李尚志教授——运用泰勒公式解高考题（解题研究）

【探与究】. 指数、对数这些函数我们不会取值, 只会按计算器, 捉摸不了. 以上解法是把它们变成无穷级数, 只用加减乘除就能取值判定大小了。这种无穷级数称为泰勒展开, 比导数更容易被中学生掌握, 威力也比导数更大。

泰勒展开是否允许在高考中使用？解答题能不能用我不知道。选择题只看答案不管方法, 只要做出正确答案就行，完全不需要担心。如果是解答题, 你担心不准用, 也可以在泰勒展开指挥下求导得给出正确答案的理由.

二阶导数(导数的导数)是二次项系数的2倍, h(x) 的二次项系数比另外两个小, 在 x = 0 附近 h(x) 最小.

三阶导数是3次项系数的 6 倍, g(x) 比 f(x) 更大, 因此在 x = 0 附近 g(x)最大, f(x) 第二, h(x) 最小.

在某点附近做泰勒展开, 这点的各阶导数由泰勒展开系数一见便知. 这就是泰勒展开的指挥. 不过, x = 0.1 是不是足够“附近”, 靠具体求导来判定.

探与究. 解法2也许是高考的标准解法, 就是死算导数. 死算导数也不能无穷地算下去. 一直算了两阶导数, 在 x = 0 都还等于 0, 有可能就慌神了. 有了泰勒展开, 只要看泰勒展开的最低次非零项是几次, 早就胸有成竹了.

什么原因导致不断算导数? 是因为(2 x ax²) ln(1 x) 中的对数 ln(1 x)不容易捉摸, 需要通过求导把它变成分式. 但是, ln(1 x) 前面有个2次多项式,每一次求导将它降一次. 两次求导降成常数之后, 再求导一次, 把对数彻底消除,下一次就容易判断了. 泰勒展开的优势就是一开始就把多项式和分式以外的函数都消除掉.

既然多次求导的原因在于对数前面乘的二次多项式. 对策就有了: 将二次多项式除掉, 只剩对数. 一次求导就可以把它消除掉. 这就得到如下不用泰勒展开也不需要多次求导的解法: