第八讲 无穷小与无穷大

1. 无穷小

如果函数f(x)当x®x0(或x®¥)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷小. 

    特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n®¥时的无穷小. 

    例如, 

    因为

, 所以函数

为当x®¥时的无穷小.

    因为

, 所以函数为x-1当x®1时的无穷小.

    因为

, 所以数列{

}为当n®¥时的无穷小.

    讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？

提示: 无穷小是这样的函数, 在x®x0(或x®¥)的过程中, 极限为零. 

2.无穷大

    如果当x®x0(或x®¥)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷大. 记为 

(或

).

    注: 当x®x0(或x®¥)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作

 (或

).

    正无穷大与负无穷大：

, 

.

    无穷大与无穷小之间的关系

    在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 

则

为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)¹0, 则

为无穷大.