第四十二讲 第一类换元积分法（凑分法）

利用直接积分法只能计算一些简单的不定积分，因此必须进一步研究不定积分的求法.把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法来求函数的不定积分，这种方法叫换元积分法.

定理1  设函数

是

的一个原函数，即

，

具有连续导数，则有

.

证明从略.

把上述定理改写成如下便于应用的形式

.

这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法，又称为凑微分法.

例1求

.

解  因为

令

，则

，于是

,

再将

回代，得

=

.

例2  求

.

解  因为

，令

，那么

，

将

回代，得

.

例3  求

.

解  因为

，令

，则

.

一般情况下，在解题熟练之后，可省略“令

”这一步，直接写出结果.

例4  求

.

解  这里

，利用

，所以

.

从上述几例可知，运用凑微分法求不定积分，必须熟悉基本积分公式.另外，下面微分公式也是今后求不定积分经常用到的.

例.5  求

.

解  

.

类似地，可以得到

.

例6  求

.

解  

.

类似地，可以得到

.

例7  求

.

解  

.