高考数学MOOK
2017 VOL.53
韩永权
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数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题，证明时，它的两个步骤（归纳奠基与归纳递推）缺一不可.一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
类型一
证明等式
【解题策略】
用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明．
类型二
证明与数列有关的问题
【解题策略】
“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．
其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．
这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．
类型三
证明不等式
类型四
整除性问题
【解题策略】
证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.
类型五
证明几何问题
解题策略
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，从几何图形上发现规律，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.
总结
总之，在利用数学归纳法证明时，要清楚数学归纳法的关键步骤是推导当n＝k＋1时结论成立，在推导过程中要使用假设.还需结合其它的证明方法，如分析法，比较法，添项拆项等数学方法，希望本文能对大家有所帮助.
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