1、已知:ABCD为圆O上定点，P是不含CD的弧AB上动点，T、S为△PAD、△PBC内心。
求证：TS中点在某个定圆上运动(第六期征解问题)
证明：
设N、M为弧AD、BC中点，
O、Z、L为MN、MT、ST中点，
则由鸡爪定理得NT=ND,MS=MC；
由中位线定理得2OZ=NT,2ZL=MS,
∠OZL=180°-∠NPM，
从而△OZL中，LZ,ZO,∠OZL均为定值，故OL为定值。
即L轨迹为以定点O为圆心，定长OL为半径的圆。
注：
（1）此题显然是第1期征解问题的再推广，所以当然也可以绕到那里
给出证明，不过首先不必要绕过去，其次即使到了那里也不好说明。
这里去粗取精，得到了一个简洁明了的证明。
（2）本题有不少读者给出了证明，有北京四中的张展维同学，江西育华学校初三学生陈冠伊（这里要向他道歉，上一期他也给出了精彩的解答，上篇文章忘记说明了）、北京十一学校的崔云彤同学、西安铁一中蒋若曦同学等，值得表扬的是他们不约而同采用了上述简洁证法，还有一位同学绕到了第十篇征解问题1，又由Menelaus定理经过复杂的运算给出了证明，抱歉的是我忘记哪位同学了。也希望以后读者将解答和学校姓名一起发送至我的邮箱。
2、已知：△ABC中，I、J为其内心和A旁心，I、J在BC上的垂足为E、F，N为BAC弧中点。
求证：∠EAF=∠INJ(20170625我们爱几何问题 作者：杨标桂)
思路分析：
这是鸡爪定理基本构型，作出北极点S，则AISJ共线且SI=SJ,A,G;I,J为调和点列。
下面必然由结果分析，此两角看起来有点怪，想都转化到第三个角希望不大。那就分而治之，发现似乎∠EAI=∠SNJ,显然∠EIS=∠ISN,故需证△AEI∼△NJS。
欲证相似，还有一个角相等的可能性不大，故考虑比例可能性较大，故转而证明AI/IE=NS/SJ,这显然是欧拉公式！
如法炮制即得到另一个角对应相等即可。
证明：
设NS为直径，AI交BC于G，R,r为△ABC外接圆、内切圆半径，
则由鸡爪定理得AISJ共线且SI=SJ且A,G;I,J为调和点列。
显然IE//SN//JF,则∠EIS=∠ISN。
由第二篇第2题欧拉-查柏公式知2Rr=R^2-OI^2=AI*IS
即SN*IE=AI*SJ,即SJ/IE=SN/AI (1),
故△AEI∼△NJS,则∠EAI=∠SNJ。
类似的，由A,G;I,J为调和点列得JF/IE=JG/IG=JA/AI (2),
(1)/(2)得 SI/JF=SN/AJ,
又∠ISN=∠FJA,则△AJF∼△NSI,
则∠FAI=∠SNI,
故∠EAF=∠INJ。
注：本题作者杨标桂是福建师范大学的老师，他是大学老师中少有的钟爱平面几何的，他对很多结构有独特的认识和研究，发表过不少相关的研究性文章。
3、已知：I在△ABC中，且△ABI∼△AJC,E、F在BC上，且∠CEI=∠CFJ=90°-0.5∠IAJ,N为弧BAC中点。
求证：∠EAF=∠INJ（20170626我们爱几何问题 作者：黄利兵）
思路分析及证明：
此题显然是上题的推广，难度必然增加了不少。
但是感觉很可能思路也差不多。如下图，作出南极点S势在必行。
此时∠IAS=∠JAS。还是照猫画虎，考虑类似上题方法，
分而治之，观察到似乎∠EAS=∠JNS,同理会有∠FAS=∠INS,
故只需证明其成立即可。
这样就能消去F点了。又∠CEI=90°-0.5∠IAJ=∠NSZ,
我们希望能继续简化图形，由△ABI∼△AJC及△ABM∼△ASC即得
AI*AJ=AB*AC=AM*AS，这样就能把与证明结果无关的AB、AC、
BI、CJ、IN消去，图形就“清爽”了许多。
原题转化为如下图，
已知:SN为与BC垂直的直径， ∠IAS=∠JAS,AI*AJ=AM*AS，
E在BC上，且∠CEI=∠NSZ.
求证：∠EAS=∠JNS.
证明的基本思路当然还是找相似，
∠CEI=∠NSZ比较难用，不难得到 ∠AMB=∠ASB+∠SBM=
∠ATB+∠STB=∠ATS,
所以延长EI交AS于P，则△PEM∼QSZ,且△API∼AQS。
图形里面还有很多相似，如△AEM∼△AST,△AEI∼△AJT等,
但是都不好证明，这是因为关键条件AI*AJ=AM*AS很难用。
经过尝试探索，感觉还是不好说清楚，但发现其逆命题比较容易证明，
故由图形的唯一性，可以考虑用同一法，即由∠EAS=∠JNS,
证明AI*AJ=AM*AS。这个由∠EAS=∠JNS=∠TAS及△API∼AQS
,
得到∠AIE=∠ATJ且∠IAE=∠TAJ,
则△AEI∼△AJT,再由△AEM∼△AST,
即得AI*AJ=AE*AT=AM*AS。从而结论成立。
再由E、F的对称性可以得到另一对角相等，从而原结论成立。
具体证明过程不再赘述。
注：
（1）本题推广后难度增加了不少，主要是图形略复杂，条件不好利用。简化和转化图形以后类比上题得到了解法。这进一步说明知道一个问题的来龙去脉以后对做题往往有很大帮助。当然本题的本质应该是上述简化后的图形，是等角线的性质。
（2）本题是南开大学的黄利兵老师对上题的推广，第一篇第4题也是他推广得到的。黄老师当年也是竞赛出生，北大博士毕业后在南开大学任教，研究方向是微分几何，难能可贵的是他在繁忙的研究之余对初等几何依然情有独钟。在我的印象中大学老师对平面几何研究一般都比较“鄙视”的，毕竟平面几何系统已经被大家彻底研究透，这个领域不可能出现什么新的有开创性的成果了，相关论文也很难发表在较高水平的杂志上。上述观点不无道理，不过我觉得一方面平面几何本身确实十分令人着迷，君不见历来几乎每一位数学家甚至很多非数学家的名人都在里面都留有以他们名字命名的几何定理，她也算是数学中的一个“小花园”，虽然不会有“惊天大发现“，但是里面依然隐藏着不少有趣而精美的结论令人流连忘返，例如叶中豪叶老等依然在夜以继日、废寝忘食的“批量生产”精妙的几何新题。另一方面她也的确能锻炼人的分析、解决问题及逻辑思维能力，对进一步提升数学能力有莫大帮助。最重要的可以以平面几何为跳板，进一步得陇望蜀，研究曲面曲线等“大几何”，这可能是大多数几何学家的成长历程。
黄老师是我见到的大学老师中对平面几何有兴趣而且几何造诣最深厚、理解最深刻的，他对高等几何烂熟于心，对初等几何也驾轻就熟、游刃有余，几乎对遇到的每个问题都有深刻而独到的见解，都能揭示出问题本质并加以推广。市面上能看到命题人讲座中他与陆洪文写的著作《解析几何》，他在书中高屋建瓴、居高临下，用曲线系观点贯通了平面几何和解析几何，是国内此领域绝无仅有的好书。虽然内容略有些艰深，但是字字千金、题题经典，是希望由平面几何登堂入室进一步到达代数曲线研究、提升几何“观点”的读者梦寐以求、不可多得的读物。
据说猫是最懂数学的动物，这种优雅无比的动物随便摆一个动作，就充满了数学的美感。你同意吗？
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