不幸的是,广义相对论中使用的矢量并不是空间中从一点延伸到另一点的有向线段。相反,每个矢量都位于时空中的一个点上。事实上,时空中的每个点本身就是一个矢量空间,并且是无数个矢量的家园。这个向量空间既是一个切空间(包含那些被称为1-形式的对象)。逆变向量和1-形式应被认为是同一几何物体在时空中某一点的不同表示。下面将详细介绍,但是对于一个逆变向量,考虑一个参数化曲线的切向量;对于1-形式,考虑标量场的梯度。我们稍后会看到度规张量是如何将一个向量转换成它相应的1-形式的,反之亦然。简单向量和我们现在讨论的更抽象的向量都被称为“向量”的原因是它们都遵守定义向量空间的规则。简而言之,向量空间由一组对象(例如称为群X)组成,这些对象可以加在一起并乘以一个标量,结果将是群X的另一个成员。到目前为止,指标(上下标)都是指特定的坐标系:x, y, z表示笛卡尔坐标系;r, θ, φ代表球面,等等。微分几何要求更抽象地使用指标,它们可以指任何允许的坐标系统。类似地,在广义相对论中,因为我们处理的是弯曲的时空,所以没有首选的坐标系,我们需要能够从任何一个坐标系转换到任何其他坐标系(术语是,使用的是广义坐标系)。因此,如果