三角函数篇
这一期的小题大做，我们继续来看一个高考真题，2019年高考全国卷Ⅲ理科数学选择题的第12题，很多同学觉得这个题是选择题和填空题中最难的一个。
这个题难在哪里？我不仅自己在想，还让我的学生们不停的尝试和验证，以阿豪同学为例。
阿豪同学，来来来，老师给你看一道题，你觉得这个题怎么入手？
老师，我觉得要用三角函数的图像变换，数形结合
嘻嘻，那你尝试一下
半个小时后
我选择放弃
阿豪同学的数学基础一般，但是也是班上前十的水平，应该可以代表一般的高中学生的水平。包括后来我还测试了好几个同学，情况大同小异
这是为何？
我觉得一个老师，只是自己会做题不行，关键是教会自己的学生，分析了很久，我觉得最大的问题有两个
一是对知识的掌握深度不足，导致在知识考察较深的情况下手足无措
二是学生们对知识的融会贯通不足，容易被题目的“外衣”误导，找错了切入点，这也是出题人出题的意图所在，考察学生对知识融会贯通的能力
这个题典型的错误案例
1、看到题目是考察函数，首先第一个想法，这肯定是考三角函数的图形变换啊。
（点评：这个思路没有错）
2、通过分析函数的特点，且通过在[0,2π]有且仅有5个零点，可以分析图像的大概情况，最后得出ω的大概范围，来对选项进行判断。
（点评：ω的范围确实是此题的关键，但是简单的图像判断无法解决像选项④中这么精确的取值范围的正误判断问题，但是很多同学没有掌握ω的取值范围不确定的图像变换方法）
3、由于ω的取值范围不确定，因此无法准确的勾画出函数图像，卒……
（点评：很多同学到了这一步，感觉平时屡试不爽的三角函数图像变换在此题中不适用）
这个题有两种常规解法
函数图像法
三角函数是我们在高中课本中唯一一种专门讲解了函数的变换的函数，且深入的分析了先变换周期和先变换相位两种方法的异同，可谓用心良苦。
这个题从函数的变换的角度并不是不能做，只是需要对三角函数的图像有比较深入的思考和理解。
很多同学无法操作的一步是，既然ω的值不确定，就没有办法画出准确的图像，这个说法没毛病，但是我们并不需要准确的图像啊，我们只要知道，当x=0时，函数的值总是
首先，教大家一个绝招！
当ω的值不确定时，画图不要先把横坐标的刻度标出来，让横坐标上的刻度待定！
这下子，正弦曲线就不用改来改去了，只用改横坐标上的刻度就能很好的对应ω变换的情况。下图就是我手绘的草图，没有横坐标刻度，考虑横坐标刻度的时候，用铅笔，这样能随时涂改。
然后，我们来看x轴的刻度要求，按照题目所述，在[0,2π]有且仅有5个零点，说明2π的位置可以在A处（可取到）和B处（不可取到）之间。
最关键的一步来了，很多同学卡在这里，那就是还是没有办法确定[0,2π]之间到底有多少个周期，也就没办法算出ω的取值范围。
真的没有办法
确定吗？
当然不是了！很多同学心想，随着ω的变化，y轴左边第一个零点的位置在变动，这就导致我们无法知道[0,2π]的周期情况，其实不是，我们分析一下，y轴左边第一个零点的横坐标应该是-π/5ω，而函数的周期是2π/ω，发现什么没有？不管ω怎么变，y轴坐标第一个零点到y轴的距离都是1/10个周期，因此当2π的位置在A处（可取到）和B处（不可取到）之间变动时，[0,2π]范围内的函数的周期在24/10即12/5个（可取到）和29/10个（不可取到）之间，也就是ω的取值范围是[12/5，29/10)。
在解决了这一步后，这个题就没有什么障碍了。
由图像可知，当2π的位置在A处（可取到）和B处（不可取到）之间变动时，选项①显然正确，选项②则随着2π的位置变动并不确定，因此②错误。因为ω的取值范围是[12/5，29/10)，当
在此区间内正弦函数单调递增，因此③正确。④是我们计算后得出的结论，正确。所以最后选择D
2
复合函数法
如果学生能够对三角函数的题的另一种处理方式熟悉的话，其实这个题不需要这么麻烦，那就是复合函数的思路。
第一个函数就是最一般的正弦函数，第二个呢，就是个初中学的一次函数。
当x∈[0,2π]时，u(x)的值的范围是[π/5,2πω+π/5]，而u(x)的值的范围正是ƒ(u)中u的取值范围，也就是说ƒ(u)在x∈[0,2π]时的图像是
根据有且仅有5个零点，说明
于是可以得到ω的取值范围是[12/5，29/10)，之后的分析和第一张方法一致。
这种方法是不是更轻松愉快。
回顾一下
这个题两种解法的异同，相同之处是都是通过求出的取值范围，进而对选项进行判断。差别点在于，第一种方法是通过三角函数的图像变换，第二种则是通过复合函数的思路来讨论。
相对而言，第一种方法的思路更加直接，也比较符合同学们在面对这个问题的时候的第一判断，但是相对来讲需要同学们对三角函数的特性和图像变换非常熟悉，要能够知道不管如何变化，y轴坐标第一个零点到y轴的周期数是固定的，需要画图加运算，解决起来用时稍长。
第二种方法，不容易第一时间想到，但是如果能够掌握，不仅仅能够解决像这个题一样的三角函数的图像问题，更能够很好的理解很多复合函数的题，推荐大家好好研究。
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