无私奉献有关椭圆焦点弦的高考题的探究

词·清平乐禁庭春昼，莺羽披新绣。百草巧求花下斗，只赌珠玑满斗。日晚却理残妆，御前闲舞霓裳。谁道腰肢窈窕，折旋笑得君王。有关椭圆焦点弦的高考题的探究上海市育才中学 龚新平 201801（发表在中学生数学杂志 2007-9 上）刚结束的 2007 年重庆市高考第 22 题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。问题 中心在原点 的椭圆的右焦点为 ，右准线 的方程为 。O30F， l12x（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三点 ， ， ，使1P23，证明 为定值，并求此定值。1231PFP∠ ∠ ∠ 123解（I）易得所求椭圆方程为 ；267xy（2）记椭圆的右顶点为 ，并设 （ 1，2，3） ，AiiFP不失一般性，假设 ，且 ， 。1203≤ 214又设点 在 上的射影为 ，因椭圆的离心率 ，从而有iPliQ2cea。FPcaeFiiii  os29osiiFP13， ，变形得 。 ，192ii123， ， 311cos29i ii ，而  34cos3cos311131 iiFP，42cos11 032cos2211 故 为定值．123FP探究一 对于一般的椭圆方程，是否也有类似的定值呢由上述证明，不难得到（1）焦点为 F 的椭圆 上三点 ， ， ，且 ，12byax1P231231PFPF∠ ∠ ∠OF3P1xl2yQA则有 。123FP2ba证明这里也可以采用极坐标的方法来证明。 （由椭圆的对称性知不妨设点 F 为左焦点）由圆锥曲线的极坐标方程 ，得 。cos1ep 3,21cos1iepi不失一般性，设 ，且 ， ，则有320132141epepep 3coscoscos132  4s32 11321 ，即 。222baccaep 123FP2ba（2）焦点为 F 的双曲线 同支上三点 ，且12byx321,，则有 倒数的代数和为定值 。 （允123PP∠ ∠ ∠ ,,PFP23ba许极径 为负值，证明同（1） ）（3）焦点为 F 的抛物线 上三点 ，且 ，则pxy2321,1231FPF∠ ∠ ∠有 。 （证明同（1） ）123P探究二 前面的问题均限于三点，能否推广到 个点呢由上面的证明，我们不难得到 n（1）焦点为 F 的椭圆 上依次有 个不同的点12byax，且满足 ，则有nP,2 131 FPPn 。n1 2证明由圆锥曲线极坐标方程 ，得 。cos1ep ,21cosniepi 不失一般性，设 ，且 ， ，则有n01,2nn1epnepepn 12coscoscos112   nn s2 1121 由复数 次单位根的知识，易得n 012cos2cos11 nn。22221 1bacanepn 特别的，当 及 时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。4（2）焦点为 F 的双曲线 同支上有 个不同点 ，且满足12byaxnnP,21，则有 倒数的代数和为定值 。 （允许321 PPn nFP,2 23ba极径 为负值，证明同（1） ）（3）焦点为 F 的抛物线 上顺次有 个不同点 ，且满足pxy2nP,21，则有 。1321 PPn FPF21 p特别的，当 及 时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。n4探究三 如果研究对象不是焦点弦，而是中心距 ，是否也有类似的结论呢,1niO中心为 O 的椭圆 上依次有 个不同点 ，且满足 12byaxnnP,21 321FP，则有 。1FPn 221nOP 2ba证明设 ，不失一般性，设 ，且irrii ,1,sn,co n201， ，代入方程 ，得,21n212byax， ，所以sicos22brarii 221sincoirbacoss1sin1 22222r iniinii 。从而有2022212 cos1cos1cos banbababa niiinii    。2221nOPOP 2a探究四 如果我们将椭圆的长轴分成 等份，结果会怎样呢 于是有n将椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作12byaxAB轴的垂线交椭圆的上半部分于 共 个点，121,nP是椭圆的一个焦点，则 。F anFPFP121 证明设 ，niyxPi,,，1121 niii xacxac由椭圆的对称性可知 ，所以 。01ni anFPFP121 特别地，当 时，即是 2006 年四川省高考题8将椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于2156xyAB8x七个点， 是椭圆的一个焦点，则 35 。721,P F721FPFP探究五 若变换成条件 ,是否有类似结论呢我们继续如下探究021nP（1）焦点为 F 的椭圆 上依次有 个不同点 ，若满足2byax n,21，则有 。02nPP nFPF21ab证明设 ，由 得 ，得iyxi,2, 0 01niicx，从而nci1。anbcxacnxacFPFP inii 21121 同理，双曲线也有与（1）几乎完全一样的结论（2）焦点为 F 的抛物线 上依次有 个不同点 ，若满足pxy2nP,21，则有 。021nPP nFPF21p证明设 ，由 得 ，得iyxi,2, 0 021niipx，从而 。21npippxFPFPninii1121 2特别地，当 时，即为 2007 年全国高考题设 为抛物线 的焦点，3 24yx为该抛物线上三点，若 ，则 6 。ABC， ， FABC0FABC参考文献2007 年重庆市高考试卷（理科）