正方体中的计数问题

正方体是最基本最常见的立体图形，想象一下其中的点、线、面的位置关系和数量关系，的确是个很有意思的问题。有很多试题都涉及正方体中的计数问题，我们选其中一些挑战一下，看看能否想得明白，算得清楚，数得准确。

    问题1：正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有多少对？

问题2：正方体的12条棱所在的直线中，两两异面的三条直线为一组，则不同的直线组有多少组？

问题3：正方体的8个顶点中，能组成四面体的四点组有多少组？

问题4：正方体的两个顶点确定一条直线，四个共面的顶点确定一个平面，若直线与平面垂直，成为一组“正交线面对”，这样的不同正交线面对有多少对？

问题5：正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心，正方体的中心共27个点，选其中的三个点，其中恰好共线的三点组有多少组？

问题6：将正方体的六个面涂上颜色，现在有6种颜色可供选择，使得有公共棱相邻的两个面所涂颜色不同，则不同的涂色方法有多少种？（若将正方体旋转或者翻折所涂颜色一致为同一种涂法。）

【分析】1：每条棱所在直线，与其异面的有4条，故共有12×4÷2=24对。因为异面不分彼此，是组合，故应除以2。

【分析】2：根据对称性，先选定一条棱，则与其同时异面的异面直线对恰好2对，于是不同的三条直线组有12×2÷3=8组。因为三条直线组(a,b,c)，先选定a,还是先选b或者c，重复计算了三次。

【分析】3：考虑反面，四点恰好共面的有6个表面，6个对角面。8个点中选4个的组合数为70，故所求四面体个数为70-12=58个。

【分析】4：利用问题3的结论，若平面为表面，与每个面垂直的线有4条；若平面为对角面，与每个面垂直的直线有2条，故“正交线面对”共有36对。

【分析】5：方法一：注意到三点共线时，总是一条线段及中点，故根据中点的位置分类计算线段数。中点为棱的中点时，共12条线段；中点为各面的中心时，共有6×4=24条线段；中点为正方体的中心时，根据中心对称性，共有26÷2=13条。总共为49条线段，即有49组三点共线。

方法二：三点共线组成的线段，考虑其长度。若记正方体棱长为1，则三点共线的线段长度有1，√2，√3这三种情况。长度为1的线段分三个方向，共3×9=27条；长度为√2的线段也分三个方向，共3×6=18条；长度为√3的线段为正方体的对角线，共4条。故所求三点共线的线段总数为49条。

【分析】6：因为可以旋转和翻折，需要较强的空间想象力。从计数角度看，至少需要3种颜色，故按所选颜色种数为3，4，5，6分类计算。

所选3种颜色时，颜色选定，其实只有一种涂法，故相当于从6种颜色中选哪三种，共20种可能；

所选6种颜色时，固定上面的颜色，下面颜色不同则涂法不同，即有5种不同涂法；侧面可以旋转，即剩下四种颜色的环排列，共6种情况，总计为30种不同涂法。

所选颜色为5种时，可以固定上下面颜色相同，有6种可能。然后从剩下5种颜色中选四种涂在侧面，此时不但可以旋转，还可以翻转，即不但是环排列一样，顺时针逆时针也算一种，故共有5×3=15种，总计为90种涂法。

所选颜色为4种时，有两组对面颜色相同，可以看成是侧面。选定颜色后只有一种涂法，上下两个面的涂法可以翻转，故共有15×6=90种。

综上，不同的涂色方法共有230种。

小结：这些问题，你算对了吗？没有，是因为想象力不够？分类混乱？排列组合基本功不扎实？哎，就是想不到！