第四十八讲 定积分问题的引例

一、基本要求

理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理；掌握牛顿－莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握定积分在数学方面的两个简单应用.

二、内容提要

首先引入定积分的概念，然后讨论定积分的性质和计算方法，主要有牛顿－莱布尼茨公式；定积分的换元法与分部积分法；最后讨论定积分在数学方面的两个简单应用.

第四十八讲  定积分问题的引例

在科学技术和现实生活的许多问题中,经常需要计算某些“和式的极限”.定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象出来的数学概念,它与不定积分是两个不同的数学概念.但是,微积分基本定理则把这两个概念联系起来,解决了定积分的计算问题,使定积分得到了广泛的应用.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法.

1. 求曲边梯形的面积

曲边梯形：设函数

在区间

上非负、连续.由直线

及曲线

所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 

 

 

 

 

 

 

  

    怎样计算曲边梯形的面积呢? 

将区间

划分为许多小区间,相应地曲边梯形就被分割成许多小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 当把区间

无限细分下去,使每个小区间的长度都趋向于零时,所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.

根据上面的分析,可按下面四个步骤计算曲边梯形的面积A.

(1) 分割

在区间[

中任意插入若干个分点a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b, 把

 分成n个小区间:[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], × × × , [xn-1, xn ], 它们的长度依次为

x1= x1-x0 , 

x2= x2-x1 , ..., 

xn = xn -xn-1.

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个小曲边梯形. 小曲边梯形的面积记为

.

(2)近似代替

在每个小区间[xi-1, xi ]上任取一点ξ

 , 以[xi-1, xi ]为底、f (ξ

)为高的小矩形的面积近似替代第i个小曲边梯形的面积(i=1, 2, … , n) , 即

.

(3)求和

把这样得到的n个小矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即

»f (ξ1)

x1+ f (ξ2)

x2+× × ×+ f (ξn )

xn

. 

    (4)取极限

    显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记l=max{

x1, 

x2,× × ×, 

xn }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0.所以曲边梯形的面积为

. 

结论:曲边梯形的面积为一个和式的极限.

 2. 求变速直线运动的路程

设物体作变速直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1, T 2]上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S.

引例2与引例1情况类似,由于速度是变化的,不能按不变(匀速)的情况去处理,我们仍用上面四个步骤去解决这个问题.

    (1)分割 

用分点T1=t0< t1< t2< …<tn-1< tn =T2把时间区间[T 1, T 2]分成n 个小区间: [t0, t1], [t1, t2], [t2, t3], … , [tn-1, tn ], 这些小区间的长度(时间间隔)记为:

.在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1, 

S 2, …,

S n..

(2)近似代替

任取

,用

点的速度

近似代替物体在

上的速度,那么物体在时间区间

上经过的路程

近似为

,即

 

.

(3)求和

物体在[T 1, T 2]内所经过的路程

.

(4)取极限

    记l = max{

t 1, 

t 2,× × ×, 

t n}, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程

. 

结论:变速直线运动的路程为一个和式的极限.

上面两个例子,虽然实际意义不同,但是解决问题的数学方法是相同的,并且最后所得到的结果都归结为和式的极限.在科学技术中有许多实际问题也是归结为和式的极限.抛开实际问题的具体意义,数学上把这类和式的极限叫做定积分.