概念教学：有效源于“精致”

作者:无锡市南长区教育局教研室 焦肖燕

 

摘 要：概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有认知结构与新概念之间是否平衡。学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程,并且学生掌握的也并非是一个个零散的概念，而是有着相互联系的一个整体。概念教学要追求思维上的真理解，让学生经历概念获得的“精致”过程，追求对概念的主动习得和整体把握。

关键词：“精致” 经验背景 抽象概括 练习 概念网络

小学数学涉及许多非常基本、非常重要的概念，涵盖了数与代数、空间与图形、统计与概率等各个领域，它们是数学大厦的基石。概念教学是学生掌握数学知识、体会数学思想方法、形成正确数学观的重要载体。

一、数学概念的特点及形成过程

1.概念的定义及特点。

认知心理学认为，“概念就是符号所代表的具有标准共同属性的对象、事物、情境和性质，它具有发展性。随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解就从具体水平向抽象性水平发展，从日常概念向科学概念发展”。由于数学的研究对象主要是事物的数量关系和空间图形，而这种关系和形式脱离了事物的具体物质属性，因此作为数学基本细胞的数学概念有与此相对应的特点：

（1）数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，它排除了一类对象的具体物质内容，比如：颜色、密度、重量等，反映的是一类对象在数与形方面内在的、固有的属性，因而它具有普遍意义。

（2）数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由符号来表示，这些符号使数学有比别的学科更加简明、清晰、准确的表述方式。

（3）数学概念是具体性与抽象性的统一。数学概念具有高度的抽象性，但同时数学概念又是非常具体的，一个数学概念的背后有许多具体内容为支撑，学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能举出概念的具体例证，才是真正掌握了数学概念。

（4）数学概念具有很强的系统性。数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了概念的系统结构。

2.概念的形成过程。

基于概念的以上特点，我们在概念的获得过程中根据学生的年龄、数学知识本身的特点可以选择不同的方法，主要有以下两种：概念的形成和概念的同化。

（1）概念的形成。学生理解和掌握概念的过程实际上就是掌握同类事物共同、关键属性的过程。同类事物的关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，我们把这种概念获得的方式叫做概念形成。由于小学生以形象思维为主，并且认知水平还不是很高，所以小学概念教学经常运用这种方法。比如，小学阶段自然数的认识、圆的认识等都是让学生在丰富多样的实例中观察、分析并抽象概括出它们的意义。

（2）概念的同化。随着学生年龄的增长，认知水平的提高，概念的获得除了可以用概念形成的方式外还可以用概念同化的方法。所谓概念同化，是指教师用定义的方式直接向学生揭示概念的关键特征。比如，学习倍数和约数时，教师一开始就明确告诉学生：4×3=12，4和3是12的约数，12是4的倍数，12也是3的倍数。概念同化属于接受学习，由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，学生的认知结构中必须要有能够同化新概念的知识储备，并且能够激发学生把新概念与旧知联系起来，逐步进行分化和融会贯通。

实际上在小学数学概念教学中，上述两种方式都不是孤立使用的，而是根据知识的特点以及学生的认知规律有机地融合在一起。一般来讲，在小学概念教学中教师可以采取以下几个步骤：先通过具有代表性的典型实例，引导学生通过观察，抽象概括出它们共同的本质属性，从而形成概念的定义；然后把概念再次运用到实际例子中，使学生对概念的本质属性有更清晰、更全面、更深刻的认识；再通过正反例的判断、分析，新旧知识之间的比较、概括等思维活动，引导学生对概念的关键属性认识更清晰，同时把新旧知识沟通起来，形成概念网络。

例如，在《百分数的意义》教学中，教师在出示例题的同时，补充了6个生活中的百分数，抓住“是几个数量比较的结果”“表示谁是谁的百分之几”这两个问题让学生充分感悟百分数的具体含义，并抽象概括出百分数的意义。在学生形成百分数的意义后，教师让学生及时把概念运用到实际生活中，结合实例再次说说什么是百分数的意义。接下来教师及时通过正反例的对比，突出了百分数、分数、比的共同属性，将百分数的意义纳入学生原有的知识体系中。正如郑毓信教授所说：“基础知识不求全，但求连。”

二、经历概念获得的“精致”过程

学生学习概念的思维过程实际就是新旧概念相互作用的过程。学生在概念获得过程中，很重要的是通过概念之间的关系来认识新概念。实际上，学生对概念的理解并非单纯的外部作用的结果，每个人对概念的理解都是个性化的，它是学生思维过程的产物，认知心理学把这一过程称为“精致”的过程。概念教学的“精致”过程，实际上就是追求对概念内涵和外延的深加工，追求对概念的主动习得和整体把握。

1．经验背景是概念“精致”的前提。

概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有认知结构与新概念之间是否平衡。根据皮亚杰的认知发展理论，学生遇到新概念时，总是先用已有认知结构去同化，如果获得成功，就得到了暂时的平衡。如果同化不成功，就会调节、改造已有认知结构，来顺应新概念以达到新的平衡。因此学生已有的认知结构对新概念的学习起着非常重要的作用，我们在概念教学中要充分利用新概念与学生已有认知结构之间的差异来设置相应的教学情境，以使学生能够意识到这种不平衡，从而引起学生的认知需要，促使学生展开积极主动的学习活动。

例如，教学三年级（上册）《24时记时法》，教师先出示两幅情境图：一幅是小朋友上午8时参加升旗仪式，另一幅是小明晚上8时准备睡觉。提出问题：小朋友在干什么？它们各是几时？引出都是8时，但一个是上午，一个是晚上，该怎么区分呢？这样引入，从学生已有的生活经验出发，使学生产生了认知的不平衡，从而引发了学习新知的强烈需求。

2．抽象概括是概念“精致”的关键。

概括是形成和掌握概念的前提。如果相关的概念始终停留在问题的具体情境，未能帮助学生实现必要的抽象概括，那就不能认为学生已经较好地掌握了概念。所以，在教学中除了需要给学生提供适量的、具有代表性的、新颖有趣的实例外，更重要的是引导学生发现它们的共同属性，并将共同的本质属性结合起来，形成概念的定义或用自己的语言来表述概念的本质属性，这样更有利于学生更好地习得概念。

例如，教学三角形，教师出示了各种各样形状是三角形的物体，并在黑板上画出各种形状和大小的三角形，但学生应该知道，我们研究的既非我们手中的三角板，也非黑板上某个具体的三角形，而是由三条线段围成的所有封闭图形，是集合它们所有共同属性的更为一般的三角形的概念。尤纳斯指出：“在面临各个特定的数学概念的教学任务时，数学教师应当仔细研究他的学生在日常生活中是否已经用到了这一概念，并努力弄清在日常概念与算法背后的不变因素。因此，在大多数情况下就只有通过大量实例的综合分析，而不是单个实例的考察，我们才能顺利地发现其中的共同成分，并由此引出相应的普遍性结论。”

3．适当练习是概念“精致”的保证。

概念教学不是教“形式化的定义”，而要追求思维上的真理解。所以，应该利用各种方式对概念的内涵和外延作尽量详细的“深加工”。一般我们可以通过正反例的比较，或者变式训练，使学生进一步理解哪些是概念的本质属性，哪些是概念的非本质属性，从而更清晰地理解概念。

例如，“含有未知数的等式叫方程”这是大家非常熟悉的对方程的定义，但在实际教学中让学生仅仅知道这一形式化的定义是没有什么价值的，也不能说学生真正理解和掌握了方程，学习方程的价值在于逐步学会运用代数的方法思考问题，培养学生代数思维的能力。因此，在练习时我们注意结合具体情境，让学生判断列出的式子中哪些是方程，对方程概念的内涵和外延有了更加准确和全面的把握。

4．形成网络是概念“精致”的结果。

数学概念具有很强的系统性。学生掌握的并非一个个零散的概念，而应该是有着相互联系的一个整体。在概念教学中，要把新概念和与之相关的概念建立起联系，把新概念纳入到学生已有的认知结构中，使之成为一个整体，这是概念教学的最终结果。这时学生习得的概念才是活的、有生命力的，才能灵活地加以运用。

例如，在学完化简比以后，学生练习这样一道题：3∶0.375的最简整数比是（  ），比值是（  ）。结果错误率很高，主要集中在以下几点：最简整数比和比值什么时候该写8，什么时候该写8∶1，能不能写成

？部分学生不能熟练地把0.375看成

，从而加大了化简的难度。为什么会出现这样的问题？我觉得主要是学生没有真正沟通分数、比和除法之间以及分数与小数之间的联系。因此，在学习一个数学概念以后，有必要选择合适的时机，引导学生沟通相关知识之间的联系，形成概念网络。

参考文献：

[1]刘加霞.小学数学课堂的有效教学[M].北京：北京师范大学出版社，2008.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[3]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.