接着上一篇旋转,这篇选取其中一个特例---等腰直角三角形进行讲解。
如图,△ABC和三角形ADE为等腰直角三角形,△ABC固定不动,△ADE绕顶点A顺时针旋转。不难想象,△ADE的顶点旋转轨迹如图乙所示:D、E始终在在以点A为圆心、AD长为半径的圆上,且长度不变。
在旋转的过程中,我们发现,△ADE的位置可以大致分为三种情况:
情况①:一边在△ABC内一边在△ABC外,如图1所示:
情况②:一边在△ABC上,如图2所示:
情况③:两边都在△ABC外,如图3所示:
这三种情况,几何题中,是很常见的,且贯穿整个初中。请看题:
一、对接情况①的常考题。
【题1】⑴问题发现:如图⑴,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE。填空,∠AEB的度数为 ;线段AD,BE之间的数量关系为 ;
⑵ 拓展探究如图⑵,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由。
二、对接情况②的常考题。
【题3】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上的一点,点E在BC上,且AE=CF;
⑴ 求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
⑵ 若∠CAE=30°,求∠ACF的度数。
【题4】如图所示,H是△ABC的高AD,BE的交点,且DH=DC,则下列结论:①BD=AD;②BC=AC;③BH=AC;④CE=CD中,正确的有 。
三、对接情况③的常考题。
【题5】如图①,已知△ABC,以△ABC的边AB、AC为边,分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,连接CD、BE、DE。
(1)试说明:△ADC≌△ABE;
(2)判断CD与BE有怎样的位置关系;
(3)试判断△ABC与△ADE面积之间的关系,并说明理由。
上面只是部分常考试题,由于篇幅原因,这里不再放题。接下来,我们看看这些图的变化。
我们来看看线段AD的长度变化,是否可以产生新的题型出来。若将△ADE的边AD变长,使得长度大于BC的一半,小于AB,如图甲,这时,在△ADE旋转的过程中,就会出现一个新的特殊位置,如图乙:
四、这个新的特殊位置,又成试题命制的一个好图,请看题:
【题7】如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,△ADE的顶点D在BC上,若BD=2,CD=8。求:(1)AD的长;(2)三角形重合部分的面积;(3)你能找出图中相似的三角形吗?
【题8】如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC,AD=AE,F为斜边BC上一点,∠EFN=90°,BF:FC=3:4,四边形AEFD的面积为25,求△ABC的面积。
若把【题8】的点D移动BC的中点,则产生了【题9】:
【题9】如图,在等腰直角三角形ABC中,P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F,当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),⊿PEF也始终是等腰三角形,请你说明理由.
若把题【9】的条件改一改呢?则产生了【题10】。
【题10】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是BC的中点。
(1)若E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证,△DEF为等腰直角三角形;
(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.
由于篇幅原因,不再放题。下一篇会继续讲这些图的变化。
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