从傅里叶变换开始

傅里叶变换联系着两种分析方法：

时域分析
频域分析

时域分析很常见，比如股票价格随着时间变化而变化，这就属于时域分析，研究一个变量的值（函数）在时间轴（时域）上的分布规律。

至于频域分析，源于傅里叶的伟大构想：

任意的函数图像都能由无限个不同的三角函数图像叠加而成。

比如股票的价格变动也可以看成是由无限个周期性振荡叠加而成的。频域分析就是找到每个周期性振荡的具体频率和幅值，也就是研究一个变量的值（函数）在频率轴（频域）上的分布规律。

傅里叶变换就是把时域中的函数变换到频域中。相应的还有傅里叶逆变换，把频域中的函数变换到时域中。

直观感受一下同一个函数分别在时域和频域中的图像：

注意观察时域图像和频率图像的关系，同一个函数，时域图像越“宽”，频域图像就越“窄”，反之亦然。这就是“不确定原理”，下面具体看一看它在量子力学中的体现。

与量子力学相结合

时域、频域，它们乍一听和“位置与动量不能同时测准”八杆子打不着，但在数学上简直就是一回事，在量子力学中也是同一类现象。

注意，量子力学中的粒子不再是经典的粒子，而是像波一样的粒子。量子力学中的波也不是经典的波，而是像粒子一样的波。

简单地说：微观世界的一个客体（粒子/波）的能量与频率成正比，动量与波数（波长的倒数）成正比，比值就是普朗克常数。

在量子力学中也有一套变换，“约尔当-狄拉克变换”，在数学上和傅里叶变换一模一样。类比时域分析和频域分析，在量子力学中存在“时域分析”和“能量域分析”、“空域分析”和“动量域分析”。（时间与能量、空间与动量本就是关系密切的两组量，能量守恒对应时间平移对称性、动量守恒对应空间平移对称性。）

描述微观世界客体状态的工具是波函数，相应的，同一个波函数，时域图像越“宽”，能量域图像就越“窄”，反之亦然。空域图像越“宽”，动量域图像就越“窄”，反之亦然。

这也就是通常说的位置测得越准，动量就越不准，动量测得越准，位置就越不准。

相应的还有时间测得越准，能量就越不准，能量测得越准，时间就越不准。

本质上，这就是傅里叶变换的性质，因此“不确定原理”并不是量子力学的基本原理（正经讲解量子力学的资料也都不把它成量子力学的基本原理），所以别把它神化或是妖魔化。

另外还有一个常见的误区，就是“不确定原理”就是啥也不确定，啥也不能同时测准。

注意，测不准的仅仅只是不可对易的力学量，可对易的力学量是可以同时测准的（不可对易反倒是量子力学的基本原理）。

不可对易其实并不神秘。
2+3=3+2就是可对易。
2-3≠3-2就是不可对易。

比如位置和能量可以同时测准，时间和动量可以同时测准，位置和时间可以同时测准，能量和动量可以同时测准。

更细节的是，位置可以用xyz三个坐标表示，动量也可以分解到xyz三个方向。

x轴方向的位置和x轴方向的动量不可对易，但是x轴方向的位移和y轴方向的动量却是可对易的，可以同时测准。类似的，y轴方向的位置和z轴方向的动量也是可以同时测准的。也就是说同方向的位置和动量不能同时测准，但是不同方向的位置和动量可以同时测准。

这个细节应该很少有人提到。

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