彭罗斯拼图上的十二面体

当我们讨论数学的美及其对称性时，我们经常忽略它们到底是什么（本质是什么）。在这篇文章中，我将介绍被称为群论的数学研究，它是被称为抽象代数和现代代数领域的基础。

三角形的对称性

我将从三角形的对称性开始，作为一种粗略的方式来理解即将到来的术语。我要做的就是从基本几何中提炼出一般意义。

定义1：三角形，三角形是平面内任何三个唯一的点，或平面内任何三条唯一直线所围成的区域。

定义2：等边三角形，如果一个三角形的三条边长度相等，我们就说这个三角形是等边的。

根据基本几何学，我们知道等边三角形的3个内角也是相等的。欧几里德以如下方式构建等边三角形。

因为这两个圆共享一个半径，而且所有三个点都位于两个圆上，所以任何两个圆之间的距离必须是相同的。稍后我们将看到这意味着什么。

以这里给出的三角形ABC为例。我们可以沿着它的一条平分线进行反射，或者我们可以将它旋转三分之一圈。这里用r代表旋转，用f代表反射。

我们可以看到，通过这些操作正好可以得到6种结果，举例来说：

可以想到，三角形的对称性对应于字母的重新排列，并且旋转和反射足以得到所有这些结果。如果你想尝试一下，从一张纸上剪下一个三角形，并尝试2或3个反射或旋转的每个组合。把它们做成一个表格，看看每个角的位置。

然后我们最终发现三角形{a,b,c}有一系列的旋转和反射使它保持不变；这些都是由一次旋转和一次反射“构建”而成的。

这里，e是 "自身"，即 "什么都不做"。

我们把这些称为对称性，这仍然不是一个很好的解释。我们更进一步，把具有这些对称性的三角形写成（T，G），其中：

T={a,b,c}，G=（r，f，r^2，rf，r^2f）。你可以认为这是在描述一个等边三角形的属性：它是一个由三点组成的集合，其中某些旋转和反射（G中的那些）让它保持不变。我们现在称这些为对称性，但在不久之后会再一次完善定义。

什么是群？‍‍

定义3：群，一个群是一个集合X，与一种乘法（当a与b相乘时写成ab）相结合，使得：

X是封闭的：X的任何元素通过乘法运算后仍属于X。
X有一个单位元素：有一些元素e，使得对于X中的任何x，ex = xe = x。
乘法是结合的：对于X中的所有a,b,c，a(bc)=(ab)c=abc；并且
乘法有一个逆运算：对于X中的所有x，存在一个元素y，使得xy=yx=e，我们可以表示这个y为x^(-1)。

一个群是任何元素的集合。现在，如果你回顾一下三角形例子，这个三角形是由（T,G）给出的。正如我们上面描述的那样，G是一个群。如果把不同的旋转和反射结合起来，就会得到一个旋转或反射，而且正如我们的表格所显示的，这些旋转或反射中的每一个都有一个逆数（在表格的每一行，至少有一个e，所以每个元素至少有一个逆数）。最后，它是“结合的”，正如我们可以通过同样的推理来检查。

在三角形的例子中，我们必须注意，三角形本身不是群，顶点也不是；相反，{a,b,c}这个集合被旋转和反射群所作用。这个群被称为D3，即作用于3个物体的二面体群。

在继续之前，深呼吸一下，不要想太多。我们所做的只是说出了一些我们已经理解的东西，或者我们至少可以在直观的层面上做一些尝试。这个 "大跨步 "是我们将这些对称与它们赖以生存的东西分离开来，这是非常有价值的，我们稍后会看到。

例子‍

算术模数3

让我们再举两个简单的组的例子。第一个是一个有3个小时的时钟的算术。

一个有3个小时的钟。

在这个有3个小时的时钟上，我们将定义一些基本的算术。以2+1为例。2之后的一个小时是0，所以2+1=0。

同样地，2+2=1，2×2=1。其他一切都 "和平时一样"。

这就是所谓的算术模数3。我们现在将专注于加法属性；在这种加法下，我们将集合{0,1,2}称为Z3，对它进行+运算。这是一个极其基本的群，作用于这个极其简单的集合。对有兴趣的读者来说，一个很好的练习是检验（Z3，+）是否是一个群。

这也恰好等同于仅由三角形上的旋转形成的群。

有理数

取任何分数p/q，其中p，q不为0。通过乘法运算，这就是一个群。在加法运算下，它们也是单独的一个群，p允许为0（但q不允许！）。提示：在乘法中的e是1，在加法中的e是0。

单位圆的旋转角度为k

正如你可能已经注意到的那样，旋转在平面上很容易产生群（后面会有更多介绍）。现在，注意到所有旋转的集合，无论是作用于平面还是作用于以原点为中心的任何圆，都是群。

群的属性

现在我们有了一些例子，我们注意到以下几个术语和想法：

交换的：如果运算可交换，也就是对于X中的所有元素，xy = yx，那么我们说这个群是交换群。
子群：如果群的一个子集仍然是一个具有相同运算的群，我们说它是一个子群。一个很好的例子是整数的加法，以及任何素数的倍数集合；比如{...-10,-5,0,5,10,15...}在这里写成5Z（与Z5不同！）。
群阶：我们说一个群中元素的数量就是它的阶。
→ 拉格朗日定理：如果H是一个有限阶的群，而G是H的一个子群，那么G的阶就能整除H的阶。
元素阶：元素g的阶是使g^k = e的最小数k
→ 柯西定理：如果H是一个有限阶n的群，p是一个能整除n的素数，那么H至少有一个p阶的元素。

这给了我们一些方式，把群看作是数论和几何学的基础结构。这就引出了最后的定义。

从群的角度看几何学‍

定义4：几何学，几何学是一对（S,G），其中S是一个集合，G是一个变换群。

这就把我们引向下一个定义：

定义5：变换，变换是一个从集合A到自身的函数T，通常写成T：A→A，这样，A中的一切都归于A中唯一的东西（一对一），并且T的输出涵盖A的全部（满射）。一个一对一和满射的函数被称为双射，而从一个集合到它本身的双射（保留了群结构）是一个自同构。

因此，一个几何体是一个集合，这个集合具有一个群，这个群的函数满射到自身；或者是一个集合，这个集合的群是自同构的。这些也被称为对称性。

回到三角形，有一些语言，我们可以更好地理解。

这里，整个几何学是（S,G）。三角形是S={a,b,c}的集合，自同构群由r和f的组合组成。我们把这个群写成G或<r,f>。这些元素分别有3阶和2阶，因为r^3是a→b→c→a（对于任何一个元素都是如此），而f^2是a→c→a（同样，每个元素都被保留了，尽管b没有改变）。r和f的组合是三角形的对称性。

最终定义：

定义6：欧几里得几何，欧氏几何是复数的集合C，与T(z)=r(z)+b形式的变换群H相结合，其中z是一个复数，b是一个复数常数。

也就是说，它是平面的所有旋转和平移的集合。看看你是否能自己明白为什么这有意义。

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