上一期我们讲了河图中数字的意象，其实就是不同的数字代表不同的方位而已，从这个角度来看河图，其实并不神秘。仅研究数字一至九本身没有太大意义。还需要研究进位制，以及研究它们之间的运算。进位制是表示更多数的理论基础，而运算则让数字插上了腾飞的翅膀！
河图(图甲)中间的三个五中的两个黑五的和如果也看成数字十的话，那么中间那层就有了5和10两个数字，把天数1、3、7、9用按从小到大用带箭头的弧线连起来，再把地数2、4、6、8也按从小到大用带箭头的弧线连起来，就可以得到河图的简略数图，如图(乙)。
古人研究河图都是从图(甲)开始的，从现代人的眼光来看，确实别扭神秘了许多。因此古代真正能理解河图的人少之又少，普及起来非常困难。而观察图(乙)，即使是小学生也可以说出几个数字规律来。现在很多讲河图的，大都讲得神神叨叨的，就像大仙儿！只讲其然，不讲其所以然。一副举世皆浊我独清的样子。让别人难以登堂入室。我的这个课程则不然，我讲，是从“河图自然生成”的角度去讲的，让你弄得明明白白！我这个《数学浮沉录》系列就是打算从远古数学开始讲起，一直讲到现代。用数学的眼光去看历史，用历史的眼光去看数学，尽可能做到通俗易懂，让大家学得幸福有趣！
一、河图中蕴含的进位制
观察河图(甲)。10个数分布成四个方环。最中间的方环中只有5；向外为两个5即10所处的方环；再向外是1、2、3、4所处的方环，其和为10；最外边是6、7、8、9所处的方环，其和为30.因此从内层到外层的数为5→10→10→30。这都是5的倍数，再结合柱数(生数)1、2、3、4，在此基础之上就是五进制的认识。如：十进制中的六在五进制中就是11，这个数的意思，就是“伸出一只手掌然后再伸出一个手指”。我猜在人们发明十进制之前，肯定最先采用是五进制，这与人们的一只手有五个手指相关，所以河图可以看成是人们的手掌所表示的五进制的计数模型，我们非常熟悉的五行学说与此有关，后面我还会详细讲到。
有了五进制的理解，就不难理解我们所熟悉的十进制了。随着表示数的增多，用五进制就不如十进制方便，五个五个数不如十个十个的数方便。于是又产生了利用河图中的'1、2、3、4、5、6、7、8、9'结合对10的理解创造出了十进制。
另外，利用'1、2、3、4、5、6、7、8'结合对9的理解也可创造出九进制。
如果仅从奇偶(或天地数)的角度看，那里面就仅有两个数，偶用0表示，奇用1表示的话，那就只有两个数0与1了，利用0与1来计数就是二进制。
所以说，河图可以看成是二进制、五进制、九进制、十进制的计数模型，当然也可以看成三进制等其他计数模型。
当然从十进制的角度看，用这么多进位制似乎没什么用处，好像是在故弄玄虚，仅仅是玩数字游戏一样，其实不然！
不同进位制在不同的场合有不同的用途。中国古代曾涉及到其他的进位制。例如二进制可与阴阳学说建立联系,《易经》的六十四卦，体现了二进制的思想，现代计算机的基本运算原理就是建立在二进制的基础之上的；西汉扬雄著有《太玄经》，《太玄经》是作者在精研《周易》的二进制后演绎而出的三进制 体系。充分地诠释了“天，地，人”的互动理念，是世界中最早的三进制体系著作；明代朱载堉在进行律管长度换算时实际上应用了九进制；清代数学家汪莱所著《叁两算经》，则是中国数学史上第一次系统探讨非十进制算术的论文，文中论述了二至九进制的理论和算法，列出了二至九进制的乘法表，并讨论了非十进制除法运算有否整数和有限小数商的情形。”
还需要深入探讨的是，进位制的实质就是“生活中数目太多，一个一个数不方便，那就一捆捆数”。如十进制，就是逐个数到10时，若大于等于10个的话，那就把10个打成一捆，放到十位上去看成1，然后在十位上再按照逐个数，十位上的一个一就是10，在十位上数到9后，若加1个，就是10个1.再把十位上的10个1打成一捆(实际是10个10)放到百位上，就是百位上的1，如此进行下去…。这就是十进制的理解。其他进位制道理相同。
按十进制的理解，河图表示的就不仅仅是这10个数，它表示的是所有的正整数，比如北方的1那个位置，除了表示1外，还表示11,21,31,41，…，这些数的公共特点都是除10余1.
仅仅用一个河图，就可以表示出所有的正整数！这是用有限表示无限的最典型实例，是远古先人用有限的资源驾驭无限，征服这个未知世界的智慧表现，咱们不得不被远古先人的智慧所折服！
二、对河图中纵横的理解
河图中以数组(5,10)为中心，(1,6)在北，(2,7)在南，（8,3）在东，(4,9)在西，这意味着具备水平与垂直的坐标观点，利用数对去刻画方位，这是现代解析几何的基本思想，传说解析几何是由笛卡尔观察屋顶上的蜘蛛网受到启发创造的，而河图中的解析思想要比笛卡尔早几千年！所以中国人也把河图称为纵横图，若东西为纵则南北就为横，若东西为横则南北就为纵。这里的四组有序数对中国人称为纵横数，纵横数不就是今天的坐标概念吗！河图可看作表示坐标系概念的最早的模型。由河图引发的纵横观一直追随着历史前进的脚步，经常听到“纵横天下”中的纵横就是河图中表达方位的意思。前面我们称“伏羲得到河图后，骑龙马，携河图，得以纵横天下”就是这个意思。
三、让河图中数产生运算关联
(1)内外层奇数相加:1+9=10,3+7=10，即逆时针方向相邻的内外层奇数相加的和数都等于 10 。竖向奇数相加：7+1=8，横向奇数相加: 3+9=12.
(2)内外层偶数相加:4+6=10,2+8=10，即顺时针方向相邻的内外层偶数相加的和数也都等于 10。坚向偶数相加:2+6=8，横向偶数相加:5+4=12.
(3)在1、9,3、7,4、6,2、8四组数中, 其组内的两个数之间互为 “和为10的互补数”。为:1 与 9 互补;3 与 7 互补;4 与 6 互补;2 与 8 互补。
也就是说, “河图” 中, 每两数相加后, 和数等于 10 的两数互为 “互补数”。
(4)内外层奇数相加:1+7=8,3+9=12.即内外层奇数相加的结果, 竖向二者相加为8 , 横向二者相加为12。
(5)内外层偶数相加:4+8=12；2+6=8.内外层偶数相加的结果, 是横向二者相加为12 , 竖向二者相加为 8 。
由(1)(2)(4)(5)四种数的计算结果看, 无论 “河图” 内外层的奇数还是偶数相加, 竖向二者的和数都是 8 , 而横向二者的和数都是 12 。
三、让河图中数的运算与方向的关联
(一)同一方位上的两数之和
(1) 1(北方)+6(北方)=7(南方)，为奇数(阳数)
(2) 2(南)+7(南)=9(西) ，为奇数(阳数)
(3)3(东方)+8(东)=11(按十进制，除10余1，为北) ，为奇数(阳数) (4)4(西)+9(西)=13(按十进制，除10余3，为东) ，为奇数(阳数)
从(1)(2)(3)(4),可以看出：生数 成数 奇数。在四个方向上, 各方的 “生数” 加 “成数” 的和数, 依次分别是 7、 9、11、13, 其各方向上的和数结果, 都是 “奇数” (单数、阳数)，北+北=南，南+南=西，东+东=北，西+西=东。
(5)中间方位:5+10=15.( 除10余5,为中)，中+中=中。
总结以上计算结果可知, “河图” 各方位上都有两个数，一个为奇数(阳数)，一个偶数(阴数) 它们的和都是奇数（阳数)。
(二)同一方向上的 “生数”和 “成数”, 都同时加上一个 5。
比如，“河图” 东方的 “生数” 3 与 “成数” 8, 同时加上一个 5 。3(东)+5=8，除10余8，8还是是东方。8(东)+5=13，除10余3，也还在东方.这说明东方的3、8各加5以后，所得数还是在东方，只不过交换了位置。
同理其他方向上也是这样。如4(西)+5=9(西),9(西)+5=14(14除10余4，还在西，在4的位置)。
即同一方向上的 “生数”和 “成数”, 都同时加上一个 5，得到的数还是这个方向上的数，只不过位置互换了。
（三）同一方位上的“生数”和 “成数”都同时相加非5的数
(1)北方的1与6 , 都同时加上一个3 。即为:1(北)+3=4(西)；6(北)+3=9(北)
也就是说,北方两数加3，得到的是西方相对应的两数，内层对内层，外层对外层，或说生数对生数，成数对成数。
同理我们可以得到：
(2)东方的 “生数” 3 与 “成数” 8 , 都同时加上一个 7 。得到的是 “河 图” 中间10与 15，15被10除余5,所以15仍然在内层。
(3)东方的 “生数” 3 与 “成数” 8 , 都同时加上一个 3 。得到的是 “河图”北方相对的 “内层数” 6 和 “外层数” 11（11被10除余1）。
(4)东方的 “生数” 3 与 “成数” 8 , 都同时加上一个 8 。得到的是 “河图”北方相对的 “内层数” 11 和 “外层数” 16(16被10除余6) 。
(5)西方的 “生数” 4 与 “成数” 9 , 都同时加上一个 19 。得到的是 “河图”东方相对的“内层数” 23 (23被10除余3)和 “外层数” 28 (28被10除余8)。
其他各方位数与某一数的和数的结果, 依此类推。
(四)横向(或纵向)上的两个成数相加与两个生数相加的关系。
如，东西(不妨先称为横)方向上的成数8(东)与成数9(西)相加，8+9=17，除10余7，等于东西方向上两个生数3(东)与4(西)相加相加。
南北方向上也是这样。
即横向(或纵向)上的两个成数相加都大于10，被10除所得余数，与横向(或纵向)上两个生数相加的和相等。
(四) 内层生数”加10 。
如，生数 4(西) , 加10 。4(西)+10=14，被10除余4，所以14还在西方，那么从大小来看，4与14之间隔了6.
即内层生数加中 10 。等于同方位外层相隔的成数。其他方向也是这样。
以上我们讲了河图数字的部分意蕴，事实上，远远不止这些！这些知识非常重要，是进一步理解其他意象的基础，也是周易入门的基础。请看下一期，河图与五行的关联(数学浮沉录8)
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