1、关于插班法的定义和使用条件:
插板法就是在n个元素间的(n-1)个空中插入 若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1)组的方法。
应用插板法必须满足三个条件:
(1) 这n个元素必须相同
(2) 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
【条件】把10苹果分给3个小朋友,每个小朋友至少一个,问有几种情况?
问题的题干满足 条件(1)(2),适用插板法,C9^2=36 。
例1 :把10个相同的小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
3个箱子都可能取到空球,条件(2)不满足。此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球,则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?
显然就是C12^2=66。
例2:把10个苹果分给3个小朋友,每个人至少有2个,共有多少种分法?
每个小朋友分至少分2个,肯定不满足条件2,所以我们进行了转换。
1)先让每个人分一个,剩下:10-3=7个;
2)而后从剩下的7个苹果中再分,保证每个人至少分一个:
所以最后的分法:C6^2=6×5÷2=15。
例3:(关于上次课堂例1的另一种解法)--------感兴趣的同学可以看看
利用补0的方法,让他们都变成4位数,然后使用插板法:
1)千位数有0:C12^2-3=63(之所以减去3,因为百位、十位和各位有可能是10,而这是不可能的。)
2)千位数是1:C11^2=55
3)所以2008排在:63+55+1=119
2、关于容斥原理的一些例题补充:
50名同学面向老师站成一行,老师先让大家从左至右按1,2,3,4,……,49,50依次报数;先让报数是5的倍数的同学向后转,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转,这时面向老师的同学还有几名?
接析:
根据我们的分析,最后面向老师的必然有两种:转且转过两次的和没有转过的。
上图中划红线的就是我们所要求解的。
1)转且只转过两次:A交B+A交C+B交C-3 A交B交C=4+2+1-0=7;
2)没转过的:
转过的有:A并B并C=A+B+C-A交B-A交C-B交C+A交B交C=12+8+10-4-2-1+0=23;
没转过的:50-23=27.
所以最后老师的还有:27+7=34。
附:有2000盏灯亮着的灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序标号是1、2、3……、2000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,再将编号为5的倍数的灯线拉一下,3次拉完后亮着的灯有多少盏?(答案:1002)
3、关于抽屉原理的一些例题和补充:
1)例7:(题目省略)
【分析】内外环对转可以看成一个是静止的,只有一个环在转动,一个环转动一周后,每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现,那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看成8个苹果,注意到一环每转动45度角就有一次滚珠相对的局面出现,转动一周共有8次相对局面,而最初相对的滚珠所标的数字都不相同,所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的7次转动中,将7次看成7个抽屉,根据抽屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一转动中,即必有某一时刻,内外环至少有两对数字相同的滚珠相对。
2)关于几何图形的抽屉原理:
如图是一个3行10列共30个小正方形的长方形,现在把每个小方格涂上红色或黄色,请证明无论怎么涂法一定能找到两列,它们的涂色方式完全相同。
【分析】根据题意,我们知道每一列涂上红色或者黄色共有以上8种情况(上图:注意图形的形状),我们可以将这8种情况看成8个抽屉,10列看成10个苹果。根据抽屉原理,有一抽屉至少有两个苹果。即:一定能找到两列,它们的涂色方式完全相同。
1、提高班:
1)(题目略)
从整体和极端的角度考虑:最大的上升数是:123456789,并且这是符合要求的。从中去掉若干个数可以组成新的"上升数"。因而我们可以理解为:从1-9这9个数种,任意取出不同的数一定能组成“上升数”。
法1:每个数要么取,要么留,因而共有2^9 =502种组合。
法2:也可以进行任意取数:C9^2+C9^3+……+C9^9=2^9-C9^0-C9^1=502.
(小结:2^n=Cn^0+Cn^1+……+Cn^9)
2)(题目略)
【分析】要使得相邻两数互质,也就是要求奇数和偶数相邻排列时,即可。但要注意3和6不能排在一起。
所以我们先将奇数(1、3、5、7)进行全排列P4^4,而后使用插空法,一共有5个空,优先考虑6,6只能有3个空可放,其余偶数(2、4、8)在余下的4个空进行插空P4^3。
步步相乘,共有:P4^4×3×P4^3=24×3×24=1728.
3)(题目省略)
【分析】和的范围是1-21,而这些和当中能被3整除,而不能被5整除的数是:3、6、9、12、18、21,另外3与18,9与12的选法数目一一对应。分别对应有2、4、5、5、2、1中选取方法,共有2+4+5+5+2+1=19种选取方法。
2、尖子班:
1)(题目略)
和的取值范围是9-45,另外观察到第一组加数除以3余数是1,第二组加数除以3余数是2,说明他们的和必然是3的倍数。
9-45是3的倍数的个数一共有:(45-9)÷3+1=13.
2)同提高学案3
3)(题目略)
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