一道代数最值问题的几何求解“说三法”

代数与几何是初中数学中的两大主角，“你中有我、我中有你”。如何使两者完美结合，找到求解问题的简捷方法，今举一例代数最值问题，一起来说说其的三种几何求解方法：

【例】若：正数a、b，满足：a²－ab＋b²=21，求：（2a＋b）的最大值

【方法一】（图1）

（1）作△ABC，使∠ACB=60º，AC=b，BC=a，由余弦定理得：AB²=a²＋b²－ab=21，∴AB=√21

（2）作△ABC的外接圆⊙O，易得半径为√7，在弧AB上取一点D，连AD、BD，并使AD=2BD，则∠ADB=120º，解△ADB可得：AD=2√3，BD=√3，

（3）由托勒密定理得：√3b＋2√3a=√21CD，即：2a＋b=√7CD，CD的最大值为直径2√7，所以：（2a＋b）的最大值为：14

【方法二】（图2）

（1）同上作△ABC，延长BC至D，使CD=b/2，BD=a＋b/2，连AD，计算得：sin∠D=√21/7

（2）△ABD为“定角对定边”，所以：BD的最大值为其外接圆的直径：AB/sin∠D=7

（3）2a＋b=2BD，∴（2a＋b）最大值为14

【方法三】（图3）

（1）由己知：a²－ab＋b²=21，变形可化为：（2a＋b）²－2（2a＋b）×（√7a）×5√7/14＋（√7a）²=（√21）²

（2）作△ABC，使AC=2a＋b，BC=√7a，cosθ=5√7/14（sinθ=√21/14），则AB=√21

（3）△ABC为“定角对定边”，所以：边AC的最大值为其的外接圆直径：AB/sinθ=14

（4）由AC=2a＋b，∴（2a＋b）最大值为14

上以“三法”之分析，“道听度说”供参考