相似小专题---与圆有关的常见相似模型

类型1：圆割（切）线产生的相似图形

如图，AD和AE与圆O相交，则有：△ABC∽△ADE。如果把图形剥离出来，就是我们常见的A型相似。

       

                

【简证】∠A=∠A，∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DEA=180°，故用AA易证相似。

【变化】将AD绕点A旋转，使得BC∥DE，便得到平行线A型相似图形（自己动手操作）。

 

现在，我们把AE绕点A顺时针旋转，旋转至AE与圆O相切的位置，记切点为B，此时，相当于点B与点E重合于点B，有：△ABC∽△ABD，此图为切割线定理的基本图形，如下图；若把圆去掉，变得到了“母子型”相似。

           

【简证一】有∠A=∠A，且AB与圆O相切，故考虑AA证相似。过点B连直径BE，连接CE。根据切线的性质和圆周角定理，易证∠CBA=∠BAD，从而可证△ABC∽△ABD，如下图：

       

 

【简证二】有∠A=∠A，且AB与圆O相切，故考虑AA证相似。连OB，过O作OE⊥BC于点E，根据圆周角定理、垂径定理、切线的性质，易证∠CBA=∠BOE=∠BAD，从而可证△ABC∽△ABD，如下图：

         

  

【总结内化】这两个证法，如何快速想到呢？AB是切线，连半径得直角，这是一个重要的信息突破口。多数试题的突破口，都是依托基本知识点进行设计的，所以，要想考的好，基础是第一位的。

 

类型二：相交弦产生的相似图形

如图，弦AB、CD相较于点E，则有：△AEC∽△DEB，△AED∽△CEB。若把圆去掉，变得到8字相似模型，如下图：

          

           

【简证】根据圆周角定理，易得∠A=∠D，∠C=∠B，△AED∽△CEB。

【变化】若是把弦AC、BD调整为平行的两条弦，便得到平行线8字模型。

这个基本图形，还在如下两类图形里经常出现，如下图：

            

          

类型三：直径所对的圆周而产生的相似模型

如图，BC与圆O相切于点B，AC与圆O相交于点D，AB为圆O的直径，有：△ABD∽△ACB∽△BCD。若把圆O去掉，便得到了基本的垂直相似模型，如下图：

       

         

由于∠ABC＝90°，所以，可以把圆的位置移动一下，便得到了下图。AC为直径，BD⊥AC于点D，有：△ABD∽△ACB∽△BCD。

             

     

由于∠CDB＝90°，所以，可以把圆的位置再移动一下，便得到了下图。BC为直径，AB⊥BC于点B，有：△ABD∽△ACB∽△BCD。

 

 

现在，我们来看看具体考题。