指对混合不等式的证明技巧（二） | Math173

有一类常见的指对混合不等式形如xk⋅ex−lnx>p,其中k,p均为常数．接下来我们学习山东郑海明老师对于这类不等式的证明技巧．

首先，考虑函数f(x)=exxm，其导函数f′(x)=ex(x−m)xm+1,于是函数f(x)的极小值点为x=m，进而其极小值，亦为最小值是f(m)=emmm.

接下来，考虑函数g(x)=lnx+axn，其导函数g′(x)=n⋅(1n−a)−lnxxn+1,于是函数g(x)的极大值点为x=e1n−a，进而其极大值，亦为最大值为g(e1n−a)=ena−1n.

然后将两个最值连接．

方式一

令emmm=ena−1n,等价于a=m−mlnm+1+lnnn.理论上来说，如果原指对混合不等式的极值点为x=x0，那么我们恰当的取m,n(其中n=m+k，m≈x0)就可以完成证明：exxm⩾emmm=ena−1n⩾lnx+axn,即xn−m⋅ex−lnx⩾a>p.

方式二

直接证明em+1−np>mmn即可，特别的，当m=12时(因为欲证明的不等式极值点总是在12附近)，原不等式等价于e3−(2k+1)p>2(2k+1)2.

例一    证明：ex−lnx>2.3．

证明    取n=m，则a=1−lnm+1m+lnmm,考虑到欲证明的不等式左边极值点在x=12附近，取m=12，则RHS⩾3−ln2>2.3068>2.3,于是原不等式得证，书写如下：ex√x⩾√2e=2e1−ln22⩾lnx+3−ln2√x,因此ex−lnx⩾3−ln2>2.3068>2.3.

例二    证明：xex−lnx>1.5．

证明    取n=m+1，m=12，则原不等式等价于e3−4.5>29,也即e3814,因此原不等式得证，书写如下：ex√x⩾√2e⩾23e54⩾lnx+32x32,因此xex−lnx>1.5.

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练习1、证明：x2ex−lnx>1.1．

练习2、证明：x32ex−lnx>54．

注    函数g(x)=lnx+axn的极值点易求这点至关重要．掌握这一点就可以将这个方法灵活地运用于其他包含对数的不等式中去．