高一预科-----2.11指数与指数幂的运算

2.11指数与指数幂的运算

一、复习引入：

1．整数指数幂的运算性质：om]

2．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，(

)

=a.

②当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

=|a|=

.

⑶根式的基本性质：

，（a

0）

用语言叙述上面三个公

式：

⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开

方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

3．引例：当a＞0时（根式化成分数指数幂）

①

                               ②

③

                                ④

二、讲解新课：

1.正数的正分数指数幂的意义    

 (a

＞0,m,n∈N^*,且n＞1)

要注意两点：1.分数指数幂是根式的另一种表示形式；2.根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规

定.

2.规定：

(1)

 (a＞0，m,n∈N^*,且n＞1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有以下运算性质.

3.有理数指数幂的运算性质:

 

 

说明：若a＞0，P是一个无理数，则

表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指

数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

三、讲解例题：

例1

                                          

                                         

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：(式中a＞0)

例3.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)

 

例4.用分数指数幂表示下列各式：

(1)

                       (2)

（ａ＋ｂ＞０）

 

(3)

                  (4)

（ｍ＞ｎ）

 

(5)

（ｐ＞０）           (6)

 

例5.计算下列各式（式中字母

都是正数）（教材52页例4）

                        

 

 

例6计算下列各式：