第34期 费马点及其推广和应用

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。）

2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

（1）根据定义，首先判断给定三角形的三个内角是否均小于120°.

1.以任意半径画圆0，并作出圆的一条直径AB。

2.以点A（或点B）为圆心，OA（或OB）为半径画出圆A（或圆B）

3.两圆相交于C点，联结AC，BC

4.则∠CBA或∠CAB为30°，∠C为90°，两角相加即为120°

（2）若大于等于120°，则该钝角顶点即为该三角形的费马点

（3）若三角形的三个角均小于120°，则继续做以下步骤

1.以三角形任意一边a向外做等边三角形

2.找出该等边三角形的外心，并作出外接圆

3.联结a边所对的两个顶点(连接AD)

4.该连线与外接圆交点即为该三角形的费马点