相对论数学原理（二），摈弃常识与偏见

常识就是人在十八岁之前形成的各种偏见——爱因斯坦

首先，我们来看看牛顿方程里没有什么。牛顿的方程中不涉及光速c。而光速绝对是爱因斯坦狭义相对论的核心。此外，牛顿力学假定时间和空间是不相关的绝对概念。狭义相对论（只适用于没有重力的情况）将这两个量统一成一个称为时空的单一流体实体。时空中的时间距离和空间距离不再是绝对的，而是取决于观察者的相对速度。然而，狭义相对论认为，物理定律与任何观察者的匀速运动无关。

时空图是将狭义相对论的一些基本性质形象化的一个有用的几何工具。然后，我们可以在这些见解的基础上，转向更代数的方法，引入洛伦兹变换，并努力理解狭义相对论是如何重新表述力学定律的。但首先我们需要介绍一些基本概念。这些都是：时间、时空、事件、参考系、惯性参考系、坐标变换、伽利略变、换狭义相对论的两个假定。

时间

我们已经知道，牛顿力学假设时间是独立于物理现象的，对所有观察者来说也是如此。这不是狭义相对论的情况，狭义相对论迫使我们放弃许多关于时间意义的“常识”。例如，同时性不再总是绝对的——空间中分离的两个事件对一个观察者来说可能同时发生，但对另一个观察者来说可能在不同的时间发生。

当我们在狭义相对论中谈论时间时，我们不仅仅是在谈论读取的时钟。相反，我们指的是一种更深刻、更基本的时间概念，即自然过程的内在速率。μ介子是一种微小的亚原子粒子，宇宙射线与地球大气层的相互作用产生了大量的μ介子。它们的生命周期很短（大约两百万分之一秒），很少能活着到达地球表明。大多数能存活下来的原因是，它们以接近光速的速度运行，受到相对论时间膨胀的影响——换句话说，μ介子的“内部时钟”（不管它是什么）运行得更慢。

时空‍

在牛顿力学中，事件是用三维欧几里德空间加上一个独立的绝对时间尺度来描述的。在狭义和广义相对论中，空间和时间都融合成一个单一的四维实体（或连续体），称为时空。

• 狭义相对论中的时空是平的（平行线不相交）。因此，用笛卡尔坐标加上时间坐标来描述它是最简单的。虽然我们用的是笛卡尔坐标，但是我们现在已经远离了我们熟悉的欧几里德空间。时空是平的，但它不是欧几里德的，原因很简单，时空中点之间的距离是用非欧几里德度规来描述的。
• 相反，广义相对论的时空是弯曲的，而不是平坦的。

狭义相对论的时空，被称为闵可夫斯基空间或闵可夫斯基时空，这是以德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基的名字命名的，他是爱因斯坦在苏黎世理工学院的数学老师，1908年，他在一次公开演讲中用著名的一句话向世界介绍了时空：

我想在你们面前阐述的关于空间和时间的观点，是从实验物理学的土壤中产生出来的。从今以后，单独的空间和单独的时间，注定要消逝为纯粹的阴影，只有两者的某种结合才能保持一个独立的现实。

事件

我们对时空中发生的事情感兴趣，我们称之为事件。事件是在时空中瞬间发生的事情，比如一盏闪烁的灯，或者移动物体上的一个点经过另一个点。时空中的所有事件都用四个坐标t，x，y，z来定义。

想象一个粒子在时空中运动。我们可以把粒子的运动看作是一连串事件。如果我们把所有这些事件联系起来，我们就会得到一条线来代表粒子在时空中的过程。这条线叫作粒子的世界线。

参考系（参照系）

狭义相对论研究的是相对运动的观察者如何在时空中测量事件。每个观测者用来进行测量的坐标系称为参照系。我们用的是简单的笛卡尔坐标，所以我们可以把我们的参照系想象成一系列无限大的笛卡尔坐标系在时空中快速移动。我们可以通过使用(x，y，z)坐标来确定S中任何事件的空间位置。但我们也需要描述事件发生的时间。因此，我们想象我们的坐标系S充满了无数个有规律间隔的时钟，所有这些时钟都是同步的，并以相同的速度运行。要找出事件发生的时间，我们只需查询与之相邻的时钟。

这似乎是一种奇怪的、费力的测量时间的方法。为什么不想象一个观察者坐在舒适的椅子上，看到一个遥远的事件，通过查看邻近的超精密钟表或手表来记录时间。这种情况的问题在于，它并没有告诉我们事件是什么时候发生的，只是告诉我们观察者是什么时候看到事件发生的，这并不一定是一回事。半人马座阿尔法星是离地球最近的恒星，距离地球4.4光年。如果它今天爆炸，我们要4.4年才能知道。为了理解时空，我们必须假设我们知道事件发生的确切时间。这就是我们用同步时钟填充参考系的原因。

它通常有助于避免人类观察者在一个参照系中进行物理测量的概念。相反，我们可以简单地将一个参考系定义为一个坐标系统，其中每个事件都位于三个空间坐标(x，y， z)和一个时间t坐标的时空中。

惯性参考系

狭义相对论特别关注均匀运动的参照系，即惯性系。在学习牛顿力学时，我们已经遇到过惯性系，并看到其中的物体遵循牛顿第一定律，即物体将保持静止或匀速直线运动，除非受到外力的作用。狭义相对论中的惯性系被称为洛伦兹参考系。

洛伦兹坐标系和牛顿惯性坐标系一样吗？只有在它们都是匀速运动的坐标系中物体服从牛顿第一定律。它们在处理引力的方式上有根本的不同：

• 狭义相对论和洛伦兹参考系关注的是在没有引力的情况下物体和光线的行为。
• 另一方面，牛顿的惯性系，可以包括引力，把它当作另一种力。

洛伦兹坐标系只能被精确地构建在平坦时空中，换句话说，这个时空不会因为质能而弯曲。原因之一是引力时间膨胀（在引力场中时钟运行速度变慢的现象）使得全局时钟同步成为不可能。

然而，尽管在引力场中不能建立一个精确的全局惯性系，但在许多情况下，地球上的局部参照系是一个有用的惯性系的近似。当讨论广义相对论和等效原理时，我们会看到一个在引力场中自由落体的坐标系实际上是一个局部惯性坐标系。

坐标变换

我们需要比较观察者在相对运动中的测量值。假设有一个观察者O，在S参考系中测量一个事件的时间和空间坐标，比如一盏灯忽明忽暗的。我们先搞清楚这是什么意思。闪光只是时空中发生的一件事。我们可以用无数个参照系来描述这个事件，但我们选择了一个S。参照系S中的观测者使用笛卡尔坐标和同步时钟来测量事件，并通过分配四个时空坐标t，x，y，z来定义它的位置。

另一个观测者O'在另一个坐标系S'中以相对于S的恒定速度运动，用笛卡尔坐标和同步时钟来测量同一事件，并给它分配了四个坐标t'， x'， y'， z'。除非坐标系重合，否则t，x，y，z不等于t' ，x'， y' ，z'。但是，因为它们都是简单的笛卡尔坐标系，我们希望有一组相当直接的方程，允许我们把坐标t，x，y，z，和坐标t'，x'， y'，z'联系起来。这组方程称为坐标变换。

那么，对于两个相对运动的观察者来说，正确的坐标变换是什么？在狭义相对论出现之前，答案应该是一组非常简单的方程，即我们现在看到的伽利略变换。

伽利略变换

伽利略变换被用来在两个参考系的坐标之间进行变换，这两个参考系在牛顿物理学的构造中只有恒定的相对运动。这些变换加上空间旋转和空间时间的平移形成了非均匀的伽利略群。没有空间和时间上的平移，群就是同质伽利略群。伽利略群是伽利略相对论作用于空间和时间的四维上的一组运动，形成了伽利略几何。这就是被动转化的观点。在狭义相对论中，齐次和非齐次伽利略变换分别由洛伦兹变换和庞加莱变换代替；相反，庞加莱变换的经典极限c→∞中的群收缩产生了伽利略变换。

伽利略对称性可以被唯一地写成，时空的旋转，平移和均匀运动的组合，设x表示三维空间中的一个点，t表示一维时间中的一个点。时空中的一般点是由一个有序对(x，t)给出的。

速度为v的匀速运动由：

其中：

平移变换由下式给出：

旋转变换为：

作为李群，伽利略变换群的维数为10。

狭义相对论的两个假设

爱因斯坦的狭义相对论建立在两个关于宇宙运行方式的基本假设的基础上：

• 相对论原理——物理定律在任何惯性参照系中都是一样的，无论位置或速度如何。
• 在所有惯性参照系中，光速在真空中的恒定值c = 3 × 10^8米每秒。

第一个假设，将伽利略相对论扩展到所有的物理定律，并不难接受和理解。第二个假设是令人震惊的。这是一个与我们日常对时间和空间的假设相悖的理论。