题的定量与变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的结论。

例1

（广东省中考题）

（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD,OE为圆O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，

求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1/3.
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，

求证：∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1/3．

思路点拨：对于（1），连OA、OC，则要证明S△OAC=1/3S△ABC，只需证明△OAG≌△OCF；对于（2），类比（1）的证明方法证明。证明略。

      从特殊到一般，从静止到运动，通过改变图形位置，探讨相应量或关系是否发生改变，这是几何定值问题常见的另一种表现形式。定值问题与一般几何证明的区别在于：定值问题的结论可以给出定值，也可以不给定值；若问题中已明确给出定值，则可通过图形的性质，经过推理或计算来解决；若问题中未给出定值，须探求出定值，并完成一般情况的证明。

例2

（深圳市中考题）

 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，☉M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D于两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若A的坐标为（-2,0），AE=8.

（1）  求点C的坐标；

（2）  略;

（3）  如图2，过点D作☉M的切线，交x轴于点P,动点F在☉M的圆周上运动时，OF/PF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

图1

图2

解析：

（1）（2）略

（3）易得OP=16/3，

当F与A重合时，OF/PF=3/5

当F与B重合时，OF/PF=3/5

当F不与A、B重合时

(想求OF/PF考虑相似三角形的对应边之比，通过题目对比还发现，OM/DM=3/5，OF/PF= OM/DM，而FM=DM，只需要证明以OF,OM和PF,FM为边的三角形相似，考虑证明△MOF∽△MFP)

实际上，连接OF,PF,MF,

由射影定理，DM2=MO·MP=MF2,∠FMO=∠FMO,

∴△MOF∽△MFP，∴OF/PF= OM/FM=3/5.

探求出定值是解决定值问题的关键，这是因为，若探求出定值，则解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明题。

   探求定值问题的基本方法有：

（1）特殊位置法

即从图形运动处于特殊位置时求得定值；

（2）极端值法

即运用运动变化观点考察图形运动变化至极限位置时的定值；

（3）直接计算法

恰当引入变量x建立与之适应的目标函数f(x),把问题转化为求解函数中的y与x无关的代数问题。

例3

（广州市中考题）

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A,B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G,H在线段DE上，且DG=GH=HE.
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在弧AB上运动时，在CD,CG,DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD2+3CH2是定值．

思路点拨   本题有多种解答方法，如上图，我们也可从另一个角度去思考，对于（3），设法把CH用CD的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。

解析：设OD=x,则CD2=OC2-OD2=9-x2，要表示CH2的长，可借助勾股定理，过H作HI垂直CE于I，则HI=1/3CD,CI=2/3x, CH2=HI2+CI2=1/9CD2+4/9x2=1/9（9-x2）+4/9x2=1+1/3 x2，3 CH2=3+x2，∴CD2+3CH2=9-x2+3+x2=12，为定值.

定值问题的结构特点，在于题设和结论中既有不变的几何量，也有变化的几何量，注意挖掘那些隐含的定量及变量，这是分析和解决定值问题的着眼点。

小结

关于几何定值问题有很多种分类，如定量：定长，定弧，定角，定比等，定形：定点，定弦等，本文不就分类去一一阐述，本文就实际问题从思维层面进行引导与分析，不管哪种类型的定值，尝试从思想方法的层面去思考而不仅仅局限于某道题的方法。