几何学 新基础（书稿2）

数学新基础 第一卷

几何学新基础（书稿2）

潘永城  潘昊楠 著

写 在 前 面

这是一本讲解几何学基础的书．这本书和历史上那些关于几何学基础的书籍和文献完全不同．历史上所有关于几何学基础的书籍和文献，都是从平面上的图形开始讨论，建立完整的几何体系，最后再过渡到空间图形上去，讨论空间和空间图形的性质．本书从定义了的“点”开始讨论，首先定义空间中的单线和闭线（单线和闭线并不是规则的图形）．接下来我们定义了距离相等（不是距离，仅仅是距离相等）．随后关键的一步就是我们定义了球和圆，进而定义了直线和平面，并依据定义了的直线和平面证明了希尔伯特(Hilbert)给出的5组20个公理中的绝大多数的命题．这些已经证明了的命题就包括欧几里得(Euclid)的第五公设．就是我们已经成功地证明了“平面上，过直线外一点可以引一条直线和已知直线平行，并且仅可以引一条”．也就是我们已经成功地将欧式几何的平行公理转变成了一个定理，证明了在现在并存的三种几何中，仅有欧几里得(Euclid)几何这一种几何学是正确的，是能够正确描述空间性质的．而罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)几何和黎曼(Riemann)几何都是和空间没有什么关系的逻辑自洽系统．为了和旧有的几何学相区别，称我们讨论的几何学为建立在新基础之上的几何学．

由于本书是一本开创性的著作，因此在公理设置，概念定义，定理证明，结构组织，语法修辞等方面都一定存在着诸多疏漏．诚心地希望各位读者，能将你们的意见及时地反馈给我们。在这里我们诚心地向你们表示感谢．

本书的第一作者：潘永城 是已经退休的化工高级工程师．

联系邮箱： [e-mail]．

本书第二作者：潘昊楠 是吉林大学物理学院三年级学生．

作 者

2018.4.2

目     录

第一章  相关基础………………………………………1

§1 概念无歧义原则…………………………………… 1

§2 关于公理…………………………………………… 14

第二章  几何学新基础………………………………… 21

§1 新基础几何学……………………………………… 21

§2 基础概念……………………………………………30

§3 假设、工具和公理…………………………………48

§4 基础定理……………………………………………54

§5 直线和直线段………………………………………85

§6 射线、平面、角和三角形…………………………105

§7 基础作图 …………………………………………140

§8 希尔伯特公理的命运 ……………………………152

参考文献…………………………………………………161

潘永城邮箱：[e-mail]

§5 直线和直线段

相关定义

定义 2.5.1  以A、B两点为基点旋转的不动点构成的无端单线称为过A、B两点的不动点线．不动点线上两点间的部分（包括这两点）称为不动点线段，这两点称为不动点线段的端点．

定义 2.5.2  如果线l 的各点在空间中移动（改变它所占据的空间位置）能使整条线l 不改变它所占据的空间位置，我们就称线l 是串动位置不变的线，也称为可以沿线运动的线．

说明：可沿线运动的线仅有圆、直线、圆柱螺旋线．

定义 2.5.3  线k 上任选A、B两点，以点A为基点转动线k ，使B点和原线k 上的位置B之外的某个位置重合，如果运动后的线k 和原线k 占据完全相同的空间位置（重合），我们称线k 是翻转位置不变的线．

说明：翻转位置不变的线仅有圆和直线．

定义 2.5.4  以线k 上不重合的任意两点A、B为基点进行旋转，如果的旋转过程中线上每一点都不改变所占据的空间位置，我们称线k 是自旋位置不变的线．

说明：自旋不变的线仅有直线，因此可以依此定义直线．

定义 2.5.5 以不重合的A、B两点为基点刚性旋转（任何图形）时全体不动点（包括实点和虚点）构成的无端单线AB称为过点A和点B的直线，记为直线AB（有时也可以仅用一个花写的小写字母表示，如直线l ）．即我们把不动点线定义为直线．

说明：我们所定义的直线，就是欧几里得(Euclid)在《几何原本》的定义中所说的“直线是它上面的点一样地平放着的线”．只不过我们将其表述的更加严密和清晰罢了[25]．

定义 2.5.6 如果点A占据直线l 上的某个位置，我们说点A在直线l 上．

定义 2.5.7 直线上依次有A、B、C三点，我们说点B位于A、C两点之间，也说点B位于C、A两点之间．

定义 2.5.8 直线上C、D两点之间的部分（包括点C、D）称作直线段CD，点C和点D称为直线段CD的端点．当不至于造成混淆时，直线段CD可简称为线段CD．

定义 2.5.9  空间A、B两点之间所连直线段的长定义为A、B两点之间的距离．

定义 2.5.10 将空间中A、B两点之间所连的直线段的长定义为“1”，则称直线段AB为单位线段．其它任何线段和单位线段的长度比的比值就称为那条线段的长度．

定义 2.5.11 直线段AB是单位线段，那么将AB长度n等分（n为确切自然数，通常取“10”）后的线段的精确长度称为下级单位，下级单位再n等分称为更下级单位……．使用各级的单位线段测量C、D两点之间距离需要先划出C、D两点间的直线段CD（可使用直尺），然后再进行分级测量（这里没有考虑不需要划线的激光测距或雷达测距的情况），用欧几里得(Euclid)使用的语言描述，其具体过程如下：

从被测直线段CD的一端开始，依次减去单位线段a1次，使余下的线段为0或小于单位线段．再从余下的线段的一端依次减去下一级单位线段a2次，使余下的线段为0或小于本级单位线段．……，这样不断地进行下去，对于各级单位等分的数目n=10的情况，我们将得到一串数，

a1，a2，a3，…，an，……（a2～an为0，1，2，…，9）

那么线CD的长度（该直线段所对应的10进位的实数）就是，a1.a2a3，…，an，……，并且当出现所余线段为0的情况时，该数为有限小数，否则该数为无限小数．对于该数为无下限小数的过程，如果该数是循环小数那么它的极限是有理数，否则它的极限就是无理数．该测量过程说明任何一条长度有限的直线段都对应一个正的实数．

说明：1. 在几何学的理论体系中可以规定图形上的任何一条直线段的长度为单位线段来确定和该图形有关的线段的具体长度．正因为如此，我们关心的仅仅是被测线段的长度和单位线段长度的比值（也就是说通常我们关心的并不是一条直线段的绝对长度，我们关心的仅仅是线段的相对长度，即该线段和单位线段之间的比值），而这个比值往往并不是通过使用单位线段进行实际测量得到的，而是通过逻辑推理得到的（通过逻辑推理将得到的结论等价于公理）．推理得出的结果是准确的数，既可以是有理数，也可以是无理数．

2. 在几何学的实际应用过程（工程测量），单位长度必须是客观物质世界中某一物质杆（或某列波）的真实长度（通常用国际标准米），以确保测量结果的真实性和可交流性．该种测量过程不会像定义2.5.11中所说的那样可以无休止地进行下去，当进行到所余线段长度小于所需误差时，该测量过程就会结束，所得的测量结果一定是不十分准确（带有误差）的一个有理数．

定义 2.5.12  有两条直线段AB和CD，移动直线段AB，将端点A和端点C重合，如果端点B也能和端点D重合，我们就说直线段AB和直线段CD合同，并称可合同的直线段相等，记为AB = CD．如果点B能和直线段CD上的一个点重合，我们就说直线段AB小于（或短于）直线段CD，也说直线段CD大于（或长于）直线段AB，记为AB ＜ CD 或 CD ＞ AB．

定义 2.5.13  直线段AB上有一点C（点C位于A、B两点之间），如果直线段AC的长度和直线段CB的长度相等（AC = CB），我们则称点C为直线段AB的中点．

定义 2.5.14 将一条直线上的一点规定为原点（“0”点），将该直线的一端（通常是右端）所指的方向规定为正方向，在直线正方向的一端任取一点“1”，将由“0”到“1”的线段01→的长度规定为单位长度“+1”，并规定从原点向正方向运动得到线段的长度为“正数”，从原点向负方向运动得到线段的长度为“负数”，这样定义的直线称为数轴（即规定了方向、原点和单位长度的直线称为数轴）．数轴上的点可以和实数建立1:1对应关系，并且偏向正方向的点所代表的实数大于偏向负方向的点所代表的实数．

定义 2.5.15  直线上A1、B1两点（A1在B1的左侧）间的线段（包括两个端点）称为闭区间A1B1，表示为[A1,B1]或△1﹒

直线段A1B1上A2、B2两点（A2在B2的左侧）间的线段（包括两个端点）称为闭区间A2B2，表示为[A2,B2]或△2，

且有[A1,B1]⊃[A2,B2]或△1⊃△2．

这样不休止地进行下去我们得到一个闭区间列，

△1，△2，△3，…，△n，……（△n+1⊃△n，）     (1)

对于闭区间列(1)，如果当n→∞时，△n→0，我们就说闭区间列(1)是一个（或构成一个）闭区间套．

定义 2.5.16 如果直线l 上任何一个可指出的点所占据的空间位置都被直线k 上的点所占据，且直线k 上任何一个可指出的点所占据的空间位置也都被直线l 上的点所占据，我们说这两条直线重合（或合同）．

定义 2.5.17 两条直线仅有一个公共点，我们说这两条直线相交，公共点称为这两条相交直线的交点．

定义 2.5.18 一条直线和一个球没有公共点，我们说它们外离或分离；一条直线和一个球仅有一个公共点，我们说它们相切，并称该公共点为切点；一条直线和一个球有两个公共点，我们说它们相交，公共点称为交点．

定义 2.5.19  连接球面上两点之间的直线段称为弦，过球心的弦称为直径，球心和球面上点间所连的直线段称为半径．

定义 2.5.20  过两球球心的直线称为这两个球的连心线．

相关定理

定理 2.5.1  点P为以点A、B为基点旋转的不动点（表示为，P — A,B），以点P为球心的球W 上被以点A、B为基点的球W 上任意一个动点旋转的轨迹圆分成的两个球冠上，一定各有一个以点A、B为基点旋转的不动点（以下各题，简称为P点的左侧不动点和右侧的不动点），且这两个不动点是球W 的一对对极点．

证明  ① 以点A为球心过点P作球F，以点B为球心过点P作球R，由于P — A,B，那么球F 和球R 相切于P点（图2.5-1）【定理2.4.17】．

② 以点P为球心作球W，以点A为球心作球F1和球W 相外切于K1点，那么，就有K1—A,P．以点A为球心作球F2和球W 相内切于S1点，那么有S1—A,P【定理2.4.18】，进行基点替换就有S1—B,P 和 K1—B,P【定理2.4.20】．

以点B为球心过点S1作球R1，因为S1—B,P，那么球R1和球W 相切于点S1．以点B为球心过点K1作球R2，因为K1—B,P，那么球R2和球W 相切于点K1．

③ 由于点K1和点S1都在球W 上，进行基点替换有K1—S1,P，那么点K1和点S1为球W 的一对对极点【定义 2.2.36】．设球W 上有一点C以点A和点B为基点的旋转轨迹为圆l ，那么球W 上的一个不动点K1在球冠l(K1)上，称为在P点的左侧，另一个不动点S1在球冠l(S1)上，称为在P点的右侧．

④ 显然，球F1是以点A为球心和球W 有交点的球中的最小的，球F2是以点A为球心和球W 有交点的球中的最大的，因此，最大、最小球和切点K1和切点S1都是唯一的【定理2.4.14，2.4.15】．即对于P—A、B，以点P为球心的任意一个球W 上，仅有两个以点A、B为基点的旋转不动点，一个在球W上任何一个以点A、B为基点的旋转的动点圆的左球冠上，另一个在该动点圆的右球冠上．并且这两个不动点是任何一个以点A和点B为基点的旋转不动点为球心所作的与球W 相切球的切点．  □

定理 2.5.2  以点A和点B为基点旋转的不动点（以下简称为不动点）构成的图形为图形Q ，那么，

(1)图形Q 不是仅由A、B两点构成的图形．

(2)图形Q 上的任意一点P的左边有图形Q 的点，右边也有图形Q 的点．

(3)图形Q 上的任意一点P的左边和图形Q 的点相连通，右边也和图形Q 的点相连通．

(4)图形Q 上的任意一点都是轨迹出路数Y=2的中间点．

(5)将图形Q 看成是由Q 上的一点P 向两端运动的轨迹，当该轨迹的左端点SL从点S1穿出以点P为球心的球F1之后，左端点SL就再也不会返回和球F1相交，也不会和点P右边图形Q 上的点相连接（图2.5-3）．

证明  (1) 以点A为球心作球A ，以点B为球心作球B 和球A 外切于S点（根据定理2.4.14 球B 一定存在），那么点S是以点A和点B为基点的旋转不动点（图2.5-2）【定理2.4.18】．显然，这样的不动点不止S一点．故图形Q不是仅由A、B两点构成的图形．

(2) 由于图形Q并不是仅由A、B、S三点构成的，那么在图形Q上一定能找到异于A、B、S的一点P，以点P为球心过点S作球F，那么点A位于球F的外部（图2.5-2）．以点A为球心过点S作球A,则球A和球F外切于点S，以点A为球心作球A1和球F 相内切于点K（这样的球A1一定可以作出【定理 2.4.14，2.4.15】）．那么点S和点K就是以点A和点P为基点旋转的不动点【定理 2.4.18】，故点S和点K就是以点A和点B为基点旋转的不动点【定理 2.4.20】，即点S和点K在图形Q上，也就是点P左边有图形Q的点，右边也有图形Q的点．

(3) ① 图形Q上任意一点P，在点P的左边一定能找到图形Q上的一点S1，以点P为球心过点S1作球F1．以点S1为球心作球S1和球F1相切于K1点，那么K1点是以点S1、P为基点的旋转不动点【定理 2.4.18】，进行基点替换知K1点也是以点A、B为基点的旋转不动点【定理 2.4.20】，那么点K1在图形Q上．作以点S1、P为一对对极点的球W1（此球可以得到 【定理 2.4.26】），那么球W1位于P点邻域球F1的左侧，设球W1的球心为S2，那么S2是图形Q上的点（图2.5-3）．

② 以点P为球心过点S2作球F2，作以点S2、P为一对对极点的球W2，那么球W2位于P点邻域球F2的左侧，设球W2的球心为S3，那么S3是图形Q上的点．

③以点P为球心过点S3作球F3，作以点S3、P为一对对极点的球W3，那么球W3位于P点邻域球F3的左侧，设球W3的球心为S4，那么S4是图形Q上的点．这样不断地进行下去我们得到球列，

W1，W2，W3，…，Wn，……（Wn+1＜Wn）    (1*)

且有当n→∞时，Wn→0．根据我们构造的过程可知，在球列(1*)中的每一个球中都有图形Q的点．同时我们也得到了球列，

F1，F2，F3，…，Fn，……（Fn+1＜Fn,Wn⊂Fn左侧）(2*)

且有当n→∞时，Fn→0．那么在球列(2*)中的每一个球的左侧都有图形Q的点．那么点P和左侧的图形Q相交【定理 2.4.2】．同理，点P和右侧的图形Q也相交．

(4) 对于图形Q上任意一点P，以点P为球心的球F1一定和图形Q相交于两个点（一对对极点）【定理 2.5.1】，并且任何一个以点P为球心小于球F1的球（如球F2）也和图形Q交于两个点，那么以点P为球心的任何一个球都是P点的定维球【定义2.2.45】．P点的定维球上的截图仅为两个孤立点，那么Y=2，即点P是图形Q的线中间点．由于点P是在图形Q上任选的，那么图形Q上的任意一点都是Y=2的线中间点．

(5) 将图形Q 看成是由Q 上一点P向两端运动的轨迹，当该点的左端点SL穿过以点P为球心的球F1之后（图2.5-3），

① 如果又和球F1相交于点S1和K1之外的点，则与每个球仅和图形Q有两个交点矛盾【定理 2.5.1】．

② 如果又和球F1交于点S1，那么S1为Y=3的歧点，这显然和本题结论(4), 图形Q上的任意一点都是Y=2的线中间点相矛盾．

③ 如果又和球F1交于点S1更左边的一点相交再从点S1进入球F1，那么该交点为Y=3的歧点，这也和本题结论(4), 图形Q上的任意一点都是Y=2的中间点相矛盾．

④ P点左侧球F1上的图形Q的点为S1，P点右侧球F1上的图形Q的点为K1，

ⅰ.P点左侧球F1上的点S1不能和P点右侧球F1上的点K1重合，因为点S1和点K1是球F1的一对对极点【定理2.5.1】．

ⅱ.点S1不能沿球面F1运动至点K1在与之相交，因为球F1与图形Q 仅有两个交点【本定理结论(4)】）．

ⅲ 下面讨论图形Q 的P点左侧S1点更左的点S0（图中未标出）和图形Q 的P点右侧K1点更右的点K0能否相重合．以点P为球心过点SO作球S0，如果点K0在球S0上，由ⅰ、ⅱ知点SO和点K0不能连接；如果点K0在球S0内部，由于点SO不能重新返回球S0内部，那么点SO和点K0不能连接【本题(5)①】；如果点K0在球S0外部，以点P为球心过点KO作球K0，那么点SO在球K0内部，也有点SO和点K0不能连接．

同理右端点KR从点K1穿出球F1后就再也不能和球F1有交点．并且也不能和P点左侧图形Q 上的点连接．

该结论表明，图形Q 不能自相交成为一条闭线或形成一个带有闭环的线（可以分离出一条闭线的线）． □

定理 2.5.3：两不动点之间的不动点构成的图形是一条单线，全体不动点构成的图形Q 是一条无端单线（可以向两端无限延伸的单线）．

证明：图形Q 不是闭线，也不是带有闭环的线，而它的每一点又都是线中间点（Y=2），因此图形Q 只能是单线（不一定是一条）．现在我们来证明图形Q是唯一的一条无端单线．当点P向左、右两端运动形成图形Q 的时候，是由里向外依次穿过球F3, F2, F1, …（图2.5-3）．假设球F1内形成的无端单线并不止一条，那么它们的端头不能永远存在于球F1之内．因此仅有两种情况，一是端头在球F1内被消灭掉，二是最终穿过球F1使每个端头和球F1有交点【定理2.4.38】，并且只有一个交点【定理2.5.2】．由于不动点构成的无端单线的一个端头不能和自己的另一个端头相接形成闭线，也不能和自己非端头点相交产生歧点．同样它也不能和其它无端单线的非端头相交产生歧点【定理2.5.2】，它仅可以和其它单线的端头相接，但是这种情况表明这两条单线本来就是一条单线，因此在球F1中，究竟是几条单线要由图形Q 和球面F1有几个交点来确定，现在图形Q 和球面F1只有两个交点，即在球面F1内的不动点仅构成一条单线．考虑到该单线从球面F1的两端穿出球外，那么全体不动点将构成一条无端单线，由于球面F1可以无休止地扩大，那么不动点线可以向两端无限延伸．  □

定理 2.5.4  以点A、B为基点的不动点线是由点A和点B以及以点A、B为球心两球的切点构成的线．

证明  设点A和点B为基点（不动点）．

① 以点A为球心的球F1和以点B为球心的球R1外切于点K（图2.5-4），那么点K是以点A和点B为基点旋转的不动点【定理2.4.18】，也就是点K在不动点线的A、B两点之间，即点K在不动点线段AB上．

② 以点A为球心的球F2和以点B为球心的球R 2内切于点S，那么点S是以点A和点B为基点旋转的不动点【定理2.4.18】，也就是点K在不动点线的A、B两点之外．

③ 空间的一点P不是以点A为球心的球和以点B为球心的球的切点，而是以点A为球心的球F2和以点B为球心的球R 3交线上的一点，那么它不是以点A和点B为基点旋转的不动点【定理2.4.8】，即点P不在不动点线上．

由于以A、B为基点旋转的不动点线上的任何一点都是以点A和点B为球心的两球的切点，而不是以点A和点B为球心的两球切点的点都不是以A、B为基点旋转的不动点，因此任意一条不动点线，除了事先选定的两个点之外，其它所有的点都是以这两点为球心之球的切点，并且这两点之内的部分是外切点，这两点之外的部分是内切点．又因为用不动点替换基点不改变原不动点线所占据的空间位置【定理2.4.20】，因此不动点线上的每一点的都可以看作是基点．  □

定理 2.5.5  空间中不重合的两点，仅可以确定一条不动点线．

证明 以空间不重合的点A和点B为基点旋转，可以得到一条不动点线k【定理2.5.3】，且该不动点线k 是以点A为球心的球F 和以点B为球心的球R 的切点构成的【定理 2.5.4】．假设由点A和点B确定的不动点线不止一条，尚有另一条不动点线l ．由于线l 上的点P是以点A为球心的球F 和以点B为球心的球R 的切点，那么P点在线k 上．如果点Q不在线l 上，它就不是球F 和球R 的切点，即点Q也不在线k 上．因此，线l 和线k 重合．即空间中不重合的两点，仅可以确定一条不动点线．  □

定理 2.5.6  如果移动不动点线k 使不动点线k 上的两点A1、B1和不动点线l 上的两点A、B分别重合，那么移动后的不动点线k 和不动点线l 重合，即刚性运动后的不动点线还是不动点线．两条不动点线有两点重合则整条线重合．

证明

证法一  移动线k 使点A1重合于点A，点B1重合于点B（图2.5-5），在线l 上任取一点K，以点A为球心过点K作球F ，以点B为球心过点K作球R，那么球F 和球R 相切于点K．由于点A1重合于A，点B1重合于B，那么以点A1为球心过点K的球F1和以点B1为球心过点K的球R1相切于点K，那么点K就在不动点线k 上．由于点K是在不动点线l 上任选的，那么所有不动点线l 上的点就都在不动点线k 上．在空间中任取不在不动点线l 上的一点P，以点A为球心过点P作球A ，以点B为球心过点P作球B，球A 和球B 相交于圆g ．由于点A1重合于点A，点B1重合于点B，那么以点A1为球心过点P的球F1和以点B1为球心过点P的球R1相交于圆g，那么点P不在不动点线k 上．由于点P是任选的不在不动点线l 上的点，那么所有不在不动点线l 上的点都不在不动点线k 上．即不动点线l 和不动点线k 重合．

证法二  假设移动不动点线k 使不动点线k 上的两点A1、B1和不动点线l 上的两点A、B分别重合后，不动点线k 和不动点线l 不重合．那么过空间重合的两点A(A1)、B(B1)就有l 和k 两条不动点线，这显然是不可能的【定理 2.5.5】  □

定理 2.5.7  两端点分别重合的两条不动点线段相互重合．

证明

证法一  不动点线l 上有A、B两点，不动点线k 上有A1、B1两点，如果移动不动点线l 使点A重合于点A1，此时，点B也重合于点B1，那么不动点线l 和不动点线k 重合【定理2.5.6】．那么就有不动点线段AB重合于不动点线段A1B1．由于不动点线段AB重合于不动点线段A1B1，则A、B两点间的距离等于A1、B1两点间的距离．

证法二  假设两端点分别重合于A（A1）、B（B1）后两条不动点线段不重合，那么过两点A（A1）、B（B1）就有两条不动点线段，即有两条不动点线，这显然是不可能的【定理 2.5.5】．  □

定理 2.5.8  以不动点线k 上的任意两点A、B为基点旋转线k 那么不动点线k 不改变所占据的空间位置（自旋不变的图形）．

证明  不动点线k 上有A、B两点，那么点A和点B都是不动点．假设不动点线k 是依据基点C、D定义的，即线k 以点C和点D为基点旋转时不改变所占据的空间位置（不改变形状），那么当用不动点A、B替换基点再进行旋转时也不改变不动点线k 所占据的空间位置，因此也就不改变形状【定理 2.4.20】．  □

定理 2.5.9  不动点线段可以沿线运动，可以通过沿线运动的方式向两端延长，延长得到的线还是不动点线段．

证明 不动点线段AB在不动点线k 上由位置AB开始向左

运动，点A运动至位置A1处，此时点B在原AB线段上的位置B1处（单线AB运动后两端点在k 上一定做得到）．现在我们来证明，运动后得到的单线AB整条线都在不动点线k 上（图2.5-6）．由于刚性运动运动后的单线AB仍然是不动点线段，而点A1、B1是不动点线k 上的点，那么单线A1B1是不动点线段．现在两条不动点线段AB和A1B1两端点重合，那么两条不动点线段重合【定理2.5.7】．原不动点线段AB上的所有点都在不动点线k 上，运动后不动点线段A1B1(AB)上的所有点也都在不动点线k 上，那么线段A1B都在不动点线k 上，我们将该过程称为不动点线段AB沿其所在的不动点线k 向左延长成了不动点线段A1B．由于不动点线段A1B在不动点线k 上，它可以沿不动点线k 向左继续延长，我们将这种延长也称为线段AB沿不动点线k 延长，那么不动点线AB就可以沿其所在的不动点线k 不断地向左延长，并且每一步延长后的图形都是不动点线k 上的线段．同理不动点线AB也可以沿其所在的不动点线k 不断地向右延长，并且每一步延长后的图形都是不动点线k 上的线段．即任何一条不动点线段，都存在向两边延长，使每次延长后的图形仍然是不动点线段的延长方式．我们称不动点线段AB用这种方式延长成不动点线段AC，为延长不动点线段AB成AC．  □

推论：不动点线段可以向两端延长使每次延长后的图形仍然是不动点线段．

定理 2.5.10  两条不动点线重合后，一条线在可以在另一条线上作沿线运动，并且无论如何运动它们都占据相同的空间位置（滑动重合）．

证明 假设不动点线l 和不动点线k 重合，那么线l 和线k 的各个点都重合．设线l 上连同它上面的两点A、B沿线k 向左运动使线l 上的点A、B和线k 上的点A1、B1重合（图2.5-7），那么不动点线l 和不动点线k 重合【定理2.5.6】．  □

定理 2.5.11  将不动点线k 绕线上的任意一点A转动，使线k 上另一点B运动到与原线上的一点C重合，那么转动后的不动点线k 一定和原不动点线k 占据相同的空间位置（翻转重合）．

证明 假设不动点线k 绕任意一点A转动，使点B和原线k 上的点C重合，由于运动后的不动点线k 还是不动点线，原线k 也是不动点线，现在不动点线k 和不动点线k 有A和C(B)两点重合（图2.5-8），那么翻转后的不动点线k 和原不动点线k 重合（占据相同的空间位置）【定理2.5.6】．  □

定理 2.5.12  在不动点线l 上一点K的左侧，可以截得一段不动点线段PK和已知不动点线段AB重合，在一点K的右侧也可以截得一段不动点线段KQ和已知不动点线段AB重合．

证明 以点K为球心，以A、B两点间的距离为半径作球F ，因为点K在不动点线l 上，那么球F 和不动点线l 左右各有一个交点，设左边的交点为P，右边的交点为Q（图2.5-9），那么不动点线段PK可以和不动点线段AB重合，不动点线段KQ也可以和不动点线段AB重合． □

定理2.5.13  如果 △1，△2，…，△n，……（△n⊃△n+1）是直线k 上的一个闭区间套，那么直线k 上一定有唯一的一个点属于上述一切区间．

证明 直线k 上的区间[A1,B1]（△1），[A2,B2]（△2），[A3,B3]（△3），…， [An,Bn]（△n） ……，构成一个闭区间套（图2.5-10）,

△1，△2，△3，…，△n，……（△n+1⊃△n，）   (1)．

以点A1为球心过点B1作球F1，那么就有闭球域[F1]覆盖直线段A1,B1，即[F1]◎{[A1,B1]}，以点A2为球心过点B2作球F2，

则有[F2]◎{[A2,B2]}，但[F2]◎{[A1,B1]}，……，

由于当n→∞时，△n→0可知无论闭球[

]多么小，都可以找到一个自然数N，使得当n＞N时，[Fn]＜[

]恒成立，这样我们得到的图形列(1)就是无限趋0图形列{⊃△n↘0}

．那么必定有唯一的一个直线k 上的点属于该区间套的一切区间【定理2.4.10】（“◎”表示覆盖，“◎”表示不覆盖）． □

定理 2.5.14  数轴上的点可以和实数建立1：1对应关系．

证明 ① 规定数轴上的原点O和经典实数0对应．

② 规定数轴原点O的一侧（通常是右侧）为正方向，另一侧（通常是左侧）为负方向．由于数轴上任何一个非原点A到原点O的距离都是一个正数【定义2.5.11】，再附加上该点所在区域的符号，那么数轴上的任何一个非原点对应一个非0的实数．综合则有数轴上的任何一个点都对应一个实数．

③ 实数0对应数轴上的原点，一个有限的非0实数的绝对值一定＞0，因此一定可以找到长度等于该数绝对值的直线段，以原点为球心以该线长为半径作球交数轴直线正负两侧各一点，如果原来的数是正的就选数轴正的一侧的交点为其对应点，原来的数是负的就选数轴负的一侧的交点为其对应点，这样任何一个非0有限实数就都对应一个点．

④ 对于需要无限次测量才能获得的无限小数，该过程对应一个闭区间套，那么一定有唯一的一个点属于它的一切区间，即每一个这样的实数也对应数轴上一个点．

⑤ 由于数轴上一个点仅代表一个实数，且一个实数也仅对应数轴上的一个点，因此，数轴上的点和实数有1：1对应关系．  □

直线的性质：

性质1  过空间不重合的两点可以确定一条直线【定理2.5.5】．

说明：此性质是希尔伯特(Hilbert)提出的公理Ⅰ1[27]．

性质2  过空间不重合的两点仅可以确定一条直线【定理2.5.5】．

说明：此性质是希尔伯特(Hilbert)提出的公理Ⅰ2[27]．

性质3  直线可以向两端无限延长【定理2.5.3】．

性质4  如果两直线有两个点相重合，那么这两条直线相重合【定理2.5.6】．

性质5  如果两条有公共点的直线不重合，它们只有一个公共点，我们称这两条直线相交，两条相交直线的公共点称为交点．

性质6  直线是串动（沿线移动）位置不变的图形【定理 2.5.10】．

性质7  直线是翻转位置不变的图形（让直线以线上任意一点为基点转动，当转动到一个非基点和原直线所在位置的某点重合时，转动后的直线和原直线占据相同的空间位置）【定理2.5.11】．

性质8  直线是自旋位置不变的图形（以线上任何两点为基点旋转不改变直线所占据的空间位置）【定理2.5.8】．

性质9  以不动点线上的一点K为起点，向一端（例如左端）可以截得一段能和已知直线段重合的直线段，向另一端（例如右端）也可以截得一段能和已知直线段重合的直线段【定理2.5.12】．

性质10  数轴上的点可以和实数建立1：1对应关系【定理2.5.14】，直线上的点仅需要一个实数来描述其所在的位置，它是一维的（它只有长度没有宽度）．

说明：数轴直线上规定的原点O可以用实数“0”来表示它的位置．任何一个非原点的点A，到原点O都有一个确定的距离，假设这个距离为

．由于点A既可以出现在原点O的右侧（正向端），也可以出现在原点O的左侧（负向端），当其出现在原点O的右侧时，我们用实数“+

”（可以将“+”省略，仅使用“

”）表示它的位置，当其出现在原点O的左侧时，我们用实数“-

”表示它的位置．这样直线上任何一个点都可以只用一个实数就标明了它的位置，因此直线是一维图形．显然我们这样定义的直线的维数和图形按拓扑分类定义的单线维数是一致的【定义2.2.46】．

直线段的性质

性质1  如果两条直线段的端点分别重合，那么这两条直线段重合【定理2.5.7】，可重合的两条直线段AB和CD相等，记为AB=CD．

性质2  直线段以端点为基点旋转不改变它所占据的空间位置（具有自旋不变性）【定理2.5.8】．

性质3  直线段可以在直线上沿线运动．

性质4  直线段可以向两边延长，使延长得到的线还是直线段【定理2.5.9】．

性质5  将直线段AB翻转，使端点A和原来线上的点B重合，使端点B和原来的点A重合，那么翻转后的直线段BA和原直线段AB重合（AB和BA占据相同的空间位置）【定理 2.5.11】．

性质6  直线段的长度可以用一个确切经典实数表示【直线性质9】．

性质7  直线段AB上有一点C，那么直线段AB的长度大于直线段AC的长度，也大于直线段CB的长度【定理2.4.37】．

性质8 直线段AB上有一点C，那么A、C两点间距离和C、B两点间距离的和等于A、B两点间的距离，即 AB=AC+CB．

证明：由于点C在直线段AB上，那么点A、C、B三点都在同一条直线l 上．直线段AC和直线段CB接成的一条线AB仍然是直线段，且和原直线段AB重合（图2.5-11），固有A、C两点间距离和C、B两点间距离的和等于A、B两点间的距离．即AC+CB=AB．  □

现在我们来讨论直线和球的位置关系以及直线段和球的位置关系．

定理2.5.15  球与直线，

(1)球与直线之间仅可以，① 有一个交点（相切），② 无交点（外离），③ 有两个交点（相交），且仅有两个交点．

(2)直线与球相对运动从外离到相交（或从相交到外离）一定要经过相切这一过程．

证明 (1) ① 设直线l 外有一点E，那么一定有一个以点E为球心的球E 和直线l 相切（图2.5-12）．

以点E为球心作球E1和直线l 相交于点C1、D1，以点E为球心作球E2，使球E2＜E1，那么有三种情况，ⅰ. 球E2和直线l 相交于一点M，那么球E2即为所求的切球，我们仅需要证明该切球的唯一性即可．ⅱ.球E2和直线l 没有交点，重新作球E2．ⅲ.球E2和直线l 相交于两点C2、D2，则直线段C2D2包含在直线段C1D1的内部（即[C2D2]⊂[C1D1]），选择球E2的半径可以使2C2D2＜C1D1．

以点E为球心，按上述办法作球E3 …… 这样进行下去，要么我们得到以点E为球心和直线l 的相切球E，要么我们得到一个闭区间套（用△n表示闭区间[CnDn]），

△1，△2，△3，…，△n，……（△n+1⊂△n，△n↘0）．

即当n→∞时，[CnDn]→0，那么一定有唯一的一个点M属于该区间套的一切区间【定理2.5.13】．即以点E为球心过M点的球E 就是和直线l 相切的球．

② 包含在球E （图2.5-12）内部的任何一个球都和直线l 没有交点．

③ 球F 的球心为点P，在球F 上任取一点Q，以点Q为球心作出一个和球F 内切于点K的球K【定理2.4.14】（图2.5-13），那么点K就是以点P和点Q为基点旋转的不动点【定理2.4.18】，并且点Q和点K是球F 的一对对极点【定义2.2.36】，则点K在直线PQ上【定义2.5.5】．由于过球心的直线QK伸出球F 之后就不会再和球F 另有交点【定理 2.5.2】，因此直线QK和球F 仅相交于一对对极点Q、K．

设直线QK上有A、B两点，分别位于球F 外部的上、下两侧．以点B为基点转动直线AB至BA1，交球于C1、D1两点，在球F 的内部有直线BA1上的一个点S1．由于直线BA1有一点S1在球F 的内部，有点B和A1分别在球F 外部的两侧，则射线S1B和球F 至少有一个交点C1，射线S1A1和球F 至少有一个交点D1【定理2.4.38】．由于交点C1是由原交点Q运动得到的，交点D1是由原交点K运动得到的，而在点Q和点K运动过程中，轨迹上每一点在定维球上的截图都是一条闭线和由该闭线为边缘的两球冠上各有一个孤立点．那么在整个运动过程直线和球交点的数量不会改变．由于直线BA和球F 有两个交点（点Q和点K），那么直线BA1和球F 就也有两个交点（点C1和点D1）．由于，经过球F 对极点的直线（不动点线）BA从球F 内部穿出来之后就再也不会返回来和球F 相交，那么直线BA和球F 就仅有两个交点（点Q和点K）【定理 2.5.2】．因直线BA（BA）是刚性的，运动中不改变自己的形状，那么直线（不动点线）BA从球F 内部穿出来之后也就再也不会返回来和球F 相交，因此直线BA和球F 也就仅有两个交点（点C1和点D1）．

(2)作以点C1和点D1为对极点的球W1能覆盖直线段C1D1【定理2.4.26】，转动直线BA，有以下三种结果．ⅰ. 直线BA和球F 和相交于一点T，那么直线BA即为所求的切线，我们仅需要证明该切线的唯一性即可．ⅱ. 球E2和直线l 没有交点，重新移动直线BA．ⅲ. 直线BA和球F 相交于两点C2、D2，适当的选择直线BA的位置可以使 2C2D2＜C1D1．作以点C2和点D2为对极点的球W2，那么球W2覆盖直线段C2D2，却不能覆盖线段C1D1，……，这样不断进行下去，要么得到切线，要么得到直线段列

C1D1，C2D2，…，CnDn，……（Cn+1Dn+1＜CnDn）  (1)

闭球Wn可以包盖直线段CnDn，却不能覆盖直线段Cn-1Dn-1，并且不论事先给定的一个闭球[

]多么小，都可以找到一个自然数N，使得当n＞N时，[Wn]＜[

]恒成立（也就是闭球[

]可以移动覆盖当n＞N时的所闭球Wn）．那么图形列(1)是收缩趋0图形列【定义2.2.60】，即当n→∞时，一定有唯一的一点T，属于一切直线段CnDn【定理2.4.10】．那么过点B和点T的直线和球F 相切（仅有一个交点）．因直线BA和球F 相对运动使截得的弦长度缩短才能最后和球F 分离（图2.5-13），因此该弦的长度不可能突然减少到0，一定要经过它们的极限状态（相切于一点T），才能最后分离．同样当直线k 由相互分离运动至相交状态也一定要经过相切于一点的状态． □

定理 2.5.16  同球或等球的半径相等，直径也相等，且半径（R）长度等于直径（D）长度的一半，即D =2R．

证明  根据球的定义，球心为点A经过点B的球F，是单线AB以点A为基点转动，点B所能达到的轨迹整体构成的图形．（可以认为先使单线AB绕点A转动，让B点形成一条线l ，再由线AB带着线l 一起运动，线l 的整体轨迹形成球F ）（图2.5-14）．显然在成球过程球面上的任何一点到球心A的距离都相等，因此球面任何一点和球心A都可以分别和线AB的端点重合，那么就有结论：同一个球的半径长度相等．以点B为球作球R 切球F 于K点，那么点K为以A、B为基点的不动点，那么点A、B、K在同一条直线上【定理2.5.4】．直线段AK是球F 的直径D，故有D =2R，那么直径相等．对于相等的两个球，可以移动使两者重合，因此也有，相等的两个球半径彼此相等，直径也彼此相等，并且直径等于两个半径的和，即有D =2R． □

定理 2.5.17  直径是球中最大的弦．

证明 设球F 的球心为O，点A和点B为球F 的一对对极点（图2.5-15）．

以点A为球心过点和点B作球F1，那么球F1和球F 相切于B点【定理2.4.17】，因为B点是以A、O两点为基点旋转的不动点【定义2.2.36】，那么，连半径AO并向O的方向延长必过B点，即直线段AB是球F 的直径．在球F 上任取一点异于B的一点C，以点A为球心，过点C作球F2，由于球F1是以点A为球心和球F 有公共点的球中最大的一个【定理2.4.12】，那么C点在球F1内部，那么弦AC＜直径AB．当球F 不是直径的弦为EF（端点不在A点）时（同球直径相等【定理2.5.16】），让弦为EF在球F 内转动使一个端点E和点A重合，另一个端点F不和B点重合，仍然可证明弦EF的长度小于直径AB．故直径是球中最大的弦．  □

定理 2.5.18  两个相切球的切点在两球的连心线上．

证明  两球相切的切点是以两球心为基点的旋转不动点【定理2.4.18】，因此它在两球的连心线上．  □

定理 2.5.19（阿基米德定理） 若AB和CD是任意两条直线段，则必有一个确切自然数n，使得自A点开始在直线段AB上作首尾相接的n个直线段CD，其外端点必将超越B点（最终落点在直线段AB之外）．

证明 由于在几何学中我们讨论的位置都是可以用物体标为一个几何点，点的位置信息是可以被感官直接认知并能够用确切实数来描述（标注）的【置点公理】，直线段AB和直线段CD的端点都是点【图形完整性公理】，那么把它们的一个端点和数轴直线的原点O重合，另一点放置在数轴的正方向一侧，那么这另一个端点一定和数轴直线上一个正确切实数相重合．那么线段AB和线段CD的长度就都是一个确切实数．假设自A点开始在直线段AB上无论作多少个首尾相接的直线段CD，其落点都在直线段AB上，即当所作的直线段CD的数量n→∞时亦是如此．那么只有两种可能，一是直线段AB的长度比任何给定的确切实数都大（也就是“无穷大”），另一种可能就是直线段CD的长度比任何给定的确切实数都小（也就是“无穷小”），当然还可以，即有直线段AB的长度为无穷大又有直线段CD的长度为无穷小．由于我们已经证明了，直线段AB和直线段CD的长度都为确切实数，因此当做出的直线段CD的数量足够多时，必将超出B点（最后的落点一定会超出直线段AB）．即原假设自A点开始在直线段AB上无论作多少个首尾相接的直线段CD，其落点都在直线段AB上不真，因此若AB和CD是任意两条直线段，则必有一个确切自然数n，使得自A点开始在直线段AB上作首尾相接的n个直线段CD，其外端点必将超越B点．  □

该定理表明，阿基米德公理和本书提出的置点公理及图形完整性公理等价．因此在我们提出了这两个公理的条件下，阿基米德公理不应当再列为公理，它变成了一个可以证明的定理．

定义了直线之后，我们可以使用直尺了．我们可以使用直尺过空间的两点引一条直线或作一条以两个已知点为端点的直线段．

§6 射线、角、平面和三角形

相关定义

定义 2.6.1  直线上的一点A和它分割的包括B点的一半直线称为射线AB，记为射线AB，点A称为射线的顶点．

定义 2.6.2  共用顶点的两条射线或共用一个端点的两条直线段构成的图形称为角，构成角的两条射线或两条直线段称为角的边，射线的顶点或直线段共用端点称为角的顶点．射线（或直线段）AB和射线（或直线段）AC构成的角称为角BAC，表示为∠BAC．角也可以用小写字母表示或用阿拉伯数字来表示，如∠

、∠b，∠1或∠2等．

定义2.6.3 直线上或直线段中间的一点A，将直线或直线段分成顶点重合的两条射线或有一个端点重合的两条直线段，它们构成的角称为平角，如果平角顶点两侧的角边上分别有点B和点C,则称该平角称为平角BAC，记为∠BAC．

定义2.6.4 两个角的顶点重合，两个边也分别重合我们说这两个角重合（合同），如果两个角能重合我们说这两个角相等．

定义2.6.5 一条直线（或直线段）上依次有A、B、C三点，引一条以点B为顶点的射线（或点B为端点的直线段）BD（图2.6-1），我们就说∠ABD与∠DBC互为补角，如果互为补角的两个角彼此相等就定义它们是直角，并称直角的两边互相垂直,且称直角的顶点为垂足．

定义2.6.6 以∠ABC的顶点B和一条边上的一点A为基点将另一条边AC同向旋转一周，我们称得到的图形为∠ABC的倍角锥．有旋转轴的区域称为倍角锥的内部，没有旋转轴的区域称为倍角锥的外部．

说明： 在几何学中，我们规定平角是最大的角（我们不讨论大于平角的角）．因此任意两条有公共顶点的射线（或有公共端点的直线段）都是一个唯一确定的角．

定义2.6.7 角顶点A重合的∠

和∠

，以点A为球心作球F，∠

的倍角锥内部在球F 上对应的球冠为l (

)，∠

的倍角锥内部在球F 上对应的球冠为l (

)，如果，l(

)＞l(

)，我们就说，∠

＞∠

，也说∠

＜∠

，如果，l(

) = l(

)，则说，∠

 = ∠

（图2.6-2）．

说明：在这里我们仅定义了角的大小，还没有定义角的“加法”和“减法”，角的“加法”和“减法”需定义了“平面”后才能定义．

定义2.6.8 (1) 小于直角的角称为锐角，大于直角的角称为钝角．

(2)两条直线相交得到的小角（锐角或直角）称为两条直线的相交所成的角，简称为交角．

(3)如果两条直线相交成直角，我们就说这两条直线相垂直，并称它们的交点为垂足．

定义 2.6.9  直线始终有两个点在圆周k 上作非沿线运动轨迹的整体称为平面，圆周k 称为该平面的基础圆．

说明：由平面的定义可知，点K在（或位于）由圆周k 为基础圆的平面F 上的判定方法为：存在一条两点在基础圆k 上且经过K点的直线，则点K在（或位于）由圆周k 确定的平面上．

定义 2.6.10  如果一个图形的所有点都在同一个平面上，我们称其为平面图形．

定义 2.6.11  平面k 把空间分为三部分，一部分为平面k 本身，其余两部分分别称为平面k 的一侧和另一侧（根据具体的情况，可以称为左侧和右侧或上侧和下侧）．

定义 2.6.12  平面F 上的一条闭线l 将平面F 分隔成不连通的两个区域，其有限区域称为线l 的内部，无限区域称为线l 的外部．

定义 2.6.13  圆所在平面上到圆周各点距离相等的点称为圆的中心，简称为圆心．圆心到圆上任意一点所连直线段称为该圆的半径；圆上任意两点所连的直线段称为圆的弦，经过圆心的弦称为圆的直径；半径通常用R或r表示，直径通常用D或d表示．

定义 2.6.14  平面和平面之间的关系．

(1)空间中的平面F 和平面K ，如果平面F 上任何一个可以指出的点所占据的空间位置都有平面K 的点，平面K 上任何一个可以指出的点所占据的空间位置也都有平面F 的点，我们就说这两个平面重合（或合同）．

(2)空间中，永不相交（无论如何扩展都没有公共点）的两个平面称为平行平面．

(3)如果两个不重合的平面有公共点我们说这两个平面相交，相交平面公共点构成的图形称为这两个平面的交线．

(4)一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中每部分（包括该直线）叫做半平面．

(5)从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

(6)以二面角棱上的任意一点为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

(7)平面角是直角的二面角叫做直二面角．

(8)两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

定义 2.6.15  直线和平面之间的关系．

(1)如果直线l 上任何一个可以指出的点都在平面F 上，我们就说直线l 在平面F 上．

(2)如果直线l 和平面F 永不相交我们就说直线l 和平面F 相平行．

(3)如果直线l 不在平面F 上，却和平面F 有公共点，我们就说直线l 和平面F 相交，直线l 和平面F 的公共点称为交点．

(4) 直线l 和平面F 相交于A点，如果平面上任何一条经过A点的直线都和直线l 垂直，我们就说直线l 垂直于平面F ．并称点A为垂足．

说明：一条直线垂直于一个平面它就垂直于平面上的所有直线（包括不相交的异面直线），本书没有讨论异面直线所成的角，故将直线垂直于平面的定义写成了(4)．

定义 2.6.16  球和平面之间的关系．

(1)如果球F 和平面M 没有公共点，我们就说球F 和平面M 外离（或分离）．

(2)如果球F 和平面M 仅有一个公共点，我们就说球F 和平面M 相切，这个公共点称为切点．

(3)如果球F 和平面M 多于一个公共点，我们就说球F 和平面M 相交，这些公共点构成的图形称为交线．

定义 2.6.17  直线和直线之间的关系．

(1)两条直线重合或合同，见定义2.5.16．

(2)如果平面上的两条直线不重合且有公共点，我们就说这两条直线相交，相交直线的公共点称为交点．

(3)平面上永不相交的两条直线称为平行直线，简称为平行线．

(4)不在同一平面的两条永不相交的直线称为异面直线．

定义2.6.18  如果能找到一条直线（或射线）l ，使得图形M 在绕直线l 旋转过程中，不改变所占据的空间位置（或曰使得图形M 的任意一点绕l 旋转所经过的任何位置都在图形M 上），就称图形M 是空间轴对称图形．并称直线（或射线）l 为图形M 的对称轴，简称为轴线．

说明：图形M 绕直线l 旋转就是图形M 以直线l 上的任意两点为基点进行旋转．

定义 2.6.19  (1) A、B两点的等球交线【定义2.2.40】所在的平面M 称为A、B两点的中垂面，也称垂直平分面，点A和点B互为等球交线的镜点，也称为交线所在平面的镜点．两点半径为R的等球交线称为这两点距离为R的等距圆，记为等距圆(R)，不至于混淆时可简称为的等距圆．

定义 2.6.20  在平面上过直线段AB的中点C引垂直于直线段AB的直线CD．我们称直线CD为直线段AB的中垂线(也称垂直平分线)．

定义 2.6.21  同一平面上两条直线被第三条直线所截（图2.6-3）．那么，

(1) ∠1与∠5， ∠2与∠6， ∠3与∠7， ∠4与∠8， 称为同位角．

(2) ∠3与∠6，∠4与∠5，称为内错角．

(3) ∠1与∠8，∠2与∠7，称为外错角．

(4) ∠3与∠5，∠4与∠6，称为同旁内角．

(5) ∠1与∠7，∠2与∠8，称为同旁外角．

定义 2.6.22  两条直线相交（图2.6-3）．那么，∠1与∠4，∠2与∠3，或∠5与∠8，∠6与∠7都称为对顶角．

定义2.6.23 第一条直线段的二个端点和第二条直线段的第一个端点重合，第二条直线段的二个端点和第三条直线段的第一个端点重合，……，第n（n为确切自然数）条直线段的第二个端点和第一条直线段的第一个端点重合，我们说这n条直线段首尾相接．首尾相接的n条直线段构成的图形称为空间n边形，首尾相接的各点称为n边形的顶点，首尾相接的直线段称为n边形的边．

定义 2.6.24 首尾相接的三条直线段组成的图形称为三角形（偶尔也称为“三边形”）．顶点为A、B、C的三角形，称为三角形ABC，可记为“⊿ABC”．以点A为顶点的角称为角BAC或角A，记为“∠BAC”或“∠A”，不与顶点A直接相连的边称为角A的对边，记为“边a”或直接记为“a”，与顶点A直接相连的边称为角A的邻边．

定义 2.6.25 三个角都是锐角的三角形称为锐角三角形．有一个角是钝角的三角形称为钝角三角形．有一个角是直角的三角形称为直角三角形，并称直角所对的边为斜边，称其它两边为直角边．

射线性质

性质1  射线可以向非顶点端无限延长．

证明 射线是被顶点截得的半直线，直线可以向两端无限延长【直线性质3】，那么射线就可以向非顶点端无限延长．  □

性质2  射线或直线段以线上的两点为基点旋转，所占据的空间位置不变．

证明 直线以其上的两点为基点旋转所占据的空间位置不变，射线和直线段是直线的一部分，因此射线和直线段以线上的两点为基点旋转所占据的空间位置不变．  □

定理 2.6.1  所有的平角都可以重合（都相等）．

证明  直线l 上依次有A、B、C三点，直线k 上依次有A1、B1、C1三点，并且AB=A1B1，BC=B1C1．移动直线l 使点A和点A1重合，点B和点B1重合【合同公理2】．那么直线l 和直线k 重合【直线性质4】，点C和点C1重合（图2.6-4），那么∠ABC和∠A1B1C1重合．由于直线l 和直线k 都是任选的，那么就有所有的平角都可以重合（都相等）．

定理 2.6.2  所有的直角都可以重合（都相等）．

证明  直线AC上有一点B，以点B为顶点的射线BD垂直于直线AC．直线A1C1上有一点B1，以点B1为顶点的射线B1D1垂直于直线A1C1．在射线B1A1上截直线段B1A1=BA，在射线B1C1上截直线段B1C1=BC，移动由直线AC和射线BD构成的图形，使点A和点A1重合，点B和点B1重合【合同公理2】．那么直线AC和直线A1C1重合【直线性质4】，点C和点C1重合（图2.6-5）．让直线AC绕点A、C自旋，假设无论如何射线BD都不和射线B1D1重合，不失一般性，设射线BD在∠A1B1D1的内部划过，有∠ABD＜∠A1B1D1，∠CBD＞∠C1B1D1．由于射线B1D1垂直于直线A1C1，∠A1B1D1=∠C1B1D1，就有∠ABD＜∠CBD．

又由于射线BD垂直于直线AC，必有∠ABD =∠CBD，这显然是个矛盾，该矛盾表明，原假设射线BD不和射线B1D1重合不真，那么射线BD和射线B1D1重合，即所有的直角都可以重合（都相等）． □

定理2.6.3 直线k 从不与球F 相交运动至某些点进入球F 内部，再运动至全部与球F 分离，直线k 和球F 交点的轨迹上的一条闭线．

证明  直线k2由和球F 有A2、B2两个交点运动到和球F 完全分离，一定要经过直线k2和球F 相切于Q点的状态【定理2.5.15】．由于运动的过程是可逆的，直线k1 由不与球F 相交，运动到和球F 相交于A1、B1两点，可以看成是直线k1由和球F 有A1、B1两交点运动到和球F 完全分离过程的逆运动，也一定要经过直线k1和球F 相切于点P的状态（图2.6-6）．直线和球相交的过程，始终有两个交点，分别汇聚成图中虚实两条线，这两条线是由直线和球交点的轨迹在球面F 上形成的一条闭线．  □

推论  球和平面有公共点，如果公共部分不是一个点它就是一条闭线，并且在该闭线上一定可以找到不共线（不在同一条直线上的）的3个点．

定理 2.6.4  过两点可以确定无数个平面．

证明 在圆k 上任取两点A、B，作直线AB，让圆k 以点A和点B为基点旋转【运动公理1(3)】,可以使圆k 上的点P分别停留在P1、P2、P3…… 各个不同的位置（图2.6-7），点P停留在每一个位置圆k 都确定一个平面，那么过A、B两点的平面就有无限多个． □

推论  平面上至少有三个不共线的点．

定理2.6.5 (1) 到两点距离相等，且等于R的点在这两点等距圆(R)【定义2.6.19】上，(2) 两点等距圆(R)上的点到这两点的距离相等,且等于R．

证明 空间有D、E两点，以点D为球心的球D 和点E为球心的球E 半径均等于R 且相交于圆l （即圆l 为D、E两点的等距圆(R)）（图2.6-8）．

(1)假设空间的一点B到点D和点E的距离相等，且都是R．由于点B到点D的距离等于R，B点在球D 上，又点B到点E的距离等于R，B点在球E 上，那么点B在球D 和球E 的交线l 上．

(2)设圆l 上有一点C，由于点C在半径为R的球D 上,也在半径为R的球E 上，因此点C到点D和点E的距离相等，且都等于R． □

定理 2.6.6  (1) 相交两球的连心线是两球交线圆的对称轴，圆对称轴上任意一点到圆上各点的距离都相等．

(2)到相交两球交线圆各点距离相等的点在两球的连心线上．

(3)以直线上任意两点为球心，过直线外同一点所作球的交线圆是唯一的，与所选择球心的位置无关．

证明  设以点A为球心的球A 和以点B为球心的球B 相交于圆l ．

(1)点P为圆l 上的一点．过点A和点B作直线AB【定理2.5.5，直线性质1】（图2.6-9）．那么当将点P以点A和点B为基点进行旋转时，点P的轨迹是圆l 【定理 2.4.8】，即圆l 以点A和点B为基点进行旋转时不改变它所占据的空间位置．那么直线AB是圆l 的对称轴【定义2.6.18】．

在直线AB上任选一点C，由于点C在圆l 的对称轴直线AB上那么点C是以点A和点B为基点进行旋转的不动点，由于圆l 以点A和点B为基点旋转时不改变所在空间的位置，进行基点替换则有圆l 以点A和点C为基点旋转时也不改变所在空间的位置【定义2.4.20】．那么就有点C到圆l 各点的距离相等．

(2)设空间有一点C到圆l 各点的距离都相等．圆l 以点A和点B为基点旋转时位置不变，那么在整个旋转过程中圆l 上的各点到C点的距离保持不变，那么点C就是以点A和点B为基点旋转时的不动点．即点C在球A 和球B的连心线上，也就是点C在相交球球A、B的对称轴（直线AB）上．

(3)设空间有一点C到圆l 各点的距离都相等，以C点为球心过点P作球C，那么圆l 在球C 上，因为圆l 既在球A 上又在球B 上，即圆l 是球A，球B 和球C 的共同交线．由于点C是在对称轴AB上任选的，因此不论以直线AB上的任何一个点为球心过P点所作球和球A 或球B 的交线都是圆l ，即以直线上任意两点为球心，过直线外同一点所作球的交线圆是唯一的，与所选择球心的位置无关．  □

定理 2.6.7  (1) 过不在一条直线上的三点可以作一个圆．

(2)以同一直线上的点为球心，过直线外同一点所作的球的交线都是同一个圆．

(3)过不在一条直线上的三点，仅可以作唯一的一个圆．

(4)过不在一条直线上的三点可以作一个平面．

证明 (1) 空间有不在同一条直线上的三点A、B、C，以点A、B、C为球心，各作半径为R的球A、B、C，并使R大于A、B、C三点间任意两点间的距离．由于等球A、B、C 的半径大于三点间距离最大的两点间的距离，那么这三个球两两相交．设球A 和球B 相交于圆l （A、B两点的等距圆(R)为l ），球B 和球C 相交于圆m（B、C两点的等距圆(R)为 m ），球C 和球A 相交于圆k（C、A两点的等距圆(R)为k）（图2.6-10）．

由作图知，圆k 上的各点到点A和点C的距离相等且都等于R，圆l 上的各点到点A和点B的距离相等且都等于R．圆k 将球A 分成两个球冠（一个劣球冠和一个优球冠），由于优球冠和劣球冠上都有圆l 上的点，那么圆l 的实线弧和圆k 的实线弧有一个交点D，圆l 的虚线弧和圆k 的虚线弧有一个交点E【定理 2.4.40】．由于交点D、交点E到点B和点C的距离相等且等于R，那么点D和点E在球B上也在球C上，即点D和点E在圆m 上．也就是A、B、C 三个球两两的交线圆k、l、m 都经过D、E两点．由于点D和点E到A、B、C三点的距离相等且都等于R．以点D为球心过点A（或以R为半径）作球D，以点E为球心过点A（或以R为半径）作球E（球D、球E 图中未标出），球D和球E的交线就是过A、B、C三点的圆s．显然圆s 是点D、E的等球交线．即过不在同一直线上的三个点可以作一个圆．

(2)由于点D和点E到圆s 各点的距离都相等，那么点D和点E都在圆s 的对称轴上，由于直线DE是以点D和点E为基点旋转的不动点线，那么以直线DE上的任何一点Q为球心过点A的球和球D（及球E）相交于圆s【定理2.6.6】．选取不在直线DE的一点G，那么G点到A、B、C三点的距离不相等，则点G不能是过A、B、C三点的球的球心．即到A、B、C三点距离相等的点都在圆s 的对称轴直线DE上，也就是所有过A、B、C三点的圆都是圆s．

(3)这样确定的那个唯一的圆，就是 过不在同一直线上的A、B、C三点的那个圆，因此，过不在一条直线上的三点，仅可以作唯一的一个圆．

(4)由于过不在同一直线上的三个点可以作一个圆，以任何一个圆作基础圆都可以作出一个平面【定义 2.6.9】，那么过任何不在同一条直线上的三点可以作一个平面．  □

定理 2.6.8  空间不在同一直线上的三个点仅可以确定唯一的一个平面．

证明 两点A、B可以确定无限多个平面【定理2.6.4】，如果将由A、B两点所在圆k 上不在直线AB上的一点C的位置固定，那么圆k的位置就再也不能变动了【运动公理】，那么以圆k 为基础圆的平面的位置也就不可更改地确定了，故不在同一直线上的三点确定唯一的一个平面（图2.6-11）． □

定理 2.6.9  圆上的任意三点不能在同一条直线上．

证明 如果球和直线有公共点，仅有具有一个公共点和具有两个公共点这两种情况，那么球面上的三点不能在同一条直线上【定理2.5.15】，由于圆是球的一部分，又因为点是不能再分割的，因此圆上的三个点不能在同一条直线上．  □

定理 2.6.10  如果圆k 上的三点在平面M 上，那么圆周k 的所有点都在平面M 上．

证明 假设圆周k 上有三点A、B、C，由于A、B、C三点不在同一直线上【定理2.6.9】，按照定理2.6.7我们可以找到到点A、B、C距离相等的两点D、E，以点D为球心过点A作球F1，以点E为球心过点A作球F2，球F1和球F2的交圆l 就是经过不在同一直线上的三点A、B、C的唯一的一个圆，以该圆为基础圆可以作唯一的一个平面，使圆l 所有点都在该平面上．又由于过不在同一直线上的三点A、B、C仅可以作出唯一的一个平面【定理 2.6.8】，因此整个圆k 都在平面M 上．  □

推论  由平面的定义和本定理可知圆是平面图形．即平面上到一点距离等于定长的点的轨迹称为圆周，简称为圆，这个点称为圆心，这个定长称为半径．我们可以以平面M 上的一点A为圆心，过平面M 上的一点B在平面M 上作一个圆．

定理 2.6.11  如果直线k 的两个点A、B在平面M 上，那么直线k 的所有点都在平面M 上．

证明 在平面M 上取不在直线k 上的一点C，按照定理2.6.7我们可以找出到点A、B、C距离相等的两点D、E，以点D为球心过点A作球F1，以点E为球心过点A作球F2，球F1和球F2的交圆ABC经过A、B、C三点．由于不在同一直线上的三点仅可以确定唯一的一个平面【定理2.6.8】，因此整个圆ABC都在平面M 上，那么圆ABC是平面M 的一个基础圆，直线k 有A、B两点在基础圆ABC上，那么整条直线k 就都在平面M 上．  □

推论  由平面的定义和本定理可知，直线、射线和直线段都是平面图形．

定理 2.6.12  平面任何一个可指出的点在定维球上的截线都是一条闭线，即平面上可以指出的点都是面的内点．

证明 在平面M 上任取一个点P，以点P为圆心在平面上画一个圆k 【定理2.6.10 推论】，设圆k 的一组对径点为点A和点B，以点A和点B为基点，将圆k 的半圆AB同向旋转一周，我们将得到一个球心为P，以圆k 为大圆的球F，显然该球在平面的截线是一条闭线（一个圆），由于点P是在平面M 上任选的，圆k 是在平面M 上随意作的，因此，任何一点为球心所作的定维球在平面上的截线都是一条闭线（一个圆）．即平面上可以指出的点都是面的内点．

该定理从一个侧面表明，球和平面的公共点如果不是一个点，那么它们由公共点构成的图形就是一个圆（但这并不是对这一结论的证明，对此结论的证明，见定理2.6.32）．  □

定理 2.6.13  一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，且仅可以确定一个平面．

证明 (1) 设有直线AB和直线外一点C．在直线AB上任取两点A、B，那么A、B、C三点不在同一直线上，显然这三点可以确定一个平面【定理2.6.7】，且仅可以确定唯一的一个平面【定理2.6.8】．假设所确定的平面为M，由于A、B两点在平面M 上，那么整条直线AB都在平面M 上【定理2.6.11】，即平面M 就是由直线AB和该直线外一点C所确定的平面．  □

定理 2.6.14 两条相交的直线可以确定一个平面，且仅可以确定一个平面．

证明 设直线AB和直线BC相交于点B．在直线AB上任取一点A，在直线BC上任取一点C，那么A、B、C三点不在同一直线上，显然这三点可以确定一个平面【定理2.6.7】，且仅可以确定唯一的一个平面【定理 2.6.8】．假设所确定的平面为M．由于A、B两点在平面M 上，则整条直线AB都在平面M 上，又因B、C两点在平面M 上，整条直线BC也都在平面M 上【定理2.6.11】，即平面M 就是由直线AB和与之相交该直线BC所确定的平面．  □

推论  由角的定义和本定理可知角是平面图形．

定理 2.6.15  (1) 一个平面图形和它上面任意两点的连线组成的图形，仍是原所在平面上的平面图形．

(2) 有三个不共线公共点的两个平面图形仍是平面图形．

证明 (1) 设图形L 是平面图形，且整个图形位于平面M 上，在图形L 上有A、B两点，那么点A和点B都在平面M 上，故直线AB整体都在平面M 上【定理2.6.11】，因此，附加上直线AB后的图形L 整体仍在平面M 上．即仍然是平面图形．

(2) 设图形L 和图形K 都是平面图形，且图形L 和图形K 有三个不在同一条直线上的公共点A、B、C．由A、B、C三点可以确定唯一的一个平面M【定理 2.6.8】，图形L 有三点在平面M 上，那么整个图形在平面M 上，同理整个图形K 也在平面M 上．即有三个不共线公共点的两个平面图形仍是平面图形．□

推论  三角形是平面图形．

定理 2.6.16  平面可以向周边无限延展．

证明  根据平面的定义，一条直线如果有两点在一个基础圆上那么整条直线就都在该平面上，由于直线可以向两端无限延长【直线性质3】，而当直线在基础圆上回转时直线可以指向任何方向，因此平面可以向各个方向无限延伸．  □

定理 2.6.17  平面M 的一侧有一点A，另一侧有一点B，那么直线AB和平面M 有唯一的一个交点．

证明  平面M 的一侧有一点A，另一侧有一点B．要想使直线AB穿过平面M 不和该平面相交，也就是说直线和平面没有交点，那么，要么平面M 的小邻域没有属于单线AB的点，要么直线AB的小邻域没有属于平面M 的点【定理2.4.2】．那么，仅有如下三种情况：① 直线上有断点，② 平面上有孔洞，③直线上有断点，且平面上有孔洞．由于直线AB中间没有空隙，平面M 上没有孔洞【定理 2.4.1】．因此，平面M 一侧的A点和另一侧B点之间的直线段至少和平面M 有一个交点．由于直线AB上各点的定维球上的截线均为对极点处的两个孤立点，平面M 上各点的定维球上的截线都是一条闭线．那么直线AB和平面M 交点P的定维球的截线就是一条闭线两侧各有一个孤立点，且这两个点为定维球的对极点．即在交点P每一侧的定维球上仅为一个交点，且当直线伸出定维球后就不会再返回该球和球内的平面再相交【定理2.5.2】．由于直线AB可以无限延长，平面M 可以向周边无限延展，定维球可以选的任意大，那么在任何大的区域直线AB和平面M 都不会另有交点．即直线AB和平面M 仅有唯一的一个交点．  □

定理 2.6.18  平面M 上的一条直线k 将平面分为上下两部分，如果平面M 的上部分有一点A，下部分有一点B，那么直线AB和直线k 有唯一的一个个交点（平面上不平行的两条直线有一个，且仅有一个交点）．

证明  很明显直线AB和直线k 不能是永不相交的平行线．由于直线k 是无限的，那么它的两端都向无限远处延伸，如果过其上部点A和下部点B的直线AB和直线k 不相交，那么，要么直线k 的小邻域没有属于直线AB的点，要么直线AB的小邻域没有属于直线k 的点【定理2.4.2】．那么，仅有如下三种情况：① 直线k 上有断点，② 直线AB上断点，③ 直线k 上和直线AB上都有断点．由于直线l 和直线AB中间都没有空隙【定理 2.4.1】,因此，直线k 和直线AB至少有一个交点P．以点P为球心作球P，由于直线AB从点P处穿过直线k 之后就不会再返回球P 之内【定理 2.5.2】，又由于对于无论多大的球P 该结论都成立，那么直线k 和直线AB仅有唯一的一个交点．  □

定理 2.6.19  平面M 的一条闭线k 将平面分为内部和外部，如果平面M 上的直线l 有位于闭线k 内部的点，那么直线l 和闭线k 至少有两个交点，如果闭线k 是一个圆，那么直线l 和圆k 仅有两个交点（直线l 插入圆k 有一个交点，伸出圆k 还有一个交点）．

证明  由于直线l 是无限的，那么它的两端都有闭线k 外部的点．设闭线k 外直线l 左端有一点A，右端有一点B．而直线l 有位于闭线k 内部的点C，假设射线的CA不和闭线k相交，那么，要么射线的CA的小邻域内没有属于闭线k 的点，要么闭线k 的小邻域内没有属于射线的CA的点【定理2.4.2】．那么，仅有如下三种可能：① 射线的CA上有断点，② 闭线k 上有断点，③ 射线的CA上和闭线k 上都有断点．由于直线l 中间没有空隙，闭线k 上也没有空隙【定理 2.4.1】．因此，射线的CA和闭线k 至少有一个交点．同理射线的CB也至少和闭线k一个交点．即直线l 和闭线k 至少有两个交点．当闭线k 是一个圆时，让半圆k 绕其对端点同向旋转一周得到以圆k 为大圆的球F【定理 2.4.24】．由于直线和球当直线有点位于球内时仅有一进一出两个交点【定理 2.5.15】，那么直线l 和圆k 最多有两个交点．故直线l 和圆k 只有一进一出两个交点． □

定理 2.6.20  平面M 上的三角形ABC将平面分为内部和外部，如果平面M 上的直线l 有位于三角形ABC内部的点，那么直线l 一定和三角形ABC的两条边每边有一个交点．

证明  由于直线l 是无限的，那么它的两端都有三角形ABC外部的点，而直线l 有三角形ABC内部的点，由于三角形ABC是一条由直线段构成的闭线，那么直线l 一定和三角形ABC的两条边每边有一个交点（直线l 运动进入三角形ABC有一个交点，伸出三角形ABC 还有一个交点）【定理2.6.19】．  □

定理 2.6.21  如果两个有公共点的平面不重合，它们的公共部分是一条直线．

证明 平面的任何一点在定维球上截得的图形都是一条闭线（是一个圆），故平面F 和平面M 的公共点在定维球上所截得的图形是两条相交的闭线（相交的圆），那么两个平面的公共部分就不是一个孤立点，（一个图形和一个平面的交点在定维球上截得的图形为一条闭线两边各有一个孤立点，两者才交于一点【定理2.6.17】）．那么这两个平面的公共部分就至少有A、B两个公共点．由于点A和点B是平面F 和平面M 的公共点，那么点A和点B在平面F 上，即直线AB在平面F 上；同样点A和点B在平面M上，又有直线AB在平面M 上【定理2.6.11】．因此有交点，但不重合的平面F 和平面M 相交于一条直线．  □

定理 2.6.22  球心分别为点A和点B的两个球（两球不一定相等）相交于一个圆k ，那么．

(1)从交线圆k 上任意一点向两球连心线作垂线的垂足是交线圆的圆心，当两球相等时，两球球心所连直线段的中点是交线圆的圆心．

(2)任何一个圆都有唯一的一个圆心．

(3)圆的半径向圆心方向延长一定和圆相交，且截得的弦为直径．直径的端点是圆的一组对径点．

(4)两球连心线AB垂直平分圆k 任何一条直径．

(5)两球连心线垂直于两球的交圆所确定的平面，且垂足就是该交线圆的圆心．两相交等球的球心是交线圆的一对镜点．

(6)圆的直径（D）等于两条半径（R）的和．

证明 任取两点A、B，连直线段AB．以点A为球心作球F1，以点B为球心作球F2，两球相交于圆k （图2.6-12）．在圆k 上任取一点C，以点C为球心过点B作球交直线段AB（或其延长线）于A1点，那么直线段CB=CA1．以点A1为球心过点C作球F3，由于点A1在直线段AB上，那么点A1就是以点A和点B为基点旋转的不动点，即球F3和球F2的交线也是圆k【定理 2.6.7】．

直线段A1B的中点为O．将整个图形翻转，使点A1和原图点B重合，点B和原图点A1重合．因球F2和球F3相等，此时球F3重合于原图形球F2，球F2重合于原图形球F3，圆k 重合于圆k．因为A1O=OB，那么翻转后的O点重合于原图形的O点．绕连心线A1B旋转翻转后的图形，能使点C重合于原图的点C．那么，就有

∠COA=∠COA1=∠COB=直角 （即CO垂直于AB，O为垂足）．

使直线段CO向O的方向延长成射线CD，那么有∠A1OD等于直角．使直线段OC绕直线AB旋转，则∠AOC始终是直角，因此，当线段OC旋转至和射线OD方向一致时线段OC将和射线OD的一部分重合．由于动点C绕连心线AB（以点A和点B为基点）旋转时，点C始终在圆k 上移动【定理2.4.8】．那么，射线OD上的一点D和点C重合．即点D在圆k 上，就有点C、O、D在同一直线上．

由于点C和点D在圆k 上，且点C、O、D在同一直线上，那么，点O在圆k 所在的平面上．① 因为点O在直线AB上，且AO=OB，那么点O是以点A和点B为基点旋转的不动点，那么点O到圆k 各点的距离相等，即点O为圆k 的圆心．② 因为点O是圆k 的圆心，到圆上各点的距离相等，又在直径CD上，那么将左半圆CD绕轴线CD翻转后将和右半圆CD重合．那么，

(1)交线圆k 上任意一点向连心线AB所引垂线的垂足O是圆k 的圆心，显然当两球相等时两球球心所连直线段的中点是交线圆的圆心．

(2)由于圆心O是两球F2、F3所连直线段A1B的中点，即点O是A1、B两点的等球中切点，因此圆k 的中心O是唯一的【定理2.4.16】．

(3)圆的半径CO向圆心方向延长和圆k 相交于D点，且截得的弦CD为圆k 的直径（经过圆心的弦），且点A和点B是圆k 的一组对径点．

(4)由于点O是两球交线圆k 的圆心，且圆k 的任何一条半径都和连心线AB垂直，那么，连心线AB相垂直平分圆k 的任何一条直径．

(5)由于两球连心线AB垂直于圆k 的任何一条直径，那么两球连心线垂直于两球的交圆所确定的平面，且垂足O就是圆k 的圆心．那么，两相交等球的球心就是交线圆的一对镜点．

(6)CO可以和OD重合，那么圆的直径（D）等于两条半径（R），即D=2R．  □

推论：直线l 垂直于直线l 外一点以直线l 上的两点为基点同向旋转一周的轨迹圆所在的平面，且通过该轨迹圆的圆心．

定理 2.6.23  (1) 两点的等球交线所在的平面是这两点的中垂面．

(2)中垂面上的点到两点的距离相等．

(3)到两点距离相等的点在其中垂面上．

(4)两点的中垂面是唯一的．

证明 (1) 任取两点A、B，连直线AB．以点A为球心作球A，以点B为球心作球B，使球A 等于球B 且两球相交于圆l ．设直线段AB的中点为O（图2.6-13），那么点O在圆l 所在的平面上，并且是圆l 的圆心．在圆l 上任取一点D，连直线DO，那么直线DO交圆l 于另一点H【定理2.36.22】，那么点H在圆l 上，也在圆l 所在的平面上【定理2.6.11】．由于点A和点B到圆l 各点的距离都相等，让直线DH绕直线AB旋转，直线DH旋转过程中点D和点H始终沿圆l 运动．即DH在旋转过程中所形成的平面就是圆l 所在的平面．由于圆l 所在的平面L 垂直于直线段AB【定理 2.6.22】，并经过直线段AB的中点O，那么圆l 所在的平面L 是直线段AB的中垂面．

(2) 在平面L 上任取一点C．由三角形DOA和三角形DOB可以翻转重合【定理2.6.22】，得三角形COA和三角形COB可以翻转重合，故直线段CA和CB相等．由于点C是在平面L 上任取的，那么就有A、B两点中垂面上的点到A、B两点的距离相等．

(3) 设空间有一点E，直线段EA等于直线段EB，以点A为球心过点E作球A1，以点B为球心过点E作球B1（图中未标出），那么球A1等于球B1，设球A1和球B1相交于圆k．将图形翻转使翻转后点A重合于原图形的点B，使翻转后点B重合于原图形的点A，此时，点O重合于点O，球A1重合于球B1，球B1重合于球A1，圆k 重合于圆k．那么，就可得∠EOA=∠EOB=直角，那么点E 在平面L 上【定义2.6.15】．

(4) 假设点A和点B的中垂面，并不只是平面L ，那么就有平面L 外的点，也到点A和点B的距离相等，但这显然和已经证明了的结论(3)，到两点距离相等的点都在其中垂面L 上的结论相矛盾．该矛盾说明原假设两点的中垂面不是唯一的不真，因此两点的中垂面是唯一的．  □

推论  平面上一条直线段中垂线上的点到线段两端的距离相等，且平面上到线段两端距离相等的点都在其中垂线上．

定理 2.6.24  (1) 不在同一直线上的三点，两两点的中垂面交于一条直线（共线）．

(2)过圆心垂直于圆所在平面的直线是圆的对称轴，即圆是以过圆心垂直于圆所在平面的直线为对称轴的轴对称图形．

(3)到圆周各点距离相等的点都在该圆的对称轴上．

证明 (1) 空间有不在同一条直线上的A、B、C三点，以点A为球心作球A，以点B为球心作球B，以点C为球心作球C，且使球A 等于球B 等于球C ．设球A 和球B 相交于圆l ，那么圆l 所在的平面L 是A、B两点的中垂面；球B 和球C 相交于圆m ，那么圆m 所在的平面M 是B、C两点的中垂面；球C 和球A 相交于圆k，那么圆k 所在的平面K 是C、A两点的中垂

面．圆l 、圆m 和圆k 相交于D、E两点【定理2.6.7】，连直线DE，那么直线DE在圆l 所在的平面L 上，在圆m所在的平面M 上，那么它是平面L 和平面M 的交线．又因直线DE是也在圆k 所在的平面K 上（图2.6-14），那么中垂面L、M、K 相交于一条直线．

(2) 由于以点D为球心可以作球D 过点A、B、C，以点E为球心可以作球E 过点A、B、C，因此，直线DE垂直于点A、B、C所在的平面【定理 2.6.22】，且直线DE上的点到圆ABC上任意一点的距离都相等．那么直线DE和点A、B、C所在平面交点（垂足）到点A、B、C的距离相等，即为圆ABC的圆心【定理 2.6.22】．即过圆心垂直于圆所在平面的直线是圆的对称轴，即圆是以过圆心垂直于圆所在平面的直线为对称轴的轴对称图形．

(3)假设空间中的一点P到圆周s 各点的距离都相等，那么就有PA=PB，即点P在圆l 所在的平面L 上，有PB=PC，即点P在圆m 所在的平面M 上，PC=PA，即点P在圆k 所在的平面K 上．那么点P在圆s 的对称轴DE上．  □

定理 2.6.25  如果直线AB垂直于平面M 点O为垂足，那么，

(1)平面M 上任何一点绕直线AB（以点A和点B为基点）同向旋转一周的轨迹圆k 是平面M 圆心为O的基础圆．

(2)以点O为圆心的平面M 的基础圆有无限多个，并且这些圆中没有最大的．

(3)平面M 上任何一点向直线AB所作垂线的垂足都是直线AB与平面M 的交点O．

(4)由直线AB外的一点P，可以引一条直线和直线AB垂直相交，并且仅可以引一条．

(5)从平面外一点仅可以引一条直线和平面垂直．

证明 (1)直线AB垂直于平面M,点O为垂足．在平面M 上任取一点C，连直线CO，连直线段CA、CB（图2.6-15）．由于点C和点O在平面M上，那么整条直线CO都在平面M 上【定理2.6.11】．由于直线AB垂直于平面M,故有∠COA和∠COB都是直角【定义2.6.15】．由于点O在直线AB上，则点O为以点A和点B为基点旋转的不动点【定义2.5.5】，那么以点A和点B为基点旋转三角形ACO时，点O的位置不变，点C运动过程∠COA始终是直角，且整条直线都在平面M 上，那么它的轨迹是平面M 上的圆k，并以点O为圆心，即圆k 是平面M 的一个基础圆．

(2)在直线CO的C点之外任取一点P，那么以点A和点B为基点旋转三角形APO时，点P的轨迹圆l 也是一个平面M 的基础圆，显然圆l ＞圆k．因为直线CO可以伸向无穷远处，我们要取多远的点就可以取到多远的点，因此平面M 以点O为圆心的基础圆没有最大的．

(3)在平面M 上任取一点D，连DO，那么DO垂直于AB，即平面M 上任何一点向平面的垂线AB所作垂线的垂足都是直线AB与平面M 的交点O．

(4)设直线AB外有一点P（图2.6-16），让点P绕直线AB（或以点A和点B为基点）同向旋转一周，点P的轨迹是唯一的一个圆周l ，以点A为球心过点P的球A 和以点B为球心过点P的球B 的交线也是圆l 【定理 2.4.8】．那么连心线AB垂直于圆l 所在的平面M，并且圆l 的圆心O为垂足【定理 2.6.22】，连直线PO垂直于直线AB【本定理 结论(3)】．由于直线AB和平面M 的交点仅有一点O【定理2.6.17】，P、O两点确定的直线仅有唯一的一条【定理2.5.5】，那么过直线外一点仅可以引一条直线和该直线垂直相交．

(5)假设由平面M 外一点P向平面M 可以引垂足分别为点J和点H的两条垂线．连直线JH，则整条直线JH都在平面M 上，那么点P在直线JH之外．又直线PJ和直线JH 垂直相交，直线PH和直线JH也垂直相交，即从直线外一点P,引了两条直线和直线JH垂直相交，这是不可能的【本定理结论(4)】．因此，过平面外一点仅可以引一条直线和平面垂直． □

定理 2.6.26  球心是该球任何一个大圆的圆心．

证明 已知球F 的球心为O，在球F 上任选一的A，以点A为球心作球F1和球F 相切于B点（图2.6-17），那么点B是以点A、O为基点旋转的不动点【定理2.4.18】，即点A和点B是球F 的一对对极点【定义2.2.36】．那么点A是以点O和点B为基点旋转的不动点【定理2.4.20】．以点B为球心过点A作球F2，那么球F2和球F 相切于A点【定理2.4.17】．设球F1和球F2相交于圆k ，在圆k 上任选一点C，以点C为球心过点A作球F3，因为C、A两点间的距离和C、B两点间的距离相等，那么点B在球F3上．设球F3和球F 相交于圆l ，那么l 是球F 的大圆【定理2.4.25】．由于球心O、球心A和切点B在同一条直线上【定义2.5.5】，那么球心O在平面l 上．又由于点O是球F 的球心，那么点O到圆l 的各点距离都相等，即球心O为大圆l 的圆心．由于点A是在球F 上任选的，故该球任何一个大圆的圆心都是球心O．  □

定理 2.6.27  (1) 圆对径点所连的直线段是圆的直径．

(2)圆一组对径点的等球中切点是该圆的圆心．

(3)直径是圆最长的弦．

证明 设点A和点B为圆k 的一组对径点（图2.6-18）．

(1)以点A和点B为基点将半圆AB同向旋转一周，得到球F ，那么圆k 是球F 的大圆，点A和点B为球F 的对极点【定理2.4.24】．设球F 的球心为O，那么大圆k 的圆心也为点O【定理2.6.26】．由于点A和点B是球F 的一对对极点，即点A是点B和点O为基点旋转的不动点【定义2.2.36】，那么以点B为球心过点A的球F1和球F 相切于A点【定理2.4.17】．即点O也是以点A和点B为基点旋转的不动点【定理2.4.20】，那么点O在直线AB上【定义2.5.5】．因此直线段AB，既是球F 的直径也是圆k 的直径．

(2)圆k 的一组对径点为AB，那么点A和点B的等球中切点在直线段AB上，并且是直线段AB的中点，即该等球中切点就是圆k 的圆心O．

(3)以点B为球心作球F2使点A位于球F2之外交圆k 于E、F两点，连BE，由于点B是球F1的球心，点A在球F1上，点E在球F1内部，那么BA＞BE，由于球F1是和球F 有公共点的最大的球，那么直径AB是球F 一个端点为B的弦中最长的．对于圆k 上两端点均异于点B的非直径的弦 JK，先将其刚性移动至一个端点 J位于点B处，其另一个端点K不与点A重合，按上述方法可证，弦JK 短于直径AB，即弦JK 短于直径AB．故直径是圆的最大弦．□

定理 2.6.28  球是以经过球心的直线为对称轴的空间轴对称图形．

证明 设球F 的球心为O，设球F 上有一对对极点A、B，则点B是以点A和点O为基点旋转的不动点【定义 2.2.36】，那么直线AO经过点B．设球F 上有任意一点P，单线AB在球F 上经

过P点，那么将单线AB以点A和点B为基点同向旋转一周的轨迹为球面F【定理2.4.23】, 其中点P 的轨迹圆l 全部在球F 上（图2.6-19）．直线AB上的任意两点C、D均为以点A和点B为基点的旋转不动点，因此以点C、D这两点为基点同向旋转点P一周的轨迹也是圆l 【定理 2.4.20】．故球F 是以过球心O的直线为对称轴的空间轴对称图形．  □

定理 2.6.29  两个球组成的图形是以连心线为对称轴的空间轴对称图形．

证明 设球A 的球心为A，球B 的球心为B，连连心线AB，那么直线AB是球A 的对称轴，也是球B 的对称轴【定理 2.6.28】，故是球A 和球B 构成的图形的对称轴，即两球构成的图形是以两球连心线为对称轴的空间轴对称图形．  □

定理 2.6.30  平面是以垂直于该平面的直线为对称轴的空间轴对称图形．

证明  直线AB垂直于平面L 点A为垂足（图2.6-20）．在平面L 上任取一点C，连直线段AC，在直线AB上取一点B，连直线段BC，那么直线段AC在平面L 上【定理 2.6.11】，且∠CAB等于直角【定义 2.6.15】．让三角形ABC以A、B两点为基点旋转，那么∠CAB始终保持是直角，那么动点C始终在平面L上．由于点C是在平面L 上任选，故平面是以垂直于该平面的直线为对称轴的空间轴对称图形． □

定理 2.6.31  (1) 对于圆l 可以找到其所在平面外一点A的镜点B．

(2) 球和平面的交线如果不是一个点就是一个圆．

证明  (1) 以平面L 外的一点A为球心，用适当的半径作球A ，使球A 和平面L 多于一个公共点，在平面L 上划出一条直线k 使直线k 和球A 无公共点．使直线k 在平面上同向移动，先接触球A 再运动至完全离开球A ，那么直线k 和球A 交点的轨迹是一条闭线，即球A 和平面L 的交是一条闭线【定理2.6.3 推论】，在该闭线上选不共线的三点C、D、E（图2.6-21）．以点C为球心过点A作球C，以点D为球心过点A作球D，以点E为球心过点A作球E（图中未标出这3个球），球C、球D 和球E 相交于另一点B．点B就是点A关于圆l 的镜点【定义2.6.22】．

(2) 以点B为球心，过点C作球B 交球A 于圆l′．由于不共线的C、D、E三点在圆l′上，也在平面L 上，那么整个圆l′在平面L 上【定理 2.6.10】，即球B 和平面L 的交线是圆l′，那么圆l′就是球A、球B 和平面L 的共同交线（闭线l 就是圆l′）．故球和平面的交线如果不是一个点就是一个圆，就是以圆心与球心连线为对称轴的圆【定理2.6.6】．  □

推论  如果球的内部包括平面的点，那么它们相交于一个圆．

定理 2.6.32  (1) 和球相切的平面（仅有一个公共点），过球半径的端点，且垂直于球的这个半径．

(2) 过球半径端点和球这个半径垂直的平面和球相切（仅有一个公共点A）．

(3) 由平面外一点向平面各点所引的直线段，垂线为最短．

(4) 由平面外一点向平面所引的垂线仅有唯一的一条．

证明  (1) 球心为点A的球A 和平面M 相切于点K（图2.6-22）．由于球A 和平面M 仅有一个公共点K，那么平面M 上除了点K之外的点都在球A 的外部．连直线段AK，延长AK到点B，成直线段AB，使AK=KB．由于点K在直线AB上，那么点K是以点A、B为基点旋转的不动点【定义2.5.5】．以点B为球心过点K作球B，球A 和球B 切于点K【定理2.4.17】．在平面M 上选异于K的一点D，以点A为球心过点D作球A1，以点B为球心过点D作球B1，球A1和球B1相交于圆k【定理2.4.8】，那么直线段AB经过K点垂直于圆k 所在的平面K【定理 2.6.22】．假设圆k 所在的平面K 和平面M 不重合，那么平面K 就不是球A 的切面．由于平面K 和平面M 有一个公共点K，那么两平面相交于一条直线CK【定理 2.6.21】．由于直线CK在切面M 上，那么直线CK和球A 仅有一个公共点K，并且直线CK上除了K点之外所有的点都在球A 之外．以点A和点B为基点旋转直线CK，由于直线AB垂直于平面K ，且直线CK在平面K 上，那么直线CK 旋转的轨迹就是平面K 【定理 2.6.22】．由于点K是旋转不动点，旋转中不会产生新点，直线CK上K点之外的点原来都在球A 的外部，且旋转中到A点的距离不变，那么这些点的轨迹都在球A 之外，即平面K 和球A 仅有点K一个公共点，即平面K是球A 的切面．这显然和平面K 和平面M 不重合的假设相矛盾，该矛盾表明原假设不真，即平面K 和平面M 重合，那么就有球的切面经过球半径的端点，且和该半径垂直．

(2)  由平面M 外一点A向平面M 作垂线AK，K为垂足，延长直线段AK到B，使AK=KB（图2.6-22）．以点A为球心过点K作球A ．假设球A 不和平面M 相切，那么球A和平面M 就不能只有点K这一个公共点，而是相交于一个圆【定理 2.6.31】，那么就至少有不在同一直线上的三个点【定理 2.6.5 推论】．这三个点不能同时是一次旋转的不动点【运动公理】．以点A和点K为基点将球A 同向旋转一周，由于点A和点K是基点,因此旋转过程球A 不变所占据的空间位置,且旋转中点K也不改变空间位置．但在球A 和平面M 的公共点中至少有一个动点．由于直线AB过球心A,且垂直于平面M，那么该动点的轨迹就既在球A 上又在平面M上．即该动点生成的轨迹圆是球A 和平面M的交线．由于点K是旋转过程的不动点，因此点K不在交线圆上，那么K点就不在平面M 上．这显然是荒谬的．因此，假设过半径端点垂直于半径的平面不和球相切不真，即过半径端点，且垂直于该半径的平面和球相切．

(3)球心为点A的球A 和平面M 相切于点K．在平面M 上任取一点C，连直线AK、AC．由于球A 和平面M 仅有一个公共点，且点C在球A 的外部，那么就有由球心A向平面M 各点的连线都不短于点A向平面M 所作的垂线，即由平面外一点向平面各点所引的直线段，以垂线为最短．

(4) 由于点A对于平面M 镜点B可以按定理2.6.22的规定求出，它是唯一确定的，点K是A、B两点的等球中切点，因此点K是唯一确定的【定理2.4.16】，由于点A和点K都是唯一确定的，因此由点A向平面M 所引的垂线AK是唯一的． □

定理 2.6.33  点P绕直线AB同向旋转一周的轨迹为圆k，圆k 所在的平面为平面L，平面L 外有一点Q，点Q绕直线AB同向旋转一周的轨迹为圆l，圆l 所在的平面为平面M，那么平面L 和平面M 是平行平面【定义 2.6.14】．

证明  设圆l 和圆k 分别是直线AB外的一点绕直线AB同向旋转一周得到的图形．圆k 在平面L 上，那么圆心C在平面L 上．圆l 在平面M 上，那么圆心D在平面M 上（图2.6-23）．假设平面L 和平面M 不是平行平面，它们一定在有限的区域有交点，设这个交点为点E，即点E既在平面L 上也在平面M 上．我们来证明这个假设是错的．

证法一，因点E在平面L 上，那么E点绕直线AB（以点A和点B为基点）同向旋转一周，在平面L 上得到一个基础圆WL【定理 2.6.25】，又由于点E在平面M 上，那么E点绕直线AB（以

点A和点B为基点）同向旋转一周，在平面M 上得到一个基础圆WM【定理 2.6.25】．又因为圆WL和圆WM分别在两个平面上，因此它们不能重合，但它们有一个公共点E，即它们是相切或相交的两个圆．同一个点绕同一个轴线（或以两个相同的基点）同向旋转一周，得到了两个彼此相交的圆（交点为E），这显然和“空间的一点以点A和点B为基点将动点P同向旋转一周的轨迹是唯一的到基点距离相等的一条闭线——圆”的结论【定理 2.4.7】相矛盾，该矛盾表明平面L 和平面M 不是平行平面的假设不真，即平面L 和平面M 是永远不相交的平行平面．

证法二，因点E在平面L 上，那么由E点向直线AB作垂线的垂足为平面L 上的基础圆圆心点C【定理 2.6.25】，又由于E点在平面M 上，那么由E点向直线AB作垂线的垂足为平面M 上的基础圆圆心点D【定理 2.6.25】．就是从直线AB外的一点E，可以引EC、ED两条直线和直线AB垂直，这显然和由直线外一点仅可以引一条该直线的垂线和该直线相交【定理 2.6.25】相矛盾．该矛盾表明平面L 和平面M 不是平行平面的假设不真，即平面L 和平面M 是永远不相交的平行平面．  □

定理 2.6.34   两个平行平面被第三个平面所截，截得的两条交线平行，即平面上存在平行线．

证明  平面L 和平面M 是空间中的两个平行平面，平面L和平面M 被平面W 所截，平面L 和平面W 相交于直线l ，平面M 和平面W 相交于直线k．即直线l 和直线k 都在平面W 上，假设直线l 和直线k 不平行，那么它们必在有限区域内有交点P，那么平面L 和平面M 就在有限范围有交点P，这显然和平面L 和平面M 是空间中的两个平行平面的已知条件相矛盾．该矛盾表明直线l 和直线k 不平行的假设不真，那么直线l 和直线k 是平面W 上的永不相交的直线（平行线）．即平面上有平行的直线．  □

定理 2.6.35  如果一条直线垂直于平面上过其和平面交点的两条相交的直线，那么它就垂直于这个平面．

证明：平面M 上直线AB和直线CD相交于O点，过O点的直线OP垂直于直线AB，也垂直于直线CD．

在直线AB上任选一点A，以点O和点P为基点将点A同向旋转一周，得到圆k（图2.6-24）．根据已知有，

∠POA=∠POB=直角

∠POC=∠POD=直角

那么，在直线AB上一定还有一点B在圆k 上，在直线CD上一定还有点C和点D在圆k 上．由于点A、B、C、D都在平面M 上，那么，圆k 在平面M 上【定理2.6.10】．由于，圆k 上任何一点和点O的连线都垂直于直线PO，那么平面M 上任何一条经过O点的直线就都垂直于直线PO，那么就有直线PO垂直于平面M ． □

说明：其实一条直线垂直于平面内任何两条相交的直线（不一定过交点），都可以断定它垂直于该平面，因为本书没有讨论异面直线垂直，故将本定理写为“垂直于两条过交点的直线”．

定理 2.6.36  直线AB是平面M 的垂线，点B为垂足．平面L 是过垂线AB的平面，那么平面L 垂直于平面M ．

证明：设两平面的交线上有一点C，在垂线AB上取一点A，让点A以点B和点C为基点同向旋转一周，其轨迹圆k 和平面M 相交于点D（图2.6-25）．那么直线CB垂直于圆k 所在的平面【定理 2.6.22 推论】，故CB垂直于BD也垂直于BA，那么∠ABD是平面L 和平面M 构成二面角的平面角．由于直线AB是平面M 的垂线，那么∠ABD为直角，故平面L 垂直于平面M ．  □

定理 2.6.37  平面L 垂直于平面M ，由平面L 上的任意一点作平面M 的垂线，垂足一定在两平面的交线上．

证明 设平面L 和平面M 垂直相交于直线CD，平面L上有一点A，以点A为圆心在平面L 上作圆l ，交直线CD于C、D两点．设直线段CD的中点为B．分别以点C和点D为球心，过点A作等球C 和D 相交于圆k（图 2.6-26，球C 和球D 图中未标出）．圆k 交平面M 于点E．那么，C、D两点是圆k 的镜点，圆k 所在的平面是直线段CD的中垂面【定理 2.6.23】．因为点B是直线段CD的中点，故点B在圆k 所在的平面上，并且是圆k 的圆心，且有 ∠ABC＝∠EBC＝直角【定理2.6.22】．则∠ABE是平面M 和平面L 所成二面角的平面角．由于平面M 和平面L 垂直，那么∠ABE＝直角．则有AB垂直于平面M【定理2.6.35】．由于由平面外一点引平面的垂线是唯一的【定理2.6.25】，因此由垂面上的一点作该平面的垂线垂足一定在两平面的交线上． □

定理 2.6.38  垂直于同一个平面的两条直线相平行．

证明：设直线AB垂直于平面M ，直线CD也垂直于平面M ，过直线AB作平面L ，过直线CD作平面K ，平面L 和平面K 相交于直线EF（图2.6-27）．

由于直线AB垂直于平面M ，那么平面L 垂直于平面M 【定理 2.6.36】．在直线EF上任取一点E，由点E做平面M的垂线，则垂足F在平面L 和平面M 的交线上【定理 2.6.37】．同理，由点E做平面M的垂线，垂足F也在平面K 和平面M 的交线上．那么垂线EF的垂足F就是平面L 与平面M 交线BF和平面K 与平面M 交线DF的交点．即有平面L 和平面K 的交线EF垂直于平面M ．假设直线AB和EF相交于一点P，那么从平面M 外的一点P向平面M 就能引两条垂线，这显然和由平面外一点仅可以引一条垂线的结论【定理 2.6.25】相矛盾，那么原假设直线AB和直线EF相交于一点就是错误的，故直线AB和直线EF永不相交．又因为直线AB和直线EF都在平面L 上，那么直线AB和直线EF相平行．同理，直线CD也和直线EF相平行．现在．过平面M 垂线AB的平面F 和过平面M 垂线EF的平面K 相交于直线CD，那么直线AB平行于直线CD．  □

定理 2.6.39 （平行定理）平面上过直线外一点可以作一条直线和已知直线平行，并且只可以作一条．

要求  空间有直线AB和直线外一点C，证明在A、B、C三点所在的平面上，过点C存在一条，并且仅存在一条直线永远不和直线AB相交．

作法  (1) 使点C绕直线AB（即以点A和点B为基点）同向

旋转一周，得到过C点的轨迹圆k，以圆k 为基础圆的平面L．直线AB垂直交平面L 于点J．

(2) 以点C为圆心以任意长度为半径在平面L 作圆l 【定理2.6.10 推论】，在圆l 上任选三点D、E、F（图2.6-28）．

(3)以点D为球心，以大于这三点任意两点的距离为半径作球D，以点E为球心作球E 等于球D，以点F为球心作球F 等于球D．球D、球E 和球F 相交于G、H两点（图中球D、球E和球F 均未标出）．

(4) 连直线GH就是在A、B、C三点所在的平面M 上，过点C的一条和直线AB永不相交的直线．

引理 平面上的一条直线和两条平行线中的一条相交于一点，就一定和平行线中的另一条也相交于一点．

引理证明 在平面M 上作直线PQ和直线HG相交于C点，在平面M 上作圆s 交直线PQ于点P，交直线CJ于点K．就有直线CJ垂直相交于直线AB于一点J．设逆时针方向∠KCP小于直角，让直线CJ一点C为基点在平面M 上逆时针转动，此时，点K在圆s上移动，点J在直线AB上移动并始终保持有一个交点．当点K和点P重合时，点J运动至点Q，即直线PQ和直线AB有一个交点Q．只有当PQ和HG重合时它才与直线AB没有交点（平行）． □

证明  由作法(1)可知直线AB垂直于圆k 所在的平面L【定理 2.6.22】．由作法(2)、(3)可知点H和点G是圆DEF的镜点，那么直线GH垂直于平面L【定理 2.6.22】．因此就有直线AB平行于直线GH【定理2.6.38】．由引理知，平面M 上仅有过C点的平面L 的垂线平行于直线AB．由于过点C垂直于平面L 的直线仅有唯一的一条【定理2.6.32】，即在直线AB和线外一点C所确定的平面上，过点C仅可以作一条直线和直线AB平行．□

定理 2.6.40  两条平行的直线可以确定一个平面，并且仅可以确定一个平面．

证明 设空间有两条平行的直线k 和l ．在直线l 上任取一点C，那么直线l 和直线l 外的一点C可以确定一个平面，并且仅可以确定一个平面M 【定理2.6.13】．由于直线k 和直线l 平行，根据平行线的定义【定义2.6.17】，直线k 和直线l 在同一平面上，那么直线l 在平面M 上．这说明，平行直线k 和l 可以确定一个平面，并且仅可以确定一个平面．  □

定理 2.6.41  (1) 一条直线平行于平面上的一条直线，它就平行于这个平面．

(2) 一条直线平行于一个平面，它就平行于过该直线的平面和这个平面的交线．

证明 (1) 假设直线l 和平面M 上的一条直线k 平行，那么可以确定一个平面L 使直线l 和直线k 都在平面L 上【定理 2.6.40】，直线k 就是平面L 和平面M 的交线（图2.6-29）．由于直线l 和直线k 平行，那么直线l 和直线k 没有交点．又因为直线l 在平面L 上，因此直线l 不能和平面M 有交线k 以外的交点，那么直线l 和平面M 没有交点，即直线l 平行于平面M ．

(2) 已知直线l 平行于平面M，过直线l 做平面L 交平面M 与直线k．假设直线l 和直线k 在有限区域内相交于一点P，则直线l 就和平面M 有交点，这显然和直线l 和平面M 平行的已知条件相矛盾，因此平面L上的直线l 和直线k 相平行．  □

定理 2.6.42  平行于同一条直线的两条直线平行．

证明 已知直线m 平行于直线l ，直线k 也平行于直线l ，求证直线m 平行于直线k（图2.6-30）．作平行线m和l 所在的平面A，作平行线k 和l 所在的平面B【定理 2.6.40】．直线m 平行于平面B，直线k 平行于平面A 【定理 2.6.41】．在直线k 上任取一点P，由于直线k 平行于平面A ，则点P在直线m 之外．过直线m 和点P作平面C 交平面B 于直线k′．因直线l 平行于直线m（已知），则直线l 平行于平面C，且平行于直线k′【定理 2.6.41】．又因为直线l 平行于直线k（已知）．平面B 是平行线l 和k 所确定的平面，且平面C 和平面B 的交线k′也在平面B 上，如果，直线k 和直线k′不重合，那么平面B 上过直线l 外的一点P就可以引k 和k′两条直线和直线l 平行，这是不可能的【定理 2.6.39】．那么直线k 和直线k′重合，直线m 平行于直线k．□

定理 2.6.43  空间的4个点不共面且任意3点不共线，那么，

(1)这4个点，每两点的中垂面交于一个点．

(2)这4个点可以确定一个球，并且仅可以确定一个球．

证明 (1) 空间上有A、B、C、D 4点不共面，且任意3点不共线．其中A、B、C三点的确定的圆为k，圆k 的对称轴为EG，那么直EG上的点到圆k 上任意一点的距离都相等【定理2.6.24】．其中B、C、D三点的确定的圆为l，圆l 的对称轴为FG，那么直FG上的点到圆l 上任意一点的距离都相等【定理2.6.24】．直线EG在直线段BC的中垂面上，直线FG也在直线段BC的中垂面上，那么直线EG和直线FG在同一个平面上（图2.6-31）．又因为A、B、C、D 4点不共面，故在同一平面的直线EG和直线FG不平行，故一定相交于一点G．显然点G到点A、B、C、D的距离相等．

(2)那么，以点G为球心过点A的球一定经过A、B、C、D 4点．也就是说，空间不共面的4点，如果任意3点不共线，则可以确定一个球．由于任意三点确定的圆是唯一的，圆的对称轴是唯一的，这些对称轴相交于一点，那么该交点仅有一个．当A、B、C、D 4点在空间中的位置确定之后，该交点在空间的位置就不可更改地确定了，因此所确定的球是唯一的．  □

定理 2.6.44  两个三角形如果两条边和这两条边所夹的角对应相等，那么这两个三角形可以重合（全等）．

证明  设三角形ABC和三角形A1B1C1，AB=A1B1，BC=B1C1且有∠ABC=∠A1B1C1，求证⊿ABC和⊿A1B1C1全等．

证明过程如下：① 移动三角形ABC使点B重合于点B1，点A重合于点A1，此时AB重合于A1B1；② 让直线段AB自旋，因∠ABC=∠A1B1C1，旋转能使∠ABC重合于∠A1B1C1，此时点C重合于点C1，BC重合于B1C1；③ 由于点A和A1重合，点C和点C1重合，则边AC和A1C1重合．即三角形ABC可以和三角形A1B1C1重合，即⊿ABC全等于⊿A1B1C1，记为⊿ABC ≌ ⊿A1B1C1．□

定理 2.6.45  两个三角形如果两个角和这两个角所夹的边对应相等，那么这两个三角形可以重合（全等）．

证明  设有三角形ABC和三角形A1B1C1，并且∠A=∠A1，∠B=∠B1，AB=A1B1，求证⊿ABC和⊿A1B1C1全等．

证明过程如下：① 移动三角形ABC使点A重合于点A1，点B重合于点B1，此时AB重合于A1B1；② 让三角形ABC绕直线段AB旋转，由于点C1位于∠A1以A1B1为旋转轴的倍角锥锥面和∠B1以B1A1为旋转轴的倍角锥锥面的交线圆上【定义2.6.6，定理2.4.7】，点C位于∠A以AB为旋转轴的倍角锥锥面和∠B以BA为旋转轴的倍角锥锥面的交线上【定义 2.6.6，定理2.4.7】，又因为有∠A=∠A1，∠B=∠B1，因此旋转能使点C重合于点C1．此时AC重合于A1C1，BC重合于B1C1，那么三角形ABC移动可以和三角形A1B1C1重合，即三角形ABC全等于三角形A1B1C1．记为⊿ABC≌⊿A1B1C1．  □

定理 2.6.46  两个三角形如果三条边对应相等，那么这两个三角形可以重合（全等）．

证明  设三角形ABC和三角形A1B1C1，AB=A1B1，BC=B1C1，AC=A1C1，求证⊿ABC 和⊿A1B1C1全等．

证明过程如下：① 移动三角形ABC使点A重合于点A1，点B重合于点B1，此时AB重合于A1B1；② 让三角形ABC绕直线段AB旋转，由于点C1位于以点A1为球心以A1C1为半径的球和以点B1为球心以B1C1为半径的球的交圆上，又由于BC=B1C1，AC=A1C1，因此旋转能使点C重合于点C1，此时AC重合于A1C1，BC重合于B1C1，那么三角形ABC移动可以和三角形A1B1C1重合，即三角形ABC全等于三角形A1B1C1，记为⊿ABC≌⊿A1B1C1．□

定理 2.6.47  任意三角形的一个外角大于任何一个不和它相邻的内角．

证明  设任意⊿ABC，延长BC到D，取AC的中点E，连BE延长到F，使BE=EF，连CF（如图2.6-32）．由于三角形ABC是平面图形，点E在平面ABC上，那么点D和点F也在平面ABC上【定理2.6.11】，即整个图形是平面图形．

由于∠AEB+∠BEC=∠BEC+∠CEF等于平角，

则∠AEB=∠CEF，

又因BE=EF，AE=EC，有⊿AEB≌⊿CEF【定理2.6.44】，故有∠EAB=∠ECF．

又因E为AC的中点，F在∠ACD的内部，

故∠ACD＞∠ECF，即∠ACD＞∠BAC，

同理∠ACD＞∠ABC．  □

定理 2.6.48 两条直线被第三条直线所截，如果截得的同位角相等，那么这两条直线平行．

证明 设直线AB和直线CD被直线EF所截，截得的同位角∠EGB=∠GHD，（图2.6-33）．由于直线AB和直线CD在同一个平面上【定理2.6.40】，被直线EF所截，截得的图形也是一个平面图形．

假设直线AB和直线CD不平行，那么直线AB和直线CD一定会在直线EF的某一侧相交，不失一般性，假设直线AB和直线CD在直线EF的右侧相交于一点X．那么，就构成了三角形GHX，则有∠EGB＞∠GHD【定理2.6.47】，这显然和∠EGB=∠GHD的已知条件相矛盾，故假设不真，即直线AB和直线CD平行．  □

推论1 两条直线被第三条直线所截，如果截得的内错角相等，那么这两条直线平行．

推论2两条直线被第三条直线所截，如果截得的同旁内角的和等于平角，那么这两条直线平行．

定理 2.6.49 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同位角相等．

证明 设直线AB和直线CD平行，且被直线EF所截（图2.6-34）．由于直线AB和直线CD在同一个平面上【定理2.6.40】，被直线EF所截，截得的图形也是一个平面图形．

假设截得的同位角∠EGB≠∠GHD，在图形所在的平面内，过G点作直线PQ，使∠EGQ=∠GHD，即直线PQ平行于直线CD【定理2.6.48】．由于直线PQ和直线AB不重合，且整个图形仍在同一个平面之内．即在同一个平面内过点G有两条直线（PQ和AB）和直线CD平行，这是不可能的，因为在同一个平面内过直线外一点仅可以引一条直线平行于已知直线【定理2.6.39】．故原来的假设不真，即有同位角∠EGB= ∠GHD．  □

推论1如果两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的内错角相等．

推论2 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角的和等于平角．

§7 基础作图

我们已经定义了平面和平面图形．我们终于可以使用平面膜在平面上来绘制图形了．为了叙述方便，在定理和实际操作的实例中我们将平面膜直接称为平面．

在建立几何学新基础的过程中，我们反复地使用球、球心、球的对极点、球和球相交的交线、球和球相切的切点，圆的镜点、圆的对称轴这些概念．但是在我们使用这些概念时所关注的主要是这些元素的存在性，和根据这些元素所推导出来的新定理．一般很少具体地指出这些新元素的确切位置，并且也已经向读者承诺了，当我们定义了直线和平面之后，我们会很方便的确定这些元素的确切位置．下面我们先来兑现我们的承诺．来确定立体图形中某些元素的具体空间位置．

作图 1. 已知球心为O的球F 上的一点A，求出A点的对极点．

作法  连直线段AO，延长交球面于B点，那么B点就是A点的对极点．

证明  由于点B在直线AO上，那么B点为以点A和点O为基点旋转的不动点【定义 2.5.5，定义2.2.36】，即点B是点A的对极点．  □

说明：当没有给出球F 的球心时，应当先按作图7求出球心后，再确定对极点的具体位置．

作图 2. 球心为A1的1#球和球心为A2的2#球相切于K点，求出点K的具体位置．

作法 (1) 当两球外切时（图2.7-1），用直线段连接A1和A2两点，交1#球于一点K，点K即为所求的切点．

(2) 当两球内切时（图2.7-2），用直线段连接A1和A2两点并向小球球心一端延长延长，交1#球于一点K，点K即为所求的切点．

证明 因为1#球和2#球相切于K点，那么点K就是一点A1和点A2为基点旋转的不动点【定理2.4.18】，那么点K就在过点A1和点A2的直线上【定义2.5.5】．因为1#球和2#球相切于K点，那么点K就是1#球和2#球的公共点（切点）【定理2.5.4】，故点K就是所求的切点．  □

说明：当没有给出两个相切球球心时，应当先按作图7求出球心，然后再确定切点的具体位置．

作图 3. 已知球心为A的球面F 上有一个点K，做一个平面M 和球F 相切于K点．

作法 (1) 以点K为球心过点A作球F1，（图2.7-3）．

(2) 连直线AK交球F1于一点B．

(3) 以点A为球心过点B作球W1，以点B为球心过点A作球W2，球W1和球W2相交于圆k ．

(4) 在圆k 上任取一点P，连射线PK．

(5) 让射线PK以点A和点B为基点同向旋转一周，得到的平面M 即为所求．

证明 因为点B在直线AK上，也在球F1上，那么有AK=KB，切点B为以点A和点K为基点旋转的不动点【定义2.5.5】，那么点A和点B就是圆F1的一对对极点【定义2.2.36】．则，

① 球W1和球F1相切于B点，球W2和球F1相切于A点，且球W1等于球W2．

② 球W1和球W2的交线圆为k ，在圆k 上任取一点P,连射线KP．

③ 由于由球W1的劣球冠k(B)和由球W2的劣球冠k(A)组成的铁饼形图形可以上下翻转重合，

④ 那么就有∠AKP=∠BKP=直角，即平面M 与球F 相切于K点【定理2.6.32】．  □

说明：当没有给出该球球心时，应当先按作图7求出其球心，然后再确定相切平面的具体位置．

作图 4. 空间有不在同一直线上的三点A、B、C，划出过这三点的圆s 并划出圆s 的对称轴．

作法 (1) 以点A为球心以大于A、B、C任意两点的距离为半径作球A，以点B为球心作和球A相等的球B，以点C为球心作和球A相等的球C，球A、球B和球C相交于空间的两点D、E．

(2) 以点D和点E为基点，使点A同向旋转一周，所得到的轨迹就是经过A、B、C三点的圆s．

(3) 连接D、E的直线即是圆s 的对称轴（图2.7-4）．

证明 设球A、球B 和球C 的半径都是R，由于R 大于A、B、C三点中两点间的最大距离，那么三个球两两相交．设球A 和球B相交于圆l ，球B 和球C 相交于圆m，且圆l 和圆m 相交于点D和点E，那么点D和点E到点A、点B和点C的距离相等，且都等于R．那么，以点D和点E为基点将点A同向旋转一周所得的轨迹圆s 就过B、C两点，即圆s 上的任何一点到点D和点E的距离就都相等，那么直线D、E两点就在圆s 的对称轴上【定理2.6.24】，由于两点仅可以确定一条直线，即直线DE就是圆s 的对称轴． □

作图 5. 已知一个平面M 和平面M 外的一点D，求出点D对于平面M 的镜点．并从点D作平面M 的垂线．

作法 (1) 以点P为球心，以大于D点到平面M 的距离为半径作球交平面M 于圆s ．

(2) 在圆s 上任取三点A、B、C，那么点A、B、C不在同一条直线上【定理2.6.9】．

(3) 以点A为球心过点D作球A，以点B为球心过点D作球B，以点C为球心过点D作球C，球A、球B和球C相交于空间的另一点、E．

(4) 点E就是点D关于为平面M 的镜点．直线DE就过D点的平面M 的垂线，且垂足是直线段DE的中点，也是圆s 的圆心．

证明 请参阅定理2.6.24 的证明．  □

作图 6. 已知一个平面M 和平面M 上的一点P．经过点P作平面M 的垂线．

作法 (1)以点P为圆心，以任意长为半径在平面M作圆s ．

(2)在圆s 上任取三点A、B、C，那么点A、B、C不在同一条直线上【定理2.6.9】．

(3) 以点A为球心以大于A、B、C任意两点的距离为半径作球A，以点B为球心作和球A相等的球B，以点C为球心作和球A相等的球C，球A、球B和球C相交于空间的两点D、E．

(4) 连接D、E的直线即是过点P的平面M 的垂线，且点P为垂足．

证明 请参阅定理2.6.24 的证明和作图4的证明．  □

作图 7. 求出一个球G 的球心

作法  (1)在球面G 上找不在同一个平面上的4个点A、B、C、D．显然，其中任意3点不共线．

(2)选出A、B、C三点，按作图4的步骤，划出过A、B、C三点的圆k 和圆k 的对称轴EG．

(3)选出B、C、D三点，按作图4的步骤，划出过B、C、D三点的圆l 和圆l 的对称轴FG．

(4)直线EG和直线FG相交于G点，G点就是球G 的球心．

证明 A、B、C三点的确定的圆k 的对称轴为EG，那么直EG上任意一点到圆k 各点的距离都相等【定理2.6.24】．而B、C、D三点的确定的圆l 的对称轴为FG，那么直FG上任意一点到圆l 上各点的距离都相等【定理2.6.24】．直线EG在直线段BC的中垂面上，直线FG也在直线段BC的中垂面上，那么直线EG和直线FG在同一个平面上（图2.7-5）．又因为A、B、C、D 4点不共面，故在同一平面的直线EG和直线FG不平行，即一定相交于一点G．显然点G到点A、B、C、D的距离相等，那么，以点G为球心过点A的球一定经过A、B、C、D 4点．由于不共面的四点所确定的球是唯一的，那么点G就是球G 的球心【定理2.6.24】．  □

我们在空间建立了几何学的基础．但是建立了基础之后我们还需要将几何学（图形）的研究转变到平面图形上去．将空间图形的一些定理和结论转变成平面图形的定理和结论，就是由立体几何转变为平面几何，这一点是很重要的．由于我们要把空间图形的某些性质和结论转变成平面图形的性质何结论，那么这些平面图形就可以表示在同一个平面膜上（通常选用书本的纸面和显示器的屏幕作为平面膜）．

将讨论空间图形转变为直接讨论平面图形，并可以将其直接划在平面膜（纸面）上，我们心里就坦然多了．

除了在§3 假设、工具和公理中给出的工具的基本用途之外在平面膜上我们还可以进行如下基本作图．

作图 8. 作一条直线段等于已知直线段AB．

作法  (1) 在平面上用笔尖标注一点C．

(2) 以点C为顶点朝向需要的方向用直尺和笔尖划射线CD．

(3) 以点C为圆心，以直线段AB的长度为半径划弧，交射线CD于D点，直线段CD即为所求．

证明 由作法知，移动直线段AB可以使点A和点C重合，点B和点D重合，故有直线段AB和直线段CD可以重合，即CD=AB【直线段性质1】．

作图 9. 作一条直线段等于已知直线段AB的n倍（n为确切自然数）．

作法  (1) 在平面上用笔尖标注一点C．

(2) 以点C为顶点朝向需要的方向用直尺和笔尖划射线CD．

(3) 以点C为圆心，以直线段AB的长度为半径划弧，交射线CD于B1点．

(4) 以点B1为圆心，以直线段AB的长度为半径向射线外侧划弧，交射线CD于B2点．

(5) 序号递增地重复(4)，直到获得点Bn，直线段CBn即为所求（图2.7-6）．

证明 由作法知，移动直线段AB可以使点A和点C重合，点B和点B1重合，故有直线段AB和直线段CB1可以重合．即CB1=AB【直线段性质1】．同理有B1B2=AB，…… Bn-1Bn=AB，则有CBn=n AB．

作图 10. 在直线段AB所在的一个平面M 上作AB的中垂线，将直线段AB二等分（求出长度为AB一半的直线段）．

作法  在平面M 上

(1) 以点A为圆心，以直线段AB的长度为半径划弧l ；

(2) 以点B为圆心，以直线段AB的长度为半径划弧k ，交弧l 于E、F两点；

(3) 用直线连接点E和点F，交直线段AB于G，那么直线EF为平面M 上直线段AB的中垂线，直线段AG的长度和直线段GB的长度均为直线段AB长度的一半．（图2.7-7）．

证明 以点E为球心过点A作球E ，那么球E 经过B点，以点F为球心过点A作球F，那么球F 经过B点，由于球E 等于球F，设球E 和球F 相交于圆m，那么，(1) 圆m 是E、F两点的等球交线【定义2.2.40】，E、F是圆m 的一对镜点【定义2.6.19】．

(2) 直线段EF是圆m 的对称轴【定义2.6.18】，EF的中点G为圆m 的圆心【定理2.6.22】．

(3) AB经过G点垂直于EF，直线段AB是圆m 的直径．那么，直线EF是平面M 上AB的中垂线，又因半径等于直径的一半，那么AG=GB=

AB【定理2.6.22】．

作图 11.平面M 上有直线XY和直线外的一点C，过C点作直线XY的垂线．

作法  在平面M 上,

(1) 以点C为圆心作弧m 交直线XY于A、B两点．

(2) 以点A为圆心过C点划弧l ；

(3) 以点B为圆心过C点划弧k ，交弧l 于点F；

(4) 用直线段连接点C和点F，交直线段AB于G，那么CG（或CF）即为所求（图2.7-8）．

证明 以点A为球心过点C作球A ，那么球A 经过F点，以点B为球心过点C作球B，那么球B 经过F点，由于球A 等于球B，设球A 和球B 相交于圆s，那么直线段CF是圆s 的直径．直线段AB是圆s 的对称轴，点G为圆s 的圆心，那么AB经过圆心G垂直于直径CF，即有CG（CF）垂直于AB【定理2.6.22】，点G为垂足．

作图 12. 直线XY在平面M 上, 直线XY上有一点C，在平面M 上过C点作直线XY的垂线．

作法  在平面M 上,

(1) 以点C为圆心作圆m 交直线XY于A、B两点．

(2) 以点A为圆心以大于直线段AB长度一半的长度为半径划弧l ．

(3) 以点B为圆心划和弧l 半径相等的弧k ，交弧l 于E、F两点．

(4) 用直线段连接点E和点C，那么EC（或EF）即为所求（图2.7-9）．

证明 以点A为球心过点E作球A ，那么球A 经过F点，以点B为球心过点E作球B，那么球B 经过F点，由于球A 等于球B，设球A 和球B 相交于圆s，那么直线段EF是圆s 的直径．直线段AB是圆s 的对称轴，点C为圆s 的圆心，那么AB经过圆心C垂直于直径EF，即有EC（EF）垂直于AB【定理2.6.22】，点C为垂足．

作图 13. 找出平面M 上圆k 的中心（圆心）．

作法  (1) 在圆k 上任取三点A、B、C．

(2) 在平面M 上作直线段AB的中垂线l 和直线段BC的中垂线m， 直线l 和直线m 的交点O即为所求．

证明  因为点O在平面M 上，并在直线段AB的中垂线l 上，那么OA=OB，又因为O点在直线段BC的中垂线m上，那么OB=OC，故有平面M 上的O点到平面M 上A、B、C三点的距离相等，那么在平面M 上，以点O为圆心经过A点的圆一定经过B、C两点．又因为经过不在一条直线上的三点仅可以确定一个圆【定理2.6.7】，且圆的圆心是空间中唯一的一个点【定理2.6.22】，即点O为圆k 的圆心．

作图 14. 平面M 上的圆k 的圆心为O，圆k 上有一点A，找出点A的对径点B．

作法  连接直线段AO，延长交圆k 于B点，那么点B就是点A的对径点．

证明  由于点B 在直线AO上，那么直线段AB就是圆k 的直径，故点A和点B是圆k 的一组对径点【定理2.6.22】．  □

作图 15. 平面M 上的圆k 上有一点A，在平面M 上作一直线切圆k于点A．

作法  设圆k 的圆心为O（如果圆心未知，则需按作图13 先求出圆k 的圆心）．

(1) 用直线段连接点A和点O．

(2) 在平面M 上,过点A作直线EF垂直于AO，直线EF即为所求．

证明  用直线段连接AO，延长AO交圆k 于B点，那么点A的和点B是圆k 的一组对径点．以点A和点B为基点将圆k 的半圆弧AB和射线AF同向旋转一周，那么圆k 的轨迹是一个以圆k 为大圆的球F【定理2.4.24】，因为∠OAF是直角，并在旋转过程始终保持是直角，那么，直线AF的轨迹就是一个平面L【定理2.6.22】，且半径OA垂直于平面L 上经过A点的所有直线【定义 2.6.15】，那么半径OA垂直于平面M，且平面L 和球F 相切于A点【定理 2.6.32】．因为平面L 和球F仅有一个公共点A，因此直线EF和圆k 仅有一个公共点A，即相切于点A．

作图 16. 平面M 上的圆k 上有一点A，在平面M 上作一个半径为R的圆切圆k 于A点．

作法  设圆k 的圆心为O（如果圆心未知，则需按作图13先求出圆k 的圆心）

(1) 用直线连接点A和点O．

(2) 在平面M 上，以A点为圆心 以半径R 作圆交直线OA上P、Q两点,且点P在A点没有圆k 的一侧，点Q在有圆k 的一侧．

(3) 在平面M 上，以点P为圆心过点A作圆p 和圆k 外切于A，以点Q为圆心过点A作圆q 和圆k 内切于A．即为所求．

证明  这让圆k 、圆p 和圆q 绕直线OA同向旋转一周，圆k 的轨迹为球K，圆p 的轨迹是球P，圆q 的轨迹是球Q．那么球P 和球K 外切于点A，那么球Q 和球K 内切于点A，即仅有一个公共点A【定理2.4.17】，那么圆p 和圆k 外切于点A，圆q 和圆k 内切于点A（都仅有一个公共点）．又因为圆p 和圆q 的半径都是R，故圆p 和圆q 的满足要求．□

作图 17. 作一个角等于已知角

．

作法 (1) 在平面上用笔尖标注一点C．

(2) 以点C为顶点向需要的方向用直尺和笔尖划射线CD．

(3) 以点C为圆心，以任意长度为半径划弧l ，交射线CD于D点．

(4) 以角

的顶点O为圆心，划和弧l 半径相等的圆弧分别交角的两边于E、F两点．

(5) 用圆规测量E、F两点间的距离，保持圆规两脚张开程度不变，移动圆规，以点D为圆心划弧k 交弧l 于一点G．

(6) 用直线段连接CG，∠DCG=∠

，即为所求（图2.7-10）．

证明 由作法知，移动∠DCG使点C于∠

的顶点O重合，使∠DCG上的弧l 和∠

上的弧l 重合，在平面上转动∠DCG可以使∠DCG边上的D、G两点和∠

边上的E、F两点重合，此时∠DCG和∠

重合．故∠DCG=∠

．也可以连直线段DG和EF．由作法知CG=OE，CD=OF， GD=EF，那么⊿CDG≌⊿OFE【定理2.6.46】，故有∠DCG=∠

．

作图 18. 作一个角等于已知角

的n倍（n为确切自然数）．

作法  (1) 在平面上用笔尖标注一点C．

(2) 以点C为顶点向需要的方向用直尺和笔尖划射线CD．

(3) 以点C为圆心，以任意长度为半径划弧l ，交射线CD于D点．

(4) 以角

的顶点O为圆心，划和弧l 半径相等的圆弧分别交角的两边于E、F两点．

(5) 用圆规测量E、F两点间的距离，保持圆规两脚张开程度不变，移动圆规，以点D为圆心划弧交弧l 于一点G1．

(6) 保持圆规两脚张开程度不变，移动圆规，以点G1为圆心向前划弧交弧l 于一点G2．

k

(7)重复过程(6)直到得到点Gn（根据定义∠DCGn应小于平角）．

(8) 用直线段连接CGn，∠DCGn= n∠

，即为所求（图2.7-11）．

证明 由作图17的证明知，在圆弧l 上每用圆规在圆弧l 截一次对应的角都等于

，由于一共截了n次，因此∠DCGn等于∠

的n倍．  □

作图 19. 将∠AOB二等分．

作法  (1) 以∠AOB的顶点O为圆心，以任意定长为半径划弧k 分别交角的两边于E、F两点．

(2) 保持圆规两脚张开程度不变，分别以点E和点F为圆心划弧k 交于一点G．

(3) 用直线连接O、G两点，则

∠EOG =∠GOF =

∠AOB，即为所求（图2.7-12）．

证明 用直线段连接E、G两点和G、F两点．由作法知，OE=OF，EG=FG，OG=OG，那么⊿OEG≌⊿OFG【定理2.6.46】，就有∠EOG =∠GOF =

∠AOB． □

作图 20. 过直线AB外一点C作直线CD平行于直线AB．

作法  (1) 过点C引直线AB的垂线CE交直线AB于E．

(2) 过点C引直线CE的垂线CD，即为所求．

证明 （略）．

作图 21 n 等分直线段AB（n为确切自然数）．

作法  在直线段AB所在的平面M 上．

(1) 从点A引一条射线AC和直线段AB成锐角．

(2) 从点A开始，在射线AC上依次截取等长为d的线段n段，所得的截点依次是C1，C2，…，Cn．

(3) 用直线段连接点B和点Cn．

(4) 分别过点C1，C2，…，Cn-1作BCn的平行线，依次交AB于点B1，B2，…，Bn-1，那么，AB1=B1B2=…=Bn-1B=AB/n．所得的各段直线段均为所求（图2.7-13）．

证明 由作法可知，AC1=C1C2=…=Cn-1Cn．在平面M 上，过点C1作直线段平行于AB交C2B于D1，且有C1B1平行于C2B2，即，

∠C1AB1=∠C2C1D1,

∠AC1B1=∠C1C2D1【定理2.6.49】,又因为AC1=C1C2，那么，⊿AC1B1≌⊿C2C1D1【定理2.6.45】，故AB1= C1D1（图2.7-13）．

连C1、B2．那么,∠D1C1B2=∠C1B2B1，∠C1B2D1=∠B2C1B1【定理2.6.49】，又因C1B2= C1B2，故⊿C1B2D1≌⊿B2C1B1，就有，AB1=C1D1=B1B2．

同理可证，AB1=B1B2= … = Bn-1Bn．

§8 希尔伯特公理的命运

几何学是研究空间性质的科学．我们能够研究空间性质的前提条件就是空间具有可以脱离人的意识而客观存在的性质，如果空间不是具有某种性质的客观实在，那么我们就不能依据刚性物体构成的空间图形建立一套可以接受刚性物体检验的几何学．我们所建立的几何学的基础和先人建立的几何学的基础完全不同．既不同于古希腊的先哲欧几里得(Euclid)也不同于近代学者希尔伯特(Hilbert)．过去的学者都是从平面几何过渡到立体几何，我们则是从立体几何过渡到平面几何．由于是从研究宇宙中（空间中）最完美的几何形体——球开始讨论，使我们能逐步地给出各个基本概念相对严格的定义或比较完善的解释．使我们能够在引进很少几条公理的条件下，建立起严密的逻辑体系．必须着重指出的是，在我们建立的几何体系中，并没有引进两千多年来一直让我们头痛的“平行公理”，而是将“欧几里得的第五公设”转变成了一个定理．既然欧几里得的平行公理变成了定理，那么罗巴切夫斯基几何的平行公理和黎曼几何的平行公理就都变成了谬误．这样我们就把现在数学界公认的三种几何学，划归成了一种几何学，即欧几里得(Euclid)几何学．而把其它两种几何学变成了一种与空间并没有多大关系的逻辑自洽系统．

首先，必须承认，空间是可以脱离人类的意识而客观存在的，它具有可以被我们认知（当然是通过物质来认知的）的客观属性．若非如此我们就既没有研究空间的必要，也没有建立一套几何学可能．另外，面对空旷而飘渺的空间，如何确立我们研究的对象，如何给出研究对象的特点和性质是一件和困难的事．为了使研究工作能够顺利地进行下去，我们给出了空间公理．

空间公理 1. 几何空间是3维的、连续的、无限的和各向同性的．

空间公理 2. 空间中有无限多个位置．任何一个区域都至少有一个位置．

为了确定最基础的研究对象，我们将空间的最小部分定义为“位置”．然而位置是空间的一部分，它是我们无法直接认知的．我们能认知的是空间中的物质，空间只有通过在其中存在的物质才能被认知．为此我们设置了置点公理，规定任何一个位置均可以用假想的物体标为一个几何点．因为用来标示位置的物体不可能没有部分，我们称之为由“假想物体”标出的“理想点”，也就是说我们建立的几何学是建立在这种“理想点”的基础之上的．为此我们也称这种几何学为理想几何学．

置点公理  任何一个位置均可以用假想的物体标为一个几何点【定义2.2.3】（简称为点）．几何点具有下列特征:

(1) 点的位置信息可认知

(2) 点不能再分割的．

(3) 点不能排它性地占据空间．

空间的某些位置放置了点，如果点不改变它存在的位置，我们也难以讨论空间的性质．因为我们只有通过物质的运动才可以更好地认识空间．因此我们需要让点能改变其在空间的位置（运动），并通过运动轨迹产生（形成）各种图形——“线”、“面”乃至“体”．为此我们引进了运动公理．

运动公理 1. 空间不能运动（即空间位置不能运动），能在空间运动的是物质，能在几何空间运动的是点或由点运动形成的图形．

(1) 运动中图形的形状不变，可以得到运动的轨迹．

(2) 运动中可以有位置不变，且图形上任何一点和它的距离也不变的基点．

(3) 图形可以移动，可以绕一个基点转动，也可以绕两个基点旋转．但不能以不在同一直线的三点为基点运动．

运动公理 2. 在一个封闭腔Q 内有个位置A，腔壁上有一个位置B，可以使P点从位置A运动至位置B，划出一条端点为A、B的单线，并可使该单线AB和封闭腔Q 没有B点之外的交点．

现在我们有了“点”和点的运动轨迹，但如果这些图形都是形状无法确定的，对于我们讨论空间性质就没有多大作用．为此，我们给出了图形公理

图形公理 1（图形连续公理）. 几何图形是连续的．连续的n维图形被（n-1）维图形分离出来的n维子图形也是连续的．

图形公理 2（图形完整性公理） 几何图形是完整的．任何一个图形都至少有一个点，最简单图形是完整的，由完整图形组成的图形也是完整的．

图形公理 3（刚性图形公理）  两脚张开程度固定了的圆规、直尺和膜平面是刚性的，如果不特殊声明，我们讨论的图形也都是刚性图形．

为了研究空间的性质我们必须先定义两点的位置关系，并找到一个严格地定义了形状的图形．由于没有“直线”这一概念可用，我们不能用直线段的长度来定义两点间的距离．但当我们明确了空间是均匀的，图形是刚性的，并定义了点和图形的合同（重合）【定义2.2.6】之后，我们就可以通过检验，移动图形能否使图形F 上的A、B两点和图形G 上的C、D两点分别重合，来讨论A、B两点间的距离和C、D两点间的距离是否相等．为此我们引进了合同公理．

合同公理 1. 图形M上有A、B两点，图形N上有C、D两点，调整圆规开启程度使圆规的针尖和笔尖分别和A、B两点重合，保持圆规开启程度不变，移动圆规使针尖和点C重合，转动圆规如果笔尖能和D点重合，则A、B两点间的距离和C、D两点间的距离相等．

合同公理 2. 如果A、B两点间的距离和C、D两点间的距离相等，那么移动图形可以使点A、点B分别和点C、点D重合（合同），否则不能分别重合．

合同公理 3. 如果图形F 能和图形和L 重合，图形L 能和图形和W 重合，那么图形F 一定能和图形和W 重合．

合同公理 4. 可以重合的两个图形F 和L 任何对应的部分都能重合，就是除了占据的空间位置可能不同之外，其它任何属性都相等．

有了上述这些公理之后，通过移动重合定义了此两点间的距离和彼两点间的距离相等，最终我们成功的定义了两个规则图形——“球”和“圆”．严格定义的球仅给出了“球心”这一个点的位置信息和球面上的点到球心距离相等，而圆就则连“圆心”的信息都没有给出，仅知道它是一点绕两个基点同向旋转一周的轨迹．幸运的是圆是一个平面图形，如果我们再定义了“直线”的话，就可以达到我们的目的了．这时我们发现了相切球的切点，这个可以确切定义的“点”，并且发现满足特定条件的一组球的切点可以构成一条连通的单线（不动点线），这条线既具有沿自身移动，翻转和自旋不变性，又可以向两端无限延长，完全符合我们所寻找的“直线”的特征．依据此点我们成功地定义了“直线”，并将其和圆结合在一起定义了“平面”．美中不足的是两球相切两球面的交角太小，切点的质量太差（尤其两个内切球就更是如此），因此在实际上我们很难真不借助直线仅依据两球相切直接确定切点（就更甭说确定一条由切点构成的线啦）．值得庆幸的是，在我们定义“直线”的过程中仅需要证明两球相切切点的唯一性，并不需要具体的指出切点的位置．定义了直线之后，我们知道两球的切点在连心线上（两圆的切点也在连心线上），我们就可以借助直线高质量地标出切点了．

现在我们来梳理一下希尔伯特(Hilbert)所给出的几何公理[27]，在我们所建立的几何体系中，究竟还有哪些尚作为公理保留着，哪些已经转换成了定理．

关联公理

Ⅰ1 对于两点A和B，恒有一直线a，它同A和B这两点的每一点相关联．

已经转换成了定理2.5.5和直线性质1“过空间不重合的两点可以确定一条直线”．

Ⅰ2 对于两点A和B，恒有一直线a，它同A和B这两点的每一点相关联．

已经转换成了定理2.5.5和直线性质2“过空间不重合的两点仅可以确定一条直线”．

Ⅰ3 一直线上恒至少有两点，至少有三点不在同一直线上．

保留在空间公理2中，但表述形式改变为“空间中有无限多个位置．任何一个区域都至少有一个位置”．

Ⅰ4 对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，恒有一平面

，它同A，B和C这三点的每一点相关联．对于任一平面，恒有一点同这平面相关联．

已经转换成了定理2.6.7“过不在一条直线上的三点可以确定一个圆，进而可以确定一个平面”和定义2.6.9 “任何一个平面都有一个基础圆”，那么平面上至少有一点．

Ⅰ5 对于不在同一直线上的三点A，B和C，至多有一平面

，它同A，B和C这三点的每一点相关联．

已经转换成了定理 2.6.8“空间不在同一直线上的三个点仅可以确定唯一的一个平面”．

Ⅰ6 若一个直线

的两点A和B在一平面

上，则

的每一点都在平面上

上．

已经转换成了定理 2.6.11“如果直线k 的两个点A、B在平面M 上，那么直线k 的所有点都在平面M 上”．

Ⅰ7 若两平面

和

有一个公共点A，则它们至少还有一个公共点B．

已经转换成了定理2.6.21“如果两个有公共点的平面不重合，它们的公共点是一条直线”．

Ⅰ8 至少有四个点不在一个平面上．

该结论隐含于空间公理2和置点公理之中．

顺序公理

Ⅱ1 若一点B在一点A和一点C之间，则A，B和C是一直线的不同的三点，这时B也在C和A之间（图略）．

这就是一个定义问题，已经转换成了定义2.5.7“直线上依次有A、B、C三点，我们说点B位于A、C两点之间，也说点B位于C、A两点之间”．

Ⅱ2 对于两点A和C，直线AC上恒至少有一点B，使得C在A和B之间．

该结论隐含于空间公理2和置点公理之中．

Ⅱ3 一直线的任意三点中，至多有一点在其它两点之间（图略）．

这就是一个定义问题，等同于定义2.5.7．

Ⅱ4 设A,B和C是不在同一直线上的三点：设

是平面ABC的一直线，但不通过A,B,C这三点中的任一点（图略），若直线

通过线段AB的一点，则它必定也通过线段AC的一点，或线段BC的一点．

已经转换成了定理 2.6.20 “平面M 上的三角形ABC将平面分为内部和外部，如果平面M 上的直线l 有位于三角形ABC内部的点，那么直线l 一定和三角形ABC的两条边每边有一个交点”．

合同公理

Ⅲ1 设A和B是一直线

上的两点，A′是这直线或另一直线

′上的一点，而且给定了直线

′上A′的这一侧，恒有一点B′，使得线段AB和线段A′B′合同或相等；用记号表示，即AB≡A′B′．

已经转换成了定理 2.5.12“在不动点线l 上的一点K的左侧可以截得一段不动点线段PK能和已知不动点线段AB重合，在一点K的右侧可以截得一段不动点线段KQ能和已知不动点线段AB重合”．

Ⅲ2 若两条线段A′B′和A″B″都和另一线段AB合同，则这两线段A′B′和A″B″也合同；简言之，若两条线段都和第三线段合同，则它们彼此也将合同．

该结论包括在合同公理3中．

Ⅲ3 设和直线或另一直线两线段AB和BC在同一直线

上，无公共点，而且两线段A′B′和B′C′在这直线或另一直线

′上亦无公共点（图略）．若 AB≡A′B′，而且 BC≡B′C  则 AC≡A′C′．

已经转换成了直线段性质8“直线段AB上有一点C，那么A、C两点间距离和C、B两点间距离的和等于A、B两点间的距离”．

Ⅲ4 设给定了一平面

上的一个角∠(

)，一平面

′上的一直线

,和在

′上

的一侧．设

′是

上的，从一点O′起始的一条射线， 则平面

′上恰有一条射线

′，使∠(

)与∠(

′,

′)合同或相等，而且使∠(

′,

′)的内部在

这给定的一侧；用记号表示，即∠(

)≡∠(

′,

′)．

每一个角和它自己合同，即 ∠(

)≡∠(

)．

我想没有哪一个人喜欢这个叙述繁杂的公理，该公理已经被刚性图形公理“两脚张开程度固定了的圆规、直尺和平面膜是刚性的，如果不特殊声明，我们讨论的图形也都是刚性图形”所覆盖．

Ⅲ5 若两个三角形ABC和A′B′C′有下列合同式

AB≡A′B′，AC≡A′BC′，∠BAC≡∠B′A′C′．

则也恒有合同式∠ABC≡∠A′B′C′．

已经转换成了定理 2.6.44“两个三角形如果两条边和这两条边所夹的角对应相等，那么这两个三角形可以重合（全等）”．

平行公理

Ⅳ（欧几里得公理）设

是任意一直线，A是

外的任意一点，在

和A所决定的平面上，至多有一条直线通过A,而且不和

相交．

已经转换成了平行定理（定理 2.6.39）“平面上过直线外一点可以作一条直线和已知直线平行，并且只可以作一条”．

Ⅴ1（度量公理或阿基米德公理）若AB和CD是任意两线段，则必存在一个数n使得沿A到B的射线上，自A作首尾相接的n个线段CD，必将超越B点．

已经转换成了阿基米德定理（定理 2.5.19）“若AB和CD是任意两条直线段，则必有一个确切自然数n存在，使得自A点开始在直线段AB上作首尾相接的n个直线段CD，其外端点必将超越B点（最终落点在直线段AB之外）．”．

Ⅴ2（直线完备公理）一直线上的点集连同其顺序关系与合同关系不可能再这样地扩充，使得这直线上原来元素之间具有的关系，从公理Ⅰ～Ⅲ所推出的直线顺序与合同的基本性质以及公理 Ⅴ1都仍旧保持．

我们没有给出此种承诺．

本书继承了欧几里得(Euclid)关于“点”的定义，并将点的运动轨迹定义为“线”，线的非沿线运动轨迹定义为“面”，面的非沿面运动轨迹定义为“体”．对于规则几何形体，我们首先引进的不是直线和平面，而首先引进的是“球（球面）”和“圆”，并依据点的运动特点以及球与球之间的相互关系，成功地定义了“直线”和“平面”，并依据直线和平面的定义成功地将欧几里得(Euclid)的“第5公设”以及希尔伯特(Hilbert)提出公理的绝大部分都变成了定理．当然这些定理都是和欧几里得提出的“第5公设”协调一致的．可能有的读者会说，直接将他们说成是“欧几里得几何中的定理”不是更简洁吗？对不起，我们不能再称我们给出的定理是欧几里得几何中的定理．这是因为在我们定义了“点”、“直线”和“平面”之后，欧几里得(Euclid)提出的“第5公设”已经不是“公理”或“公设”，它已经变成了一个被严格证明了的定理了．任何否定该定理的判断就都是站不住脚的了．也就是说，我们已经将一切“非欧几何”排除于几何学，乃至数学的范围之外了．使它们变成了供其它学科（如物理学）使用的逻辑系统．

本几何系统并不是从对平面和平面图形的认知过渡推广到空间和空间图形上去，恰恰相反，我们是先讨论空间中最基本图形“球（球面）”和“圆”的性质，进而再定义“直线”、“平面”这些概念，进而再讨论平面和平面图形的性质．也就是我们并不是像我们的先人那样先建立平面几何，再建立立体几何；而是先建立立体几何再回过头来建立平面几何．有的读者会说，你建立的立体几何并不完善，而平面几何也仅仅给出了零散的几个命题而已．这些读者的看法显然是对的，本书建立的立体几何真的很不完善，如异面直线的垂线，三垂线定理，锥体，球体（球缺、球台）等都没有论及．本书对于平面几何也仅给出了和“平行定理”有关的几个最基本的定理，其余也没有论及．

应当指出，本书的目的就是要夯实几何学的基础，使这门可以随意解释其最基本概念内涵的学科，建立在严格定义了的各基本概念的基础之上．现在这个目的已经达到了，可以就此结束讨论了．至于立体几何和平面几何的其它命题，我们的先哲欧几里得(Euclid)和后世的众多学者都有详尽的论著，“前人之述备矣”本人就不再画蛇添足了．

顺便说一下，由于是先给出了立体几何的命题，再通过立体图形被平面所截来证明平面几何的定理，即是从对全局的认知着眼来讨论局部的性质，往往会使推理的过程更加简洁，正像在射影几何中可以很方便地证明复杂的平面几何的定理（如帕斯卡定理和笛沙格定理）[28] 那样．

参考文献

[1]兰纪正、朱恩宽译 欧几里得著《几何原本》§1卷，陕西科学技术出版社2003

[2] 朱梧檟著《数学与无穷观的逻辑基础》§1.3 大连理工大学出版社2008．

[3] 徐利治著《数学方法论选讲》（第三版）第四讲 华中理工大学出版社，2000．

[4] 希尔伯特著《希尔伯特几何基础》 序言 北京大学出版社 2009，．

[5] 朱梧檟著《数学与无穷观的逻辑基础》§1.6 大连理工大学出版社2008．

[6] R·柯朗(RichardCourant)和 H·罗宾(HerbertRoobbins)著的《什么是数学》第4章 §9节 复旦大学出版社 2012．

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[8] 希尔伯特著《希尔伯特几何基础》 第一章 北京大学出版社 2009，．

[9] 朱梧檟著《数学与无穷观的逻辑基础》§1.4 大连理工大学出版社2008．

[10] 爱因斯坦(Einstein)著《狭义与广义相对论浅说》附录Ⅰ 北京大学出版社2006．

[11] 爱因斯坦(Einstein)著 《狭义与广义相对论浅说》 第2部分 §24北京大学出版社2006．

[12]（英）史蒂芬·霍金著《时间简史》 第二章  湖南科学技术出版社 1996．

[13]因特网百度百科“公理”词条．

[14]因特网百度百科“公理”词条,一位署名为“白色香雪兰”的网友的解释．

[15]朱梧檟著《数学与无穷观的逻辑基础》§1.5大连理工大学出版社2008．

[16]徐利治著《数学方法论选讲》（第三版）§4.4  华中理工大学出版社 2000．

[17]兰纪正、朱恩宽译 欧几里得著《几何原本》第一卷 陕西科学技术出版社2003．

[18]《无尽的探索》第17章,是谁埋葬了逻辑实证主义．

[19]（英）史蒂芬·霍金著《时间简史》 第一章  湖南科学技术出版社 1996．

[20] 爱因斯坦(Einstein)著《狭义与广义相对论浅说》第2部分 §1 北京大学出版社2006．

[21] 希尔伯特著《希尔伯特几何基础》 德文第七版的俄译本序言 北京大学出版社 2009，．

[22]R·柯朗(RichardCourant)和 H·罗宾(HerbertRoobbins)著的《什么是数学》第4章 §9节 复旦大学出版社 2012．

[23] 周民强编著《实变函数论》（第2版）§1.5 北京大学出版社 2011

[24] 黄润生编著《混沌及其应用》§6.3 武汉大学出版社 2000

[25]兰纪正、朱恩宽译 欧几里得著《几何原本》§1卷，陕西科学技术出版社2003

[26] 周民强编著《实变函数论》（第2版）§2.1 北京大学出版社 2011

[27]希尔伯特著《希尔伯特几何基础》 第一章 北京大学出版社 2009，．

[27]R·柯朗(RichardCourant)和 H·罗宾(HerbertRoobbins)著的《什么是数学》第4章 §5节 复旦大学出版社 2012．

本文作者   潘永城  邮箱[e-mail]

潘昊楠