托勒密定理
原来可以这么玩
今年8月初,小编有幸参加了在南京举行的第二届数学行者初中数学教学研讨会!因此,有机会现场聆听数学大咖们的分享!其中于特关于托勒密定理的妙用,让我大开眼界! 遂有此文,聊以纪念这次“南京数学行者”之旅!
托勒密定理内容简单、形式优美,有助于处理圆的内接凸四边形的边长。其相关推论对于解决凸四边形最值问题有很大帮助。小编将从托勒密定理的证明及应用,相关推广及应用来进行阐述!
1、托勒密定理的两种证法
一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。
定理:圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
已知:如图1,凸四边形ABCD是圆O的内接四边形,连接对角线AC、BD。
求证:AB.CD+BC.AD=AC.BD
图1
分析:由结论的形式我们可以联想到构造三角形相似,从而得到对应变成比例,并把它转化为乘积形式,从而得证!
证法一:如图2,在BD上找一点E,使∠1=∠2。
图2
证法二:如图3,∠1=∠2,使AE交CB的延长线于点E。
图3
2、托勒密定理的应用
例1:如图4,在O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘,点C为弧BD的中点,则AC的长是 。
图4
解析:连接BD,因为∠BAD=60,CB=CD,易知∠BCD=120,BD=√3BC
由托勒密定理知:AC.BD=AB.CD+AD.BC
即AC.√3BC=3BC+5BC
故√3AC=8,AC=8√3/3
例2:如图5,点P是等边△ABC外接圆劣弧BC上一点,连接PA、PB、PC。
求证:PA=PB+PC
图5
解析:因为△ABC为等边三角形,故AB=BC=AC
由托勒密定理知:AP.BC=AB.PC+AC.BP
即AP.BC=PC.BC+BP.BC,即AP=PB+PC
例3:(利用托勒密定理证明勾股定理)已知Rt△ABC,设直角边AB=a,BC=b,斜边AC=c。求证:
解析:如图6,构造矩形ABCD和外接圆O,
图6
由托勒密定理得:AC.BD=AB.CD+BC.AD
即AC.AC=AB.AB+BC.BC
即
3、托勒密定理的推论及证明
托勒密定理在解决圆的内接凸四边形的边长关系时非常简洁、方便,但仅限于该凸四边形共圆。如果凸四边形不共圆时,各边长将满足怎样的关系呢?
托勒密定理推论:任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且当ABCD四点共圆时取等号。
证明:如图7,在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD
则△ABE∽△ACD
图7
∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD
∴BE.AC=AB.CD(1),
AB/AE=AC/AD
∵∠BAE=∠CAD
∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC
即∠BAC=∠DAE
又∵AB/AE=AC/AD,
∴△ABC∽△AED
∴BC/ED=AC/AD
∴ED.AC=AD.BC(2)
由(1)+(2)得:
AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC
又∵BE+ED≥BD
∴AC.BD≤AB.CD+AD.BC
当且仅当点E落在线段BD上时,等号成立。
图8
如图8,此时∠ABD=∠ACD
∴ABCD四点共圆。
4、托勒密定理推论的简单应用
例4:如图9,在四边形中BC=CD,∠BCD=90。若AB=4cm,AD=3cm,则对角线AC的最大值为 cm.
图9
解析:本题是2017年园区初二期末数学统考题,我们通常采用旋转的方法求AC的最大值。当小编知道托勒密定理的推论时,这个问题变得非常简单。
由托勒密定理得:AC.BD≤AB.CD+AD.BC
即AC.√2BC≤AB.BC+AD.BC
即√2AC≤7,即AC≤7√2/2
我们从来不缺少知识,但我们缺少对知识有计划的吸收、加工和输出!
路漫漫其修远兮,吾将上下而求索!
end
联系客服