各位是否记得,2018年的河南中考数学试卷,第23题—抛物线综合题,最后一问考察了个“二倍角的存在性”。请点链接:
那么,关于二倍角的存在性,更甚,三倍角、半角等的存在性,应当如何去解决呢?是否有一种大致通用的方法呢?
其实,关于倍角存在性,在2017年江苏盐城市中考数学试卷中也有考察。笔者在去年也已更新以下两篇文章:
倍角存在性,其实是先构造出2倍角或3倍角,然后求其正切值,借助正切值相等,保证等角存在性。
而3倍角的构造,可以借助阿基米德三等分角的思路进行:
若∠AOB=α,则∠ACB=3α。具体做法是:在∠AOB的边OB上任取一点P,以P为圆心OP长为半径画弧交OA于C,再以C为圆心,OP(或PC)的长为半径画弧,交OB于点Q。则∠ACQ即为3倍角。依此,可构造出n倍角(不大于90°)。
半角构造,只需作该角的平分线即可。
下面本文由浅入深地为大家介绍倍半角存在性问题。
注:以下本文授权转自微信公众号:做中学学中做。
【一倍等角】
【2018-2019(上)大东区期末压轴题】
【提示】(2)这一问需要分别表示出点D、E的坐标,然后取出DE的长度,用含x的代数式表达;
(3)需要分情况讨论,
第一种情况:当∠ BMO=∠ BDF时:
方法一:设点D的横坐标为x,根据(2)的启发可得在等腰直角△DEF和△AEG中,分别用含x的代数式表示出线段AE和线段DF、EF,然后根据tan的值,列方程求解。
方法二:借助“一线三直角”
第二种情况与第一种情况用法相同。
解法一:
解法二:
【二倍角】
下面这道练习题,改编自2017·盐城中考数学试题。基本只是象限的变化而已。
【拓展练习】
本文只对(3)作详细解析,
(3)应分情况讨论:
第一种情况:当∠DCM=2∠ABC时,
方法一:过点C作x轴的平行线,根据“两直线平行,内错角相等”,
可知,∠DCE=∠MCE=α;
通过证明:△BOC和△CED相似,表示出点D的坐标,代入抛物线解析式中求参量的值;进而求出点D的坐标;
方法二:构造等腰△CB'B,借助外角;
通过求解直线B'C的解析式,与抛物线解析式联立方程组求点D坐标;
【交流拓展】
借助平行线推广出另外几种作法如下:
直线OF与直线BC'均与直线CD平行;
详细解析如下:
方法三:在方法二的启发下,作点C的对称点C',构造等角为2α的等腰三角形(亦可理解为直线CD与直线BC'平行,得内错角相等);
方法四:在方法二的启发下,借助直角三角形斜边中线长度等于斜边长度的一半,构造等腰三角形(亦可理解为直线CD与直线OF平行,得内错角相等);
方法五:借助一线三直角,表示点D的坐标,代入抛物线解析式中,求出参数的值;
第二种情况:当∠CDM=2∠ABC时,其余方法可参考上述,在此仅提供一种。
【变式练习】
第一种情况:已知tan2α的值,可求tanα的值;
第二种情况:借助“一线三直角”
【三倍角】
【2016年铁西区一模第25题】
本文只对(3)作详细解析,
方法一:
方法二:
倍角大练兵
接下来以沈阳市2013年中考数学试卷压轴题为参考练习(略改):
【原题再现】
【解析(2)】
【解析(3)】
第一问:二倍角
第一种情况:当点M在点B的左侧时,
通过构造等腰三角形,来理解二倍角
此时点M恰好落在y轴上,
第二种情况:当点M在点B的右侧时,
【解析(3)】
第二问:三倍角
第一种情况解析:
第二种情况解析:
方法一:
方法二:
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