方程术和正负术

        鄙以为，这是整个《九章算术》中最精华、最漂亮的部分。

        按惯例，以例题开路。

        例、若取上禾3束、中禾2束、下束1束，得实39斗；若取上禾2束、中禾3束、下禾1束，得实34斗；若取上禾1束、中禾2束、下禾3束，得实26斗。问上、中、下禾每一束可得实各是多少？

（标准的三元一次方程组问题）

        好了，怎么算，如何“解得”？《九章算术》提供了这样一个“方程术”，是的，你没看错，原文就是叫“方程”。

        首先，将方程排列如下

        其中，左中右列各表示一个方程，例如右列的3 2 1 39，就是方程组第一方程的所有系数。会了吗？

        第二步，以右列第一个数3，遍乘中列。 

        第三步，以中列连续减去右列，直到中列第一个数为0 

        第四步，用同样的方法，将左列的头两个数都变成0 

        最后一步，回代即可得方程组的解。

        搞定！

        等等，等等，这怎么那么眼熟呢？

        不就是矩阵解方程组嘛，很高端的技术啊，线性代数入门啊。

        方程术和我们学习的线代，区别只是做了一个转置而已。

        由于解方程涉及到移项，在《九章算术》中被称为“正负术”，其实就是一句话“移损得益，移益得损”。你没有看错，就是我们小学学的正负，初中学到的移项法则。

        最后来玩一个复杂的例题，也来自于该书。

        若有麻9斗、麦7斗、菽3斗、荅2斗、黍5斗，价值140；麻7斗、麦6斗、菽4斗、荅5斗、黍3斗，价值128；麻3斗、麦5斗、菽7斗、荅6斗、黍4斗，价值116；麻2斗、麦5斗、菽3斗、荅9斗、黍4斗，价值112；麻1斗、麦3斗、菽2斗、荅8斗、黍5斗，价值95。问每种谷物的价格各是多少？

        点评：方程术，就是高斯消元法，没有类似。正负术，就是移项法则，完全一样。从这一点说，虽然西汉还没有字母变量的概念，但中国数学已经发展出用矩阵来解方程的高超技术，不能不佩服。

（《九章算术》随笔之五）