行列式的基础知识整理

一、行列式的定义

这个定义包括2部分：

1.每一行取不同列的值相乘，再相加。

2.

表示符号。用排列的逆序数的奇偶性决定是“+”或“-”。如1243，就是奇排列。

在空间几何上，二阶行列式可代表有向的平行四面行的面积，三阶行列式可看做平行六面体的体积。这里的重点是“有向”

二、行列式的性质

行列式展开非常复杂，但是如果有一项为0，则可以少展开很多项。所以，行列式初等变换就是以“找0打洞”为指导思想。

我们可以将行列式简写为：

，简写为

性质1：

，

这个性质需注意，其他行都不变。

性质2：

性质3：

性质4：通过定义可知

行列式的行、列地位相等，行列式经过转置后，值变。

三、行列式的推论

通过性质2，得到一个推论。

推论1：如果有两行相同，则行列式等于0

通过性质3，得到一个推论。

推论2：某一行全为0，怎行列式等于0

推论3：某两行（两个向量）成比例，则行列式值为0.

行列式的推论在几何意义可理解为：两个向量成比例或某个向量为0，则其n个向量不足以支撑起整个空间，空间塌缩为了0。如三阶行列式，第三个向量与其余两个向量张成的面共面了，则塌缩为了二维空间，体积为0.

四、行列式的初等变换

与线性方程组的初等变换类似

1.两行互换则变好

2.某行乘以非零常数，则该常数可提出来。

3.某行乘以非零常数加入另一行，行列式值不变。

第3点的证明结合了性质1与推论1。