作者介绍
胡典顺/ 华中师范大学数学与统计学学院教授，博士生导师，主要研究方向为数学课程与教学论。
雷沛瑶/ 华中师范大学数学与统计学学院硕士生，主要研究方向为数学课程与教学论。
刘婷 /广东省中山市华侨中学教师，主要研究方向为数学教学。
【摘 要】 借鉴PISA的测评框架，设计学生数学核心素养测评试题，并对学生的数学核心素养发展水平科学有效地进行测评，是教育测量领域面临的一个十分富有挑战性的难题。它的设计应以数学核心素养为导向，坚持实用性、科学性、规范性以及引导性等原则。为了更好地开展数学核心素养测评，应以人为本，关注学生的数学品质与能力；多维共建，在设计测评框架时兼顾科学性和适用性；精选素材，展现试题内容的真实性与创意；严谨编码，分析测评结果的个性与共性。
【关键词】 核心素养；数学；测评；试题设计；PISA
数学素养是影响学生个人成就与国家发展的重要因素之一，许多国家都十分重视学生数学素养的培养，并将它作为数学教育追求的共同目标。《美国学校数学教育的原则和标准》强调，在日新月异的现代社会，精通数学的人将比数学能力缺乏的人拥有更多创造未来的机会和可能性，也因此有可能享有更精彩的人生。[1]我国在新一轮的课程改革中，也十分重视数学素养的培养。《普通高中数学课程标准（2017年版）》中就提出了六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。然而，如何对数学核心素养进行测评，应该怎样科学地设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和分析问题、解决问题的能力，这无疑成为教育领域十分具有挑战性的难题。[2]
2000 年，由经济合作与发展组织（OECD）发起的学生能力国际比较研究，即“国际学生评估项目（PISA）”在国际上广为流行，并逐渐成为最具国际影响力的教学评价项目之一。PISA关注的是，当完成义务教育时，学生在多大程度上掌握了全面参与社会所需要的问题解决能力和终身学习能力，其测评重点聚焦在15岁学生的阅读素养、数学素养和科学素养上。[3]PISA的实践经验对评价以及提升学生的数学素养有着重要的意义，也为数学核心素养的测评提供了重要的参考。在大力提倡发展学生核心素养的今天，本文尝试借鉴PISA测评框架设计数学核心素养的测评试题，并展开评价与讨论。
（一）概念界定
PISA 2012对数学素养的标准定义如下：数学素养是个人在不同情境下形成、应用和阐释数学的能力。它包括数学推理能力和使用数学概念、过程、事实和工具来描述、阐释以及预测现象的能力。数学素养有助于个体作为一个关心社会、善于思考的建设性公民，识别数学在世界中所起的作用并做出有根据的数学判断和决定。[4]显然，数学素养是一种相对稳定的心理品质，但也存在很大的个人差异性。正是它的相对稳定性和个人差异性，才使得针对数学素养的测评得以实现。数学素养内涵中对真实情境的强调，一方面，是为促进学生的创新能力和实践能力寻找坚固的立足点；另一方面，是为了培养学生更好地适应当前的生活和面对未来生活的信心，以及适应社会高速发展的能力。
（二）测评框架
PISA测试框架分别从内容维度、过程维度和情境维度来考查学生的数学素养，详见图1。
图1 数学素养测评框架
1.内容维度
PISA数学素养测评框架中的内容维度包括：变化与关系、空间与图形、数量、不确定性与数据。这4个方面的数学内容是PISA参与国或地区就数学教育内容和学生成绩做国际比较并达成广泛共识后确定的。
具体来看，变化与关系涉及现实情境中离散的变化、连续的变化等各种变化关系，要求学生利用适当的函数或方程进行建模，创造符号或图示来表征关系，并阐释这些表征以及在表征间相互转换；空间与图形则涉及对图形的表征、测量，以及对图形的理解，接近学校几何课程的要求，但更多地要求学生在真实情境中综合运用数学知识，对图形进行操作和解释；数量是描述和测量现实世界多种特征类别的主要方法，主要考查学生对数量方面特征、关系的理解，要求学生基于数量的解释和推论做出判断；不确定性与数据主要应对传统课程领域中的概率和统计问题，要求学生学会收集数据、对数据进行分析、根据数据的结果对现象进行推断和预测等。
2.过程维度
PISA数学素养测评框架中的过程维度力图揭示学生在问题解决中的思维过程和在此过程中所蕴含的数学基本能力。问题解决的思维包括3个过程领域，即数学表述、数学运用和数学阐释。3个过程领域所蕴含的数学基本能力包括：数学交流；数学化；数学表征；数学推理和论证；设计问题的解决策略；使用数学符号、公式、语言；使用数学工具。
数学表述，即数学化的表述，是指将现实世界的情境转化为数学情境，以数学的结构、表征和方法解决现实问题。具体地说，数学表述是问题解决者努力明确该问题情境中相关的数学内容，根据数学概念和包含的数学关系进行简单的假设，并用数学语言进行表述的过程。
数学运用，是指个人运用数学概念、事实、步骤和推理来解决数学问题，并获得数学结论的过程。即在通过数学表述得到“数学问题”的基础上，问题解决者运用数学概念、数学步骤、数学事实和数学工具去获得“数学结果”。比如，进行代数运算、解方程式、从数学假设中得到逻辑推理、进行抽象运算、从图表中提取数学信息，展现和分析空间中的形状、分析数据等。
数学阐释关注的则是学生反思数学方案、结果或结论，以及在现实问题情境中解释结果的能力。这涉及转化数学方案，或往回推理到问题情境，判断结果是否合理、在问题情境中是否说得通。这一数学过程范畴包括了“阐释”与“评估”两个方面，学生需要在问题情境下，架构、沟通解释和论证，同时反思建模过程及其结果。
此外，每一个数学过程都有相应的7种基本能力。3种数学过程和7大数学基本能力相辅相成，共同构成了数学过程这一维度，它们之间的相互关系详见表1。
表1 3种数学过程与7种数学基本能力的关系
3.情境维度
数学素养强调学生在各种情境下表征、运用和阐述数学的能力。问题产生于情境之中，问题情境是指知识在其中得以存在和应用的环境背景或活动背景。本研究主要考查学生在现实生活中常见的4类情境，分别为个人情境、社会情境、职业情境和科学情境。
个人情境是与学生的日常活动直接相关的情境，这类问题是与学生关系最为密切的、曾经参与的、能够直接激活学生的知觉背景；社会情境是学生所在社区或更大的生活环境，与社会情境相关的问题要求学生了解周围环境中各个要素的联系，能利用数学对公共生活的各个方面进行理解、联系和评估；职业情境一般出现在学生的学校生活或者工作情境中，职业情境类问题要求学生在特定的工作环境中用数学解答的一些特殊问题；科学情境对大部分学生而言最为陌生，学生亲身参与体验的机会少，因为它可能涉及对一个技术过程或理论情境的理解，相对而言比较抽象，它既包括学生在课堂内经常碰到的相对抽象的数学情境，也包括课堂外广泛的科学背景中的问题。
综上可知，数学素养测评框架构建的目的在于通过多方面、分层次地评价，促进学生以及教师对数学素养形成准确、深刻而全面的理解，促进学生将数学学习与生活学习结合得更加紧密。这有利于学校决策者在设计教学活动时将提高学生数学素养有机地融合到决策中，营造一个以数学素养为中心、以活动为载体、以文化为内涵的学习环境，全面提升学生的数学核心素养。
对我国中学数学教育环节进行评价和审视，由此可以看出，学生在学校的学习活动中涉及的数学问题多是抽象、随意编制、与学生的真实生活远离的，许多数学问题多是脱离现实情境而设计的，只是小范围、有针对性地考查学生的知识掌握和运用情况，但学生走出校园后所面对的问题都是复杂多变的，因此，数学问题应该基于真实世界问题情境来设计（如图2）。
图2 数学素养的实践模型：
基于真实世界问题情境的挑战
基于真实世界问题情境设计数学问题，其目的有二：一方面，情境的真实性有助于激发学生的兴趣和主动性，情境的多样性、开放性和复杂性为学生尝试运用已有的知识和经验去寻找创造性解决问题的方案提供了足够的空间，有利于培养更有创造力的专业型人才，并能够培养更快、更好适应社会发展的社会公民；另一方面，真正做到了尊重学生的必然要求，由于学生自身先天条件的差异，接触数学教育的机会不平等，即使同一个班级学生的发展状况也各不相同，传统的、标准化的、脱离现实情境的数学问题会极大地挫伤学生的自信心，容易引发学生的学习无助感和无力感。脱离真实情境的评价也无法评估学生的真实水平，甚至否认学生的现有基础。
（一）设计原则
对于数学核心素养测评试题的设计，应该遵从如下4个原则。
1.实用性原则
以现实需求为基础，充分考虑学生发展的需要，设计相应的测评工具。
2.科学性原则
形成数据统计分析模式，保证测试工具的信度、效度，增强测试结果的科学性。
3.规范性原则
严格遵守国家教育法律法规，参考义务教育数学课程标准，充分考虑教学差异和学生差异，规范流程、严格操作，确保监测结果真实有效。
4.引导性原则
全面监测学生数学核心素养各方面，重点考查学生对情境的分析及结合各种情境评价学生的应用能力，培养学生的实践能力及创新能力，推进素质教育的有效实施。
（二）设计思路
数学核心素养测评试题的设计应该与数学课程改革的目标统一起来，这是为了将数学课程、数学教学和数学测评统一起来，做到以考促学，以达到共同发展学生核心素养的教育目标。建构以数学核心素养为导向的设计流程，应坚持以数学核心素养为导向，准确理解核心素养的内涵、具体表现及水平描述，以相应水平的质量标准来确立试题的测试目标，以实际问题为测试任务、以真实情境为测试载体、以数学知识为解决问题的工具。
在命题原则的指导下，借鉴PISA的测评框架，测评试题的设计应坚持以数学核心素养为导向，准确把握“素养”“问题”“情境”和“知识”4 个要素在命题中的定位及相互关系。其中，“情境”和“知识”同时服务于“问题”的提出和解决；“问题”“情境”“知识”3者之间存在密切的联系；情境的设计、知识的运用、问题的提出与解决应有利于实现对学生核心素养的测试。与此同时，测评试题的设计要运用考试测量技术，呈现不同陌生度的问题情境，搭建丰富、生动的测试载体，从正确性、严谨性、科学性、真实性等方面进行严格审核，将审核修改后的试题进行小范围试测，并对试测后的结果进行定性和定量分析后继续修改完善，最终确定正式试题。以数学学科核心素养为导向的设计流程详见图3。
图3 以数学学科核心素养为导向的设计流程
（三）设计案例
1.试题设计
2016—2017年间，笔者主持了深圳市龙岗区八年级学生的数学素养测评项目，以下案例就是笔者所设计的数字测试题中的一个问题。该问题是以4大数学内容领域中的“空间与图形”内容进行试题设计的。该题以“黄金分割”为切入点，主要考查学生的直观想象、数学运算两大数学核心素养，适合义务教育8年级及以上学段的学生。具体题目如下。
黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。视觉生理学的研究成果表明，具有符合黄金分割比的物体很容易给人呈现出最佳的视觉美感。世界上许多著名的建筑和美术作品中都包含有黄金分割比，比如古希腊的巴台农神庙、印度的泰姬陵、上海的东方明珠电视塔等（图 4、图 5、图 6）。
图4 巴台农神庙
图5 泰姬陵
【问题1】
如图6、图7所示，上海东方明珠电视塔高468m，上球体的球心C是塔身AB的黄金分割点，且上球体的球心到塔底部的距离BC比它到塔顶端的距离AC长，那么上球体的球心到塔底部的距离BC大约是多少米？（结果保留整数部分）
图6
图7
【问题2】
一般认为，如果一个人肚脐以上的高度与肚脐以下的高度之比符合黄金分割比，则这个人更具视觉美感。刘星的姐姐要去参加一个空姐选拔比赛，她的肚脐以上的高度为70cm，肚脐以下的高度为105cm，她准备穿高约8.3cm的鞋子去参加选拔比赛，你认为她能达到最佳的视觉美感吗？
2.设计思路
【问题1】
表2 问题1的分类框架
首先，如表2所示，问题1的背景立足于社会情境，用了一定的篇幅来介绍黄金分割在建筑中的应用，并辅以美丽的图片，既激发了学生对“黄金分割比”学习的兴趣，又可以让学生体会“黄金分割”在现实世界的广泛应用，从而感受数学与生活的联系。在考查内容方面，这道题主要考查了学生对“空间与图形”相关知识的掌握情况，这也是我国义务教育阶段学生需要掌握的基础知识。学生解决这道题，需要进行“数学运用”，涉及具体的数学基本能力详见表3。
表3 问题1中涉及的数学能力
其次，问题1以问答题的形式命题，这就要求学生将答题思路、步骤清晰地呈现出来。阅卷时，教师需要根据学生的解答步骤和解答类型对他们的答题情况进行分类，具体对学生的情况进行分析。这样的试题更加关注学生的思维过程，并不以答案正确与否来对学生进行评判，而是注重学生数学素养、数学基本能力的发展，着眼于过程性评价，希望通过评价，对不同的学生进行相应的指导，发挥数学评价“泵”的功能而非“筛”的功能。
【问题2】
表4 问题2的分类框架
不同于问题1以社会情境作为题目的背景，问题2的背景则与生活更加贴近，见表4。或许每一个人的生活中都有这样一个“爱美的、穿高跟鞋的大姐姐”，但是学生可能很少会想到高跟鞋的高度还有这样的玄机，原来数学与生活的联系竟是如此密切。这道题目的改编，将原来枯燥的线段问题变成了有趣的生活问题，并考查了学生面对现实生活中的实际问题时，如何将实际问题数学化，以及利用数学方法去解决实际问题的能力。要解答这道题，学生首先需要就“是否能达到视觉美感”进行回答，然后再利用数学方法对自己的回答进行佐证，即给出合理的理由来解释自己的答案。在问题2中，学生主要经历了“数学阐释”这一较高层次的数学思维过程，涉及的数学基本能力有6种，详见表5。
表5 问题2中涉及的数学能力
学生进行数学思维过程中所需的7大基本数学能力，“黄金分割比例”的试题就涉及了其中6种。由此可见，该题既能较为全面地考查学生对“黄金分割”这一知识点的实际掌握能力，也能让学生明白，现实生活中俯首即拾的小问题与数学有着千丝万缕的关系，数学应用在生活的方方面面。值得注意的是，该题并没有直接地提问“刘星姐姐的身材是否达到了黄金分割比”，而是间接地考查“是否达到了视觉美感”，这说明试题在设计中对学生的阅读能力、数学交流能力都具有一定的要求。
（一）以人为本，关注学生数学品质与能力的养成
PISA衡量的是学生面对实际生活挑战的能力，而不仅仅局限于对学校课程内容的掌握。与其理念一致的是，核心素养测评从数学素养定义出发，基于人的终身学习和终身发展，充分体现以人为本的核心理念。[5]核心素养测评考查的是人们在社会生活中展现的数学思维品质、沟通技能和问题解决能力，关注的不是纯粹的数学，而是强调人认识并理解数学在社会中所起的作用。这不单纯是指学生掌握的学科知识，还包括要求学生在现实情境中进行推断、解释、交流和解决问题。数学核心素养测评十分重视学生的基础知识，但更关注学生养成应用知识的问题解决能力，这有利于学生将数学和社会经济、科技发展、生态环境等有机地联系起来，综合运用自己所学的各门学科知识，使数学学习变得更有意义、价值。
（二）多维共建，在设计测评框架时兼顾科学性和适用性
PISA数学素养测评从数学情境、学生需要的数学过程与能力、涉及的知识领域、学生态度这4个相互关联的部分构建了数学测评框架，并对数学问题情境、涉及的数学过程、数学能力、知识领域以及学生态度的界定清晰且重点突出，同时结合数学学科内容来界定学生的数学素养，避免了仅仅依靠测评者自身的经验和见解而进行相对主观、脱离实际、空泛的评价。
基于PISA的经验，我国在数学素养测评框架的制定上可从以下五个方面着手：第一，界定数学核心素养测试的内容领域以及相应内容领域所涉及的考查要点，确保考查要点既源自数学课程又可用于解决真实情境问题；第二，对学生在问题解决中所涉及的数学能力进行界定，使测评试题能够反映学生的能力高低；第三，明确测试卷中的每一道题是为了测量学生某个方面的知识和能力，做到具有目的性和针对性；第四，对所测量的目标要具有可操作性，即根据已有测试中的数据和经验建立对应的评价指标，避免评价泛化；第五，避免测试因为面对不同地区而造成测量结果的偏差。
（三）精选素材，展现试题内容的真实性与创意
PISA数学素养测评内容不是以数学知识为中心的，不是关注学生能否再现和记忆数学概念、定理或定义，而是强调学生对具体的问题情境做出数学分析、推断和数学阐述。数学核心素养测评试题应以文字、数据或图表来描述一个真实的问题情境。数学问题情境多来源广泛，有的来自学生真实参与过的现实情境，有一大部分来自新闻媒体报道的真实事件，这些事件虽不是学生直接参与的，但可能是学生未来会遇到的实际问题，或是学生为了更好地适应未来生活，寻求更长远的发展需要关注的问题，还有一部分则是为了突出评价学生的数学能力而精心设计的问题情境。[6]数学试题内容不仅仅是数学学科中某一部分的内容，而是涉及多个内容的综合，如几何、代数、统计等，学生需要将真实世界的信息转换到数学问题，建立数学表征，运用数学概念、步骤和数学推理获得数学结论，并解释阐述数学结论，教师则应该对学生的问题解决过程和问题解决中所用到的数学能力做出评价。
（四）严谨编码，分析测评结果的个性与共性
PISA数学素养测评试卷采用双位编码评分。这是一个定性分析和定量分析相结合的过程。研究者通过前期对学生可能的回答进行收集和归类，可对不同的回答进行编码区分。[7]测评试卷在编码时，既需区分得分情况，又要区分作答反应类型，这既能够通过作答反映学生在思维品质上的差异，也可关注学生的个性化发展和创造性表现，有利于对学生进行个性化诊断。根据测试所体现的学生精熟度水平，研究者可对测试结果建立一个描述性的考试成绩量表，并将量表分为6级水平，以此区分不同水平的题目特征和学生的表现特点，这大大突破了传统考试分数所代表意义的局限，也避免了不同地区教材内容不同步所造成的评价困扰。教师还可将试题的分数与学生的能力水平联系起来，这样一来，每个题目都可以反映学生对应的能力位于哪个层次。基于此，教师再对建立的试题认知要求进行详细分析，从而可以了解学生所获得的分数能够做什么和不能够做什么。试题测评分析能为教学决策者和学习者在学习决策中提供依据，促进学生数学学习方法和策略的改进，从而改善他们的数学学习状况。
［1］全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准［M］.蔡金法，译.北京：人民教育出版社，2004：8.
［2］胡典顺.数学素养研究综述［J］.课程·教材·教法，2010，30（12）：50-54.
［3］孙成成，胡典顺.数学核心素养：历程、模型及发展路径［J］.教育探索，2016（12）：27-30.
［4］Kaye Stacey，RossTurner.数学素养的测评——走进PISA测试［M］.曹一鸣，译.北京：教育科学出版社，2017.
［5］梅松竹，王燕荣.我国数学试题与PISA数学试题的比较及启示［J］.数学通报，2012，51（6）：18-21.
［6］高凤萍.PISA数学素养测试对中国基础数学教育的启示［J］.数学教育学报，2015，24（5）：63-66.
［7］王鼎，章卫华.PISA测试命题与国内初中学业考试命题的比较分析［J］.全球教育展望，2013，314（9）：60-70.
♦ 本文内容来自《教育测量与评价》杂志，如有转载请注明出处。（微信号：jyclypj）
♦《教育测量与评价》杂志从未委托任何中介机构组稿，录用稿件从未收取任何费用。
联系客服
