量子力学如何退化为牛顿力学？

在经典力学中，通过求解牛顿第二定律（F=ma）我们可以得到粒子的轨迹。在量子力学中由于不确定原理的存在，我们无法同时确定粒子的位置和粒子的动量，所以在量子力学中没有轨迹。

根据不确定原理，我们猜测，当普朗克常数ħ→0时，量子力学会退化为牛顿力学。换句话说量子力学的本质就是普朗克常数不为0。

为了进一步说明这个观点，让我们来考虑一个双缝。假设粒子由左侧的点O出发，我们想知道粒子落在P点的几率幅是多少。

由于是双缝，粒子可能走两个路径到达P，最终的几率幅应当是粒子分别通过这两个路径的几率幅的迭加。

根据量子力学的费曼路径积分表示，可表示为：

这里S1表示粒子沿路径1走的作用量，S2表示粒子沿路径2走的作用量。在经典力学中，作用量S被定义为拉格朗日量L对时间t的积分：

假设我们让粒子由O出发穿过三缝，粒子落在P的几率幅可表示为：

假设中间的“障碍物”上开满了缝（相当于没有“障碍”），粒子由O出发落在P的几率幅是：

换句话说就是要把粒子沿所有路径的几率幅都加起来才行。量子力学的路径积分表示与薛定谔的波动力学是等价的，比如我们可以证明用以上方案求出的几率幅满足薛定谔方程。

根据经典力学，粒子最终走过的路径（经典路径），对应使作用量S取极值的路径：δS=0，对自由运动的粒子而言，就是粒子由O出发沿直线走到P。这里δS表示的是对S的变分，即考虑粒子的路径变化了一点点时S的变化。

由δS=0，我们可以求出粒子的运动方程：

这个方程实际上就是牛顿第二定律。

现在我们来论证当ħ→0时，我们将得到使δS=0的路径。此时量子力学退化为牛顿力学。

假设经典路径对应的相位因子是1，它临近路径的相位因子是：

对靠近经典路径（C）的临近路径，δS=0，ħ虽然也趋于0但不是0，此时临近路径的相位因子趋于1，它和经典路径就构成了相长干涉，换句话说经典路径就会加强凸显出来。

对一般路径（δS≠0），这意味着它和它附近路径的相位差是δS/ħ，这里δS≠0，而ħ→0，δS/ħ就是个很大的不确定的数，反映在相位上就是任意相位，这样对一般路径而言，它附近的那些路径与它的相位差是任意取值的，因此会互相抵消掉。这样在ħ→0时，非经典路径的贡献就消失了。

小结：在经典力学中，我们研究的是轨迹，即粒子位置随时间的变化。粒子的轨迹可以通过求解δS=0得到。在量子力学中我们研究的是几率幅，几率幅是对“所有路径”的求和，这意味着粒子会“同时”沿所有的路径走一遍，这样求解出来的几率幅满足薛定谔方程。

当普朗克常数ħ→0时，量子力学退化为经典力学。