1.鸡兔同笼。今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚。鸡兔各几只？
想：假设把35只全看作鸡，每只鸡2只脚，共有70只脚。比已知的总脚数94只少了24只，少的原因是把每只兔的脚少算了2只。看看24只里面少算了多少个2只，便可求出兔的只数，进而求出鸡的只数。
解决这样的问题，我国古代有人想出更特殊的假设方法。假设一声令下，笼子里的鸡都表演“金鸡独立”，兔子都表演“双腿拱月”。那么鸡和兔着地的脚数就是总脚数的一半，而头数仍是35。这时鸡着地的脚数与头数相等，每只兔着地的脚数比头数多1，那么鸡兔着地的脚数与总头数的差等于兔的头数。我国古代名著《孙子算经》对这种解法就有记载：“上署头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”具体解法：兔的只数是94÷2-35=12（只），鸡的只数是35-12= 23（只）。
2.物不知数。
今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何。
这是我国古代名著《孙子算经》中的一道题。意思是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。
想：此题可用枚举法进行推算。先顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合另一个条件的数。
3.三阶幻方。把1—9这九个自然数填在九空格里，使横、竖和对角在线三个数的和都等于15。
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角在线的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
4.兔子问题。十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子？ 想：第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；第四个月初，有3对兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子……。把这此对数顺序排列起来，可得到下面的数列： 观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。 5.求碗问题。我国古代《孙子算经》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）。题目意思是：一位农妇在河边洗碗。邻居问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只菜碗，共享65只碗。”她家里究竟来了多少位客人？ 想：若设客人是x人，可用各种碗的个数合起来等于碗的总数的关系列方程解答。 此题《孙子算经》中的解法是这样记载的：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得。”可见《孙子算经》的作者就是用求方程解的方法解这道题的。 |
6.三女归家。今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问三女何日相会？这道题也是我国古代名著《孙子算经》中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是：一家有三个女儿都已出嫁。大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？
想：从刚相会到最近的再一次相会的天数，是三个女儿间隔回家天数的最小公倍数。
7.有女善织。有一位善于织布的妇女，每天织的布都比上一天翻一番。五天共织了5丈（50尺）布，她每天各织布多少尺？
想：若把第一天织的布看作1份，可知她第二、三、四、五织的布分别是2、4、8、16份。根据织布的总尺数和总份数，能先求出第一天织的尺数，再求出以后几天织布的尺数。
8.蜗牛爬井问题。德国数学家里斯曾出过这样一道数学题：井深20尺，蜗牛在井底，白天爬7尺，夜里降2尺，几天可以到达井顶？
想：解这道题的关键是把最后一天爬行的情况与前面几天爬行的情况区别考虑。
9.巧分银子。10个兄弟分100两银子，从小到大，每两人相差的数量都一样。又知第八个兄弟分到6两银子，每两个人相差的银子是多少？
想：因为每两个人相差的数量相等，第一与第十、第二与第九、第三与第八，……每两个兄弟分到银子的数量和都是20两，这样可求出第三个兄弟分到银子的数量。又可推想出，从第三个兄弟到第八个兄弟包含5个两人的差。由此便可求出两人相差的银子是多少。
10.泊松问题。法国数学家泊松少年时被一道数学题深深地吸引住了，从此便迷上了数学。这道题是：某人有8公升酒，想把一半赠给别人，但没有4公升的容器，只有一个3公升和一个5公升的容器。利用这两个容器，怎样才能用最少的次数把8公升酒分成相等的两份？
想：利用两次小容器盛酒比大容器多1公升，和本身盛3公升的关系，可以凑出4公升的酒。
11.牛顿问题。英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？
想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
12.托尔斯泰问题。俄国大文学家托尔斯泰对数学很感兴趣，曾经编过这样一道题：“一些割草人在两块草地上割草，大草地的面积比小草地大一倍，上午，全体割草人都在大草地上割草，下午他们对半分开，一半人留在大草地上，到傍晚时把剩下的草割完，另一半人到小草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割完，这一小块第二天由一个割草人割完，假定每半天劳动时间相等，每个割草人工作效率相等，问共有多少割草人”？ 托尔斯泰年轻时发现的算术解法： “大草地上，因为全体割了一上午，一半人又割了一下午才割完，所以把大草地面积看作1，一半人半天时间割草面积为1/3，在小草地上另一半人曾工作了一个下午，这样他们在半天时间的割草面积也是1/3，则第一天割草总面积为4/3，剩下面积应为小草地面积1/2减去1/3，剩1/6，这一小块第二天由1人割完，说明每人每天割草1/6，则（4/3）÷（1/6）=8（人）”
代数学之父的古希腊数学家丢番图的墓碑上刻着一首诗，既代表他的生平，又是对他最好的纪念。墓中长眠着一个伟大的人物----丢番图 他一生的六分之一时光，是童年时代 （14） 又度过了十二分一岁月后，他满脸长出了胡须（21） 再过了七分之一年月时，举行了花烛盛典 （33） 婚后五年得一贵子 （38） 可是不幸的孩子 他仅仅活了父亲的半生时光 就离开了人间 （80） 从此作为父亲的丢番图 在悲伤中度过了四年后，结束了自己的一生 （84） X=1/6X+1/12X+1/7X+5+1/2X+4 X=84 |
14，国王赏麦
印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人—本国宰相，宰相就对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里赏给我一粒麦子，第二个小格里两粒麦子，第三个格里四粒麦子，以后每小格赏给的比前一格多一倍，六十四格放满了，也就是我要的奖赏了”。国王以为很简单，可结果发现把全印度，甚至全世界的麦子拿来也供应不了宰相的要求。
20+21+22+……+263=264-1=18446744073709551615（粒）
15奇怪的遗嘱
相传一位老人临终立下遗嘱，规定3个儿子可分掉他17头牛，但规定老大得总数的1/2，老二得总数的1/3，老三得总数的1/9，大家想半天仍未解决。
一天有个老农牵头牛经过，听说后，想了一会，说道：“我把这头牛借给你们，分完后再把这头牛还给我就行了”。
结果，老大分到9头牛，老二分到6头牛，老三分到2头牛，还剩一头牛正好归还。
16，民间有这样一道题：三十六块砖，三十六人搬，男搬四，女搬三，两个小孩抬一块砖。问男人、女人、小孩各有几人？
17百羊问题”
一牧羊人赶羊，又一过路人牵一肥羊从后面跟了上来，问道：“你赶来的这群羊大概有一百只吧”！牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只”。问这群羊共几只？
X+X+1/2X+1/4X+1=100
X=36
18勾股定理
勾股定理在《九章算术》中的表述：“勾股术曰：勾股各自乘、并，而开方除之，即弦”。
即c=√a2+b2，又有a = √c2-b2、b=√c2-a2
19,余米推数”
“问：有米铺诉被盗，去米一般三箩，皆适满，不记细数。今左壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲、乙、丙三人，甲称当夜摸得马勺，在左壁箩满舀入布袋；乙称踢得木履，在中箩舀入袋；丙称摸得漆碗，在右壁箩舀入袋，将归食用，日久不知数。索到三器，马勺满容一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合。欲知所失米数，计赃结断，三盗各几何？”
列不定方程：
2X+Y=M
3Y+Z=M
4Z+W=M
5W+U=M
6U+X=M
20韩 信 点 兵
我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次按1～3报数，第二次按1～5报数，第三次按1～7报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。
这种问题在《孙子算经》中也有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”， 西方数学家把它称为“中国剩余定理”。到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题。
到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。
用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15。最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少。
《孙子算经》中这个问题的算法是：
70×2＋21×3＋15×2＝233
233－105－105＝23
所以这些物品最少有23个。
根据上面的算法，韩信点兵时，必须先知道部队的大约人数，否则他也是无法准确算出人数的。你知道这是怎么回事吗？
这是因为，被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70。
被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；
被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15；
所以，这三个数的和15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。
以上解法的道理在于：
被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15；
被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；
被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70。
因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整数是 15×2＝30；
被3、7整除，而被5除余3的最小正整数是 21×3＝63；
被5、7整除，而被3除余2的最小正整数是 70×2＝140。
于是和数15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。但所得结果233（30＋63＋140＝233）不一定是满足上述性质的最小正整数，故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍，直至差小于105为止，即 233－1o5－105＝23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数。
我国古算书中给出的上述四句歌诀，实际上是特殊情况下给出了一次同余式组解的定理。在1247年，秦九韶著《数书九章》，首创“大衍求一术”，给出了一次同余式组的一般求解方法。在欧洲，直到18世纪，欧拉、拉格朗日（lagrange，1736～1813，法国数学家）等，都曾对一次同余式问题进行过研究；德国数学家高斯，在1801年出版的《算术探究》中，才明确地写出了一次同余式组的求解定理。当《孙子算经》中的“物不知数”问题解法于1852年经英国传教士伟烈亚力（wylie alexander，1815～1887）传到欧洲后，1874年德国人马提生（matthiessen，1830～1906）指出孙子的解法符合高斯的求解定理。从而在西方数学著作中就将一次同余式组的求解定理称誉为“中国剩余定理”。
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