高考数学MOOK
2017 VOL . 08
作者:杨春波(河南郑州)
一、咒语内容
二、咒语解读
文末介绍一种冻结变量法破解“任意”与“存在”混合型问题,希望快速推导结论的同学可以直接看文末方法。
下面详细解释一下以上结论的逻辑规律。
破解:高三(19)班的教室里来了一个篮球运动员,扬言道:我比(19)班的任意一位同学都高!怎么检验这句话的真伪呢?
是否有必要把(19)班的每一位同学都和这位运动员比身高?
当然没有!我们只需让(19)班最高的那位同学和这位运动员一比高下,若
(19)班最高同学的身高<运动员身高,
那么就可保证篮球运动员高于(19)班的任意一位同学.
注:若将咒语中的改为≤、>、≥,也可类似破解,下同.
破解:高三(19)班的教室里来了一个乒乓球运动员,说道:我在你们班肯定不是最低的!这句话是什么意思呢?言下之意是:存在(19)班的一位同学,身高低于这位乒乓球运动员.该怎么检验这句话的真伪呢?
是否有必要把(19)班的每一位同学都和这位运动员比身高?
也没必要!我们只需让(19)班最低的那位同学和这位运动员一比高下,若
(19)班最低同学的身高<运动员身高,
那么就可保证乒乓球运动员的身高不是最低的.
破解:这里继续用“身高论”来破解,当然换作“成绩论”等其他的内容也可以.
从高三(19)班随意找一位同学A,从高三(20)班随意找一位同学B,如果总有A同学的身高>B同学的身高,这能说明怎样的一个事实?
这说明:高三(19)班的每一位同学都高于(20)班的同学!
这里面有好的情况,也有坏的情况.最坏的情况是A同学是19班里最低的,而B同学是20班里最高的,如果
高三(19)班最低同学的身高
>高三(20)班最高同学的身高,
那么必然就有高三(19)班的每一位同学都高于(20)班的同学!
破解:高三(19)班的同学A是随意找的,而高三(20)班的同学B却是存在即可,怎么保证A同学的身高>B同学的身高呢?
“任意”时,我们想最坏的情况,因此同学A应取(19)班最低的;“存在”时,我们想最好的情况,因此同学B也应取(20)班最低的.
如果
高三(19)班最低同学的身高
>高三(20)班最低同学身高,
那么是不是就有“任意的A”总高于“存在的B”呢?
仔细想想,是不是这个理儿?
破解:“存在的A”高于“任意的B”.“存在”想最好,所以A是最高的;“任意”想最差,所以B也是最高的.于是
高三(19)班最高同学的身高
>高三(20)班最高同学身高.
破解:“存在的A”高于“存在的B”.两个存在,都想最好的情况,只需
高三(19)班最高同学的身高
>高三(20)班最低同学身高.
破解:从高三(19)班随意找一位同学A,在高三(20)班都存在一位和A等身高的同学B,这是怎么回事呢?
这也很好理解嘛!因为A是任意的,所以必然是
高三(19)班的每一位同学都能在(20)班找到等身高的同学,也就是高三(19)班同学的身高集是(20)班同学身高集的子集.通俗地讲,就是(19)班同学的身高范围跑不出(20)班同学的身高范围.
破解:在高三(19)班和(20)班分别存在一位同学A和同学B,他们身高相同,那么他们的身高是两班身高集的公共元素.依存在性,则交集非空即可!
三、冻结变量法
冻结变量法破解“任意”与“存在”混合型问题
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