平面几何一题三解2

[引言]拟从本讲开始讨论平面几何的一题多解。着眼点在于精准把控不同学段对数学认知的差异，从教学的角度进行探讨和反思。

[篱笆问题]有一面墙长12米，需要在墙的一侧用栅栏围出一个长方形的篱笆。已知现有栅栏的长度为20米，若使得篱笆的面积最大，求篱笆的长与宽各是多少米？

[小学解法]将所围篱笆做墙的镜像，变成一个四边形。此时新四边形的周长为：2×20=40米。

由于相同边长下，正方形的面积最大。所以此时正方形的边长为：40÷4=10米。

因此篱笆的长为10米，宽为长的一半，为5米。它所围成的长方形面积最大，为50平方米。

[初中解法]设长方形的长为a米，宽为b米。则有a+2b=20，即a=20-2b。

正方形的面积为S，有

因此b=5米时取得最大值，此时最大值为50平方米，a=20-2×5=10(米)。

[高中解法]设长方形的长为a米，宽为b米。根据题设有a+2b=20。

则其面积S为

当且仅当a=2b，即a=10米，b=5米时取等号。

[后记]从本题的解法中，我们可以清楚的看出，小学、初中和高中解题思路的不同。个中奥妙，值得玩味。