这些通信和照明方面的革命很大程度上要归功于法拉第;电力的产生很大程度上归功于麦克斯韦。但是麦克斯韦最大的贡献是电磁方程。麦克斯韦尔出生于爱丁堡。十几岁的时候,他就迷上了数学,在一次学校比赛中,他写了一篇关于如何用针和线画椭圆曲线的论文。16岁时,他进入爱丁堡大学学习数学,并在爱丁堡皇家学会的期刊上发表了纯数学和应用数学方面的论文。麦克斯韦尔获得了数学学位,并继续在三一学院攻读研究生。在那里,他阅读了法拉第的《实验研究》,并从事电和磁方面的研究。1860年,他搬到伦敦国王学院,在那里见到了法拉第。麦克斯韦开始了他最具影响力的探索:为法拉第的实验和理论建立数学基础。当时,大多数研究电场和磁场的物理学家都在寻找它们与引力的相似之处。因为引力是一种力,一个物体作用于另一个物体,并且两个物体没有“物理接触”。电和磁被认为以同样的方式作用。法拉第有一个不同的想法,他认为电场和磁场都是“场”,一种遍布空间的“物质”,可以被它们在空间中产生的力探测到。什么是场?在麦克斯韦能够用数学方法描述这个概念之前,几乎没人能说得清楚。但法拉第缺乏数学方面的训练,他提出了几何结构的理论,比如力场沿着“力线”拉动或推动。麦克斯韦的第一个重大突破是用流体流动的数学重新表述了这些思想,在流体中,场实际上就是流体。力的“线”类似于流体分子所遵循的路径;电场或磁场的强度与流体的速度相似。通俗地说,场是一种看不见的流体;数学上,它完全是这样的,不管它到底是什么。麦克斯韦从流体数学中借鉴了一些思想,并加以改进,以描述磁场。接着,麦克斯韦又研究了磁场与电场的关系。当电流体流动时,它会影响磁流体,反之亦然。对于磁场,麦克斯韦把它想象成空间中微小的涡流。电场由微小的带电球体组成。根据这个类比和由此得出的数学结果,麦克斯韦开始理解电场强度的变化是如何产生磁场的。当电球移动时,它们会引起磁涡流旋转,就像我们通过旋转门一样,人移动而不旋转,门旋转而不移动。麦克斯韦对这个类比有点不满意,他说:“我并没有把它作为一种存在于自然界的关联方式而提出……然而,它在机械上是可以想象的,很容易研究的,它有助于揭示已知电磁现象之间的关系。”他用这个模型来解释为什么携带相反电流的平行电线会相互排斥,他还解释了法拉第关于电磁感应的发现。下一步是在保留数学的同时去掉类比的“机械装置”。这相当于写出电场和磁场之间基本相互作用的方程,它是由力学模型推导出来的。1864年,麦克斯韦在他的著名论文《电磁场动力学理论》中实现了这一目标。我们现在用矢量来解释他的方程。矢量是由三个数字组成的三元组(x, y, z),例如,流体在给定点上的速度是一个矢量。相反,在给定点上的压力是一个标量。电场是什么?从法拉第的角度来看,它是由电力线决定的。在麦克斯韦的类比中,这些是电流体的流线。流线告诉我们流体流动的方向。因此,对于空间中的每一点,通过该点的流线决定了一个矢量,这个矢量描述了电流体的速度和方向,即该点处电场的强度和方向。相反,如果我们知道空间中每一点的速度和方向,就可以推断出流线的样子,也就知道了电场。简而言之:电场是一个向量系统,空间中的每个点对应一个向量。每个向量都规定了在该点上的电作用力(施加在一个带电的微小测试粒子上)的强度和方向。数学家称这样的一个“东西”为向量场:它是一个函数,给空间中的每个点分配相应的向量。同样地,磁场是由磁力线决定的;它是一个矢量场,对应于施加在一个微小的磁性测试粒子上的力。在弄清电场和磁场是什么之后,麦克斯韦可以写出描述它们作用的方程。我们现在用两个向量算子来表示这些方程,分别是散度和旋度(如何理解和区分旋度、散度和梯度?微分学中重要的概念)。麦克斯韦使用了电场和磁场的矢量公式。在没有导线或金属板,没有磁铁的特殊情况下,一切都发生在真空中。两个方程告诉我们,电和磁流体是不可压缩的,也就是说,电和磁不能消失,它们必须到某个地方去。这被翻译成“散度为零”,从而得到方程