配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)
a
a
a
a
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:
1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)
x
Ⅰ、再现性题组:
1. 在正项等比数列{a
2. 方程x
A.
3. 已知sin
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
4. 函数y=log
A. (-∞,
5. 已知方程x
【简解】 1小题:利用等比数列性质a
2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)
3小题:已知等式经配方成(sin
4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题:答案3-
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2
【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:
长方体所求对角线长为:
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x
【解】方程x
(
又 ∵p、q为方程x
综合起来,k的取值范围是:-
【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a、b满足a
【分析】 对已知式可以联想:变形为(
【解】由a
设ω=
又由a
所以 (
【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。
【另解】由a
假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a
Ⅲ、巩固性题组:
1. 函数y=(x-a)
A. 8 B.
2. α、β是方程x
A. -
3. 已知x、y∈R
A.最大值2
4. 椭圆x
A. 2 B. -6 C. -2或-6 D. 2或6
5. 化简:2
A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4 D. 4cos4-2sin4
6. 设F
7. 若x>-1,则f(x)=x
8. 已知
9. 设二次函数f(x)=Ax
① 解不等式f(x)>0;
② 是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。
10. 设s>1,t>1,m∈R,x=log
① 将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;
② 若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。
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