第二节  二重积分的计算法

教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法

教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分

教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题

教学内容：

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.

一、利用直角坐标计算二重积分

我们用几何观点来讨论二重积分

的计算问题.

讨论中,我们假定

；

假定积分区域

可用不等式

表示,

其中

,

在

上连续.

据二重积分的几何意义可知,

的值等于以

为底,以曲面

为顶的曲顶柱体的体积.

在区间

上任意取定一个点

,作平行于

面的平面

,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间

为底,曲线

为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间

上任一点

且平行于

面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

从而有

                    (1)

上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把

看作常数,

只看作

的函数,对

计算从

到

的定积分,然后把所得的结果( 它是

的函数 )再对

从

到

计算定积分.

这个先对

, 后对

的二次积分也常记作

在上述讨论中,假定了

，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的

(在

上连续),公式(1)总是成立的.

例如:计算

解:

类似地,如果积分区域

可以用下述不等式

表示,且函数

,

在

上连续,

在

上连续,则

 

      (2)

显然,(2)式是先对

,后对

的二次积分.

二重积分化二次积分时应注意的问题

1、积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

对于I型(或II型)区域, 用平行于

轴(

轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.

2、积分限的确定

二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二

次积分限的方法

-- 几何法.画出积分区域

的图形(假设的图形如下 )

在

上任取一点

,过

作平行于

轴的直线,该直线穿过区域

,与区域

的边界有两个交点

与

,这里的

、

就是将

,看作常数而对

积分时的下限和上限；又因

是在区间

上任意取的,所以再将

看作变量而对

积分时,积分的下限为

、上限为

.

例1计算

,其中

是由

轴,

轴和抛物线

在第一象限内所围成的区域.

类似地,

 

例2计算

, 其中

是由抛物线

及直线

所围成的区域.

例3求由曲面

及

所围成的立体的体积.

解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在

面上的投影区域

  

消去变量

得一垂直于

面的柱面

,立体镶嵌在其中,立体在

面的投影区域就是该柱面在

面上所围成的区域

2、列出体积计算的表达式

 

3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算

而 

由

,

的对称性有 

 

 

 

 

所求立体的体积为

二、利用极坐标计算二重积分

1、变换公式

按照二重积分的定义有

现研究这一和式极限在极坐标中的形式.

用以极点

为中心的一族同心圆

以及从极点出发的一族射线

,将

剖分成个小闭区域.

除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域

的面积可如下计算

其中,

表示相邻两圆弧半径的平均值.

(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)

在小区域

上取点

,设该点直角坐标为

,据直角坐标与极坐标的关系有

于是

即

由于

也常记作

, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式

               (1)

(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,

就是极坐标中的面积元素.

(1)式的记忆方法:

2、极坐标下的二重积分计算法

   极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.

【情形一】积分区域

可表示成下述形式

其中函数

,

在

上连续.

则

【情形二】积分区域

为下述形式

显然,这只是情形一的特殊形式

( 即极点在积分区域的边界上 ).

故

【情形三】积分区域

为下述形式

显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域

的内部 ),

可剖分成

与

,而

故

则

由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域

用极坐标变量

表示成如下形式

下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.

例4将下列区域用极坐标变量表示

1、

2、

Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围

；

Ë再过

内任一点

作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围

.

注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

利用此题结果可求出著名概率积分

.

而被积函数满足

,从而以下不等式

 

成立，再利用例二的结果有

,

 ,

于是不等式可改写成下述形式

故当

时有 

,

即 

 .

3、使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含

,

为实数).

例6计算

解此积分区域为

区域的简图为

该区域在极坐标下的表示形式为

小结   二重积分计算公式

直角坐标系下 

   X—型

             

   Y—型

极坐标系下  

作业 教材

161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）