偶然发现自然奥秘的方程式，数学是如何推动物理学发展的？

今天，我们将讨论3个方程，一个导致了量子力学的诞生，另一个为广义相对论奠定了基础，最后一个方程是将量子力学和相对论结合起来的第一次成功尝试。

理论物理学家的追求是通过一个基础理论来解释不同的现象，这个理论由数学规则组成，必须能解释观察到的结果。一般来说，这种方法是将实验数据与数学模型相匹配的。然而，在许多情况下，“数学之美”迫使这些物理学家回头去看方程式，并试图在此基础上 "适应自然"。我们将看到一些方程式最初导致了什么，以及它们是如何展开的，以发现关于自然界本身的一些基本东西。

量子力学的起源

正常的物质，由于其内部粒子的运动，会发出电磁辐射。像太阳（表面温度约6000K）这样的物质会发出白色的光芒，我们的人体（表面温度约300K）会发出低频红外光等等。

• 瑞利-琼斯定律（ Rayleigh-Jeans Law ）预测的黑体辐射（维基百科）

以上是实验得出的恒温黑体的亮度随频率变化的分布图。

直到20世纪初，这条曲线还是一个数学上的谜团。瑞利和琼斯提出了一个新的概念来解释这个问题，即一个物体的热能将在粒子振动的所有可能能量状态中平均分配。他们假设粒子可以以尽可能低的能量振动。

由此得出的方程（如上图所示，图中的黑色曲线）预测，随着频率的增加，强度应最终接近无穷大。(这就是俗称的 "紫外线大灾难"。)

马克斯-普朗克将这一灾难视为一个意外。在他绝望时，他引入一个数学技巧，他假设一个粒子只能以某个最小能量的倍数振动。他给这个最小能量分配了一个数字（hν），其中h是一个非常小的数字，ν是频率。他不相信量化的能量状态，相反，他认为 "h "这个词会在最后的方程中被取消，因为能量应该是连续的。但事实并非如此。

相反，他提出的这个方程完美地预测了黑体曲线。最初被引入的是一个技巧，现在暗示h是一个真实的、自然界的基本实体。它导致了能量实际上是量化的想法。h被称为普朗克常数。这是量子力学的起源，后来导致了玻尔、海森堡和薛定谔等人的量子理论的诞生。

广义相对论

• 时空曲率示意图

爱因斯坦最初相信静态宇宙的概念，这个概念在当时是被接受的。1915年，他提出广义相对论。他对自己的方程不满意，因为这些方程预测整个宇宙最终会在引力的作用下收缩，预示着宇宙的终结方式是自身坍塌。

为了否定这种可能性，爱因斯坦在1917年增加了一个宇宙学常数（Λ），并给它定了一个值，这个值正好可以抵消引力，使宇宙保持静止（一个不稳定的平衡状态）。他后来称这个想法是 "他一生中最愚蠢的行为"。1931年，哈勃望远镜颠覆了物理学界，发现宇宙实际上在膨胀，而不是静止的。

所以，宇宙不是静止的。爱因斯坦是怎么做的？他放弃了宇宙常数，提出了一个持续膨胀的宇宙模型，即Λ=0。

爱因斯坦的这个Λ=0的宇宙膨胀模型被认为是正确的，直到1998年，我们的理解将永远改变。

两组天文学家对遥远的超新星进行了观察，发现星系不仅仅是在远离我们，而且实际上是在加速远离我们。这意味着有一种潜在的能量正在迫使它们远离我们。这意味着宇宙学常数Λ确实存在，而且Λ>0。这个能量存在，但从未被直接观测到，被称为真空的暗能量。

狄拉克方程

到了20世纪初，我们了解了物质粒子的波特性。薛定谔方程预测了任何量子系统的波函数的演化。然而，它也有自己的问题。

• 与时间有关的薛定谔方程

1. 薛定谔方程只能预测缓慢运动粒子的波函数。正如我们从狭义相对论中知道的那样，所覆盖的距离和所经历的时间的值与观察者有关。这是一个大问题，因为亚原子粒子确实以非常高的速度运动。
2. 薛定谔方程对存在于磁场中的电子预测了错误的结果。物理学家们发现了电子的一个隐藏的量子状态（称为电子自旋，它可以有两个值），这在薛定谔波函数中没有考虑到，而在磁场中，自旋方向是非常重要的。

• 保罗-狄拉克

1928年，保罗-狄拉克解决了薛定谔方程中的这些问题。他试图建立一个具有两种可能自旋状态的电子模型，他从爱因斯坦的方程开始，试图用量子形式中的能量和动量取代它们各自的项。结果方程相当复杂，在数学上可以说是 "丑陋的"。

在试图解决这一复杂的问题时，他偶然发现了一个美丽的想法。他意识到，与其求解一个二分量的电子系统，不如求解一个四分量的系统，将方程中的复杂性压化简一个美丽的形式。

• 狄拉克方程（μ假设值为0、1、2、3）

他刚刚在4分量电子中引入了两个新的自由度，却没有意识到它们代表什么。由此产生的方程是如此优雅，使他相信自己走在正确的道路上。

他的方程在预测快速运动的电子在磁场中的演变方面取得了成功（解决了上述问题1和2）。

但这两个额外的量是什么？

计算这两种新状态的能量，狄拉克发现这些粒子可以表现出负能量和正电荷，与电子完全相反。让我们把它们称为反电子。解释这些的理论意味着，如果一个电子与一个反电子相互作用，它们都会湮灭并释放出所有的能量。

狄拉克方程的额外成分已经预测到了反物质的存在。1928年后不久，实验物理学家在宇宙射线中成功观察到了反电子（称为正电子）。反物质是真实存在的，甚至在我们意识到它的存在之前，狄拉克就已经能够预测并计算出它们的特性。

对数学之美的追求给狄拉克带来了丰厚的回报。没有预先定义的方法，在理论上追求某种形式的美或优雅，而不是实验的意义，这一直是物理学界最优秀的人之间长期的哲学辩论。