作者/大栗博司
美国加州理工学院理论物理讲席教授，理论物理研究所（burkeinstitute.caltech.edu）所长，日本东京大学Kavli数学物理学联合宇宙研究机构（Kavli IPMU）研究主任。东京大学理学博士，发现了量子场论与超弦理论的深层数学构造，其研究曾获得美国数学学会大奖（2008年）、德国洪堡研究奖（2009年）、日本仁科纪念奖(2009年)、日本数学学会詹姆斯·西蒙斯奖（2012年），《超弦理论：探究时间、空间及宇宙的本原》获得2014年日本第30届日本讲谈社科学出版奖。著有前沿物理科普三部曲《引力是什么》《强力与弱力》《超弦理论》，数学入门科普《用数学的语言看世界》等。
关于科学发现的奇闻趣事当中，有很多真伪不明的传说。如伽利略仰望教堂的吊灯后发现“摆的等时性”，牛顿观察苹果从树上掉落后想到万有引力定律等。关于引力还有一个有名的轶事，那就是伽利略的“比萨斜塔实验”。在实验中，伽利略从塔上同时放下大小相同的铁球和木球，与大多数人预想的“重的铁球会先落地”的结果相反，两球以相同的速度落下。据权威考证称，这个实验其实未曾出现过。
但是，其实验结果是准确无误的。1971年，阿波罗15号的指令长大卫·斯科特（David Scott）在月球表面向我们展示了同样的实验。在没有空气阻力的月球表面同时释放铁锤和羽毛，它们以完全相同的速度落下。
这可以说是与我们直觉相反的现象吧。亚里士多德也认为，越是含土元素多的（也就是重的）物质，下落的速度越快。在伽利略的时代到来之前，任何人都坚信这一点。像鸟的羽毛和纸片那样轻的物体受到空气阻力的影响较大，这也干扰了人们对于这方面的理解。
不过，考虑到引力的性质，重的物体和轻的物体同时落地的现象依然令人不可思议。虽然桌子上的铅笔和橡皮并没有黏在一起，但是如果将地球上的所有物体都看成是黏在一起的话就会发现，质量越大引力的作用就越强。因此，物体越重，受到“被地球吸引的力”越强。如果在同一高度同时释放苹果和西瓜，由于质量更大的西瓜被地球强有力地吸引着，所以会认为它将先到达地面。
然而实际上并非如此。在没有空气阻力的环境中，物体的下落速度是一样的，与质量并不相关。这是为什么呢？
我们容易忽视“物体越重，使它动起来就越难”的事实。本来质量就仅仅表示使物体“动起来的难易程度”。只要想象一下拉拽翻斗车和两轮拖车的情况，就能明白质量越大动起来越难的道理。
拉拽地面上的物体时，因为物体越重需要克服的摩擦力越大，所以使其动起来就越难。不过即使没有摩擦力，也存在使物体动起来的难易程度差异。例如在失重的宇宙飞船中，假设体重为200公斤的相扑手和20公斤的孩子互相冲撞。因为双方都轻飘飘地浮着，所以完全没有摩擦力。由于作用力与反作用力相等，因此他们彼此受到的力是大小相同的。
但是，他们远离互撞地点时的速度是不同的。体重轻的孩子会飞得更远。如果你不同意这一观点，请尝试思考一下相扑手用手指把小跳蚤弹飞的情景（图5-1）。相扑手和跳蚤不会以相同的速度飞出去，因为质量大的相扑手“动起来更难”。另外，这一现象与引力、摩擦力完全没有关系。
图5-1：在失重状态下，如果相扑手与跳蚤互撞，谁将被弹飞？
那么，我们再思考一下苹果和西瓜下落的现象。地球用引力这条无形的绳索拴着二者，仿佛在互相拉拽。与刚才的例子中相扑手比孩子和跳蚤更难动起来一样，重的西瓜也要比轻的苹果更难动起来吧？如果是的话，那么似乎要与我们“重的物体先落下”的直觉相反，轻的苹果会先落下。
但是另一方面，地球吸引西瓜的力更强。所以“难动起来”的物体受到的引力更强。也就是说，质量大的物体具有“难动起来”和“被引力强烈吸引”的两个性质，之所以苹果和西瓜同时落下，我们只能认为是因为这两个性质正好互相抵消。因此，尽管质量越大的物体受到的引力越强，但引力对运动的影响与质量无关。
读到这里，会有很多人想起在学校时学的“质量和重量的区别”吧？在学校的课堂上，老师告诉我们，质量表示改变物体运动状态的难易程度，而重量表示引力的强度，要区别对待这两个概念。其实，我们可以认为它们没有任何关系，不论哪个量大，苹果或西瓜中的哪一个先落地都不足为奇。
不过现实是它们正好互相抵消，因此同时落地。关于这一点，通过精密的实验我们已经发现，目前在100亿分之一的精度下“质量”和“重量”是一致的。也就是说，“质量”和“重量”实质上是一样的，没有必要将它们区别开来考虑。
那么，为什么“动起来的难易程度”与“引力的强度”正好互相抵消彼此的效果呢？关于这个问题，牛顿理论也无法解释清楚。牛顿回答说“自然就是这样”，他给出的答案不是“WHY”，只是“HOW”而已。后来阿尔伯特·爱因斯坦对“WHY”做出了解答。
《引力是什么：支配宇宙万物的神秘之力》以新颖有趣的形式讲解了从牛顿、爱因斯坦到前沿物理的研究内容，用全新的方式解读相对论、量子理论、超弦理论。真正让你理解引力、引力波、E=mc2、黑洞等概念的含义与意义，也能让你体验到追寻宇宙深层谜题的冒险快感。
作者/James D. Stein
耶鲁大学学士，加利福尼亚大学伯克利分校博士，现为加利福尼亚州立大学长滩校区的数学教授。著有：《数学如何解释世界》（How Math Explains the World）、《正确的决策》（The Right Decision）以及《数学如何帮助你的生活》（How Math Can Save Your Life）等。
小时候，我经常在礼拜日的下午做一些如今人们所说的智能培养。我们家在郊区，但父母擅于利用纽约丰富的博物馆资源。每到礼拜日，我们就会乘上火车，前往纽约、纽黑文和哈特福德，在施拉夫特餐馆吃完午餐后，便一头扎向博物馆。去大都会美术馆的时候，我总是觉得苦不堪言（除了看到骑士盔甲的时候，因为我没想到15世纪的骑士竟然那么矮小），但还是要忍受，因为我知道下一次父母就会带我去美国自然历史博物馆，如果运气非常好的话，也许会带我去海顿天文馆。即使现在的互联网丰富多彩，也很难想象亲临天文馆时为孩子带来的奇妙感觉。
我在海顿天文馆的每分每秒都乐在其中。参观的结尾是观看蔡司天象仪的投影表演，其精彩程度完胜我看过的所有电影场景。另一大乐趣便是，穿行在天文馆的太阳系分馆内。参观者可以称量自己在火星上的体重，也能够了解到冥王星（对我来说，冥王星永远都是一颗行星）上的气温。对我来说，最大的困惑就是，他们怎么知道的？
我当时知道人类并没有登上冥王星，连火星也没有登上。那么对于一块未曾涉足的土地，怎么能够测量它的温度呢？就算人类能够登上火星或冥王星，登上太阳表面总不可能吧，他们又怎么知道太阳表面的温度为5500摄氏度呢？而蓝巨星的表面温度更高，可以达到50 000摄氏度。不过，相比于日冕的1 000 000摄氏度以及太阳核心的25 000 000摄氏度，以上就是小巫见大巫了。可他们是怎么知道的呢？一根能够测量25 000 000摄氏度高温的温度计是什么样的呢？
还有一个问题我更加琢磨不透：25 000 000摄氏度的高温高出纽约郊区的温度十万八千里，而冥王星（一朝为行星，终生为行星）表面温度大约为零下200摄氏度，则似乎与地球相差得并不太离谱。为什么温度高起来没个头，而低起来则似乎比零下200摄氏度低不了多少呢？
是否存在一个低温的极限，这一问题最早在17世纪就提了出来。当时人们对于冷和热各有一套相类似的理论。热的方面就是燃素说，它将可燃性看做含有一种叫做燃素的物质；当一种物质燃烧的时候，空气会吸收燃素，燃烧后的灰烬便成为“去燃素”的物质。类似地，冷也是从一种物质转移到另一种物质。冰冻理论认为世界上存在一种终极冰冻体，它即是寒冷的终极提供者，其他所有物体均从终极冰冻体上获取寒冷。
英国物理学家罗伯特·玻义耳是历史上第一批利用科学实验手段探索冷的本质的科学家之一。当时正值小冰期，欧洲陷入了持续数百年的寒冷气候当中，而在玻义耳开展此项研究时，寒冷气候正达到其最低气温的时候。这恐怕不只是巧合而已。玻义耳称量了一桶水的重量，然后把水放在室外，等第二天水结冰了之后再次称量。冰所占据的体积比原来水的体积要大（冰比水密度低，因而冰块会漂在一杯水上），甚至撑破了桶壁，不过其重量却跟之前一模一样。如果水确实从终极冰冻体中吸收了什么东西的话，那么显然所吸收的物质是没有重量的（即使有重量，也是17世纪的测量工具无法测量出的微小重量）。玻义耳所得出的结论是，物质之所以变热或变冷是由于物质内部的一些特性所引起的。不过，热力学的进一步发展则要等到测温学的发展以及标准刻度的采用之后了。
最早发明蒸汽机［当然，这是一项在当时看来无法商业化的发明（图6-1），否则工业革命就要提前两千年发生了］的亚历山大港的希罗已经认识到空气受热后会膨胀，从而制造了原始的温度计。他将试管开口的一端插入一个水容器中。随着空气的膨胀或收缩，水与空气的交界面会上下移动。这个设备的问题是它会受到气压变化的影响。解决这一问题的办法直到17世纪中期才出现，当时的托斯卡纳大公斐迪南二世·德·美第奇使用一管密封的酒精来代替空气，从而隔离了气压的影响，这样酒精的体积只受周边气温的影响。在密封管旁边标上刻度以后，温度计就可以实际使用了。随着科学家用水银取代酒精作为指示剂，现代温度计的研发也就差不多完成了。选用水银后，温度计也可以造得更加小巧。正是借助空气—水银温度计的帮助，纪尧姆·阿蒙顿首次提出了测量最低温度数值的可能性。
图6-1：汽转球是已知最早以蒸汽发动的机器，由亚历山大港的希罗首先提出（来源：Knight's American Mechanical Dictionary，p.17，1876）
阿蒙顿是一位法国科学家，自小耳朵就听不见，这可能也是他没能进入大学学习的原因。他自学了数学和科学，改进了温度计、气压计以及湿度计的设计，后来又将研究注意力从摩擦力转向气体中温度与压力的关系。他将一个装着空气和水银的容器放入水中。根据阿蒙顿的测量记录，水结冰时对应的刻度为51，而水沸腾时对应的刻度是73。阿蒙顿提出，当空气的体积及相应压力为零时，便无法再进行进一步的冷却，不过他并没有去计算绝对零度的数值。
我们这里可以去算一下。阿蒙顿的温度计上面的一个刻度等于4.55摄氏度。依照他的数据，从冰点减去51个刻度，即减去232.05摄氏度，便可使空气的压力变为0。这个结果已经很不错了（实际数值大约为-273.15摄氏度），要知道在18世纪晚期，安托万·拉瓦锡、皮埃尔—西蒙·拉普拉斯以及约翰·道尔顿测算出的绝对零度还徘徊在-1500摄氏度到-3000摄氏度之间。最终的数值以及绝对零度这个名称，都是由开尔文男爵确定的。他提出了一个始自绝对零度的温标，而水的冰点对应273.15开尔文。
尽管理论上已经标明了，但并没有人准备去制造绝对零度，这在当时看来就像月亮或恒星一样遥不可及。个中原因无非就是人类还无法制造寒冷。制造热是很容易的，只要找来可燃物，点燃它即可。但在当时只有自然界才能制造寒冷，这一点直到19世纪初一位科学家做的一次实验才被打破，而这位科学家所做的其他所有事情恐怕都比这件事要有名。
迈克尔·法拉第年轻的时候曾听过知名化学家汉弗里·戴维爵士的几堂公开讲座，当时他还在一家装订厂工作。法拉第大胆写信给戴维，自告奋勇，询问他是否需要助理。戴维被他打动了，就聘了他做助理。于是，科学史上最伟大的一位实验科学家的事业就此展开了。
当然，法拉第最为人所知的是他有关电的实验，不过在化学领域，他同样贡献卓著。有一天，他通过水合氯醛制出了液态氯。当时他把液态氯装在一个密封的试管里，当他想要更近地观察时，不小心打破了试管。试管在实验室里炸开，玻璃碎片四处翻飞，液态氯瞬间从液态转化为了气态。作为一名聪敏的观察家，法拉第想到既然液体的蒸发会导致爆炸，那么如果施加压力在气体上可能会产生相反的效果，使气体液化。有趣的是，尽管法拉第偏爱纯科学研究，而对于将科学发现商业化没有太大兴趣，但他还是在本子上记下了：这一现象在未来应该会有商业上的应用。当然，这一点在日后也成为了现实，厨房里的冰箱就是最好的例子。液体在冰箱的制冷系统里循环。先是在冰箱内的蒸发器汽化，吸收周围的热量，从而达到制冷的效果。而后汽化的气体被压缩机加压，重新液化，并释放出从冰箱内吸收的热量。液体会如此循环往复，直到冰箱内达到某一均衡温度。虽然道理十分简单，但该发现彻底改变了世界。
化学家通过一个相态图来表现不同物质的液化点和固化点。一条轴代表压力P，另一条轴代表温度T，P-T平面分为几个区域，每个区域代表物质的不同状态（图6-2）。很多气体的相态图显示，比如二氧化碳以及冰箱内的那些气体，只要有足够的压力，即使在室温下，也可以产生液化效果。但有些被称为永久气体的物质，仅靠改变压力是难以制造出液化效果的。荷兰物理学家范德华对此作出了解释，他认识到分子内的作用力使得仅仅依靠压力来液化永久气体会异常困难；要做到这一点，必须要进行相当程度的降温操作。
图6-2：二氧化碳的相态图。在热力学里，三相点是指可使物质的气相、液相、固相共存的一个温度和压力；而临界点是指可使物质以液态存在的最高温度或以气态存在的最高压力，当物质的温度、压力超过此界线时，它会相变成同时拥有液态及气态特征的流体：超临界流体（制作者：Ben Finney，Mark Jacobs）
要获得这些更低的温度需要使用被称为阶式液化的技术，也正是依靠这种技术，人类在寻找最低温度的道路上取得了很大的突破。阶式液化是通过先液化一种气体，然后运用该气体去为另一种气体降温，之后再通过增加压力的方式液化第二种气体。第一种通过这种技术进行液化的永久气体是氧气，然后是氮气。最终，了不起的苏格兰物理学家詹姆斯·杜瓦成功攻克了被他喻为“氢气高峰”的难题，在-252.87摄氏度的温度下将氢气液化。
尽管杜瓦花了超过十年的时间才取得这项成就，但他并没有在科学界获得他自认应得的荣誉。杜瓦的运气很差，在他登顶“氢气高峰”时，威廉·拉姆齐爵士正好完成了某项更加惊人的工作：他分离出了氦气，这种气体一度被认为只存在于太阳。设想一下如果艾德蒙·希拉里爵士刚登顶珠穆朗玛峰，结果发现远方还有一座更高的山峰在向他招手，然后又被告知那山峰已经有人爬上过了，这恐怕就是杜瓦当时的心情吧。
在液化氦气的竞赛中打败杜瓦的是荷兰物理学家海克·卡末林·昂内斯，而他在获得液态氦气时所达到的温度仅仅高于绝对零度四摄氏度。昂内斯以及英国物理学家欧内斯特·卢瑟福男爵两人，尽管在不同的国家工作，解决的问题也不同，却同时发展出了如今被称为“大科学”的科研方式。过去的科学家通常要不就是独行侠，要不就是在一个小团队中工作，而昂内斯和卢瑟福则都发展出了大型的实验室，一大帮科学家和技术人员在其中工作。正如作家达蒙·鲁尼恩所说：“快跑的未必能赢，力战的未必得胜，但这就是下注的方式。”卡末林·昂内斯采用了一种阶式液化技术的变种，运用氧气去液化氮气，然后运用氮气去液化氢气，最后用氢气去液化氦气。这和杜瓦使用的方法一样，只是昂内斯的资源更加丰富。结果在1908年，昂内斯取得了成功。
这项成就还附带令人意外和兴奋的发现。在分析液氦的属性时，卡末林·昂内斯决定要测量一下它的电阻，结果发现，在一个足够低的温度下，液氦完全没有电阻；液氦中的电流长流不止。人类所知的第一个超导体就这样被发现了。（寻找高温下的超导体是当代物理学的主要课题之一，那些在常温下能实现超导并易于造型的材料无疑具有极大的经济价值。）另外一个同样令人吃惊的发现是液氦没有黏性。有黏性的物体，比如蜂蜜和糖浆，会很难倾倒。而将液氦放在一个敞口的容器内，它会显得不受重力约束，随意流动，甚至会漫出容器。
科技进步的标志之一就是某种原本少见的物质变得唾手可得。一个世纪前的艰巨任务如今已经成为商业中的基本材料。现在一公升液氦的价格已经和星巴克的一杯拿铁加饼干价格相当。不过它的保存却不容易，恐怕需要一个特殊的杜瓦真空瓶，而这个设备要花费数千美元。杜瓦和卡末林·昂内斯都因他们对于终极寒冷的追寻而被人们铭记，这似乎也比较合乎情理，虽然两位被铭记的方式不尽相同。
我出生后大约十年，室内空调才开始普及。而纽约郊区的夏夜常常是非常炎热的，为了能够入睡，我们会采取一种非常简单的降温方式：在睡前往身上轻轻洒一层水，水分会慢慢蒸发，起到为身体降温的效果。这就和一杯没盖盖子的热水会慢慢凉下来的道理一样：分子有一定的平均温度，但温度最高的分子会蒸发离开，留下温度较低的分子。
通过对于液氦蒸发冷却技术的巧妙运用，20世纪中期的科学家得以达到仅高于绝对零度千分之一度的温度。然而科学家却希望更进一步，他们在追寻一种新的物质状态，爱因斯坦曾预言过这种状态的存在，但其存在只有在无限接近绝对零度时才能被发现。
这一研究的推动力是来自一个当时意想不到的地方——印度。一百年前，印度还被认为是一块科学上的不毛之地。然而“一战”前不久，一位名不见经传的印度数学家拉马努金给牛津大学的数学家戈弗雷·哈罗德·哈代写了一封信，描述了一些有趣的发现。哈代形容这封信是他一生中真正感觉罗曼蒂克的瞬间。拉马努金的一些结论他已经知道，一些他持有疑义，但还有一些结论却令他大为吃惊。他曾经写道：“这些结论一定是正确的，因为倘如它们不正确，没有谁会有如此想象力能创造出来。”1这封信也使拉马努金成为了一名国际数学界的明星。十年之后，印度物理学家萨特延德拉·玻色写了一封信给爱因斯坦，是关于光子的统计力学研究。或许是记得哈代收到拉马努金信时的情形，爱因斯坦读了玻色的信后被深深打动，并将玻色的结论翻译成德文，又以玻色的名义将文章投到著名的《物理学杂志》上。爱因斯坦将玻色的工作扩展到其他一些粒子，并预言存在一种尚未被证实的物质状态。这一物质状态被称为玻色爱因斯坦凝聚，只有在非常接近绝对零度时才存在。玻色爱因斯坦凝聚是玻色子（自旋为整数的各种粒子，可以是基本粒子，比如传播相互作用的粒子；也可以是复合粒子，比如碳12的原子核）只占据能量最低的量子态时的状态。在这一状态下，这些粒子均丧失其本来的属性，不仅是“人人为我、我为人人”，而是变成“人人是我、我是人人”。
1T. Koshy, Elementary Number Theory with Applications, 2nd Ed. (Burlington, MA: Academic Press, 2007), 567。
玻色和爱因斯坦已经证明，玻色爱因斯坦凝聚所需的温度远低于运用液氦蒸发冷却技术所能达到的温度。
为实现这一目标，需要引进一种新的技术——激光。当原子冷却后，其动能会下降。而由于动能取决于原子的质量和速度，所以速度也必须下降。绝对零度就是原子完全停止不动时的温度，不过量子力学已经证明这是不可能达到的，只能逼近。尽管如此，使用激光冷却技术能使得原子的运行速度小到完全分辨不出静止还是运动。道理非常简单明了：如果一个原子沿着某一个方向运行并撞击到反方向运行的一个光子，原子便会从光子上吸收一些能量。就像在球场上撞上防守队员，运动员的脚步自然会慢下来，因此撞击到光子的原子运行速度也会减慢，只要该光子的频率与原子自发辐射（不受外界作用时，自发地辐射出一个光子）时的频率“产生共振”或相一致即可。
科学家们争相比赛谁能第一个制造出玻色爱因斯坦凝聚，其激烈程度丝毫不亚于一个世纪前制造液氦的竞争。不过这次的竞争气氛更为友好，各个竞争团队会一起参加会议，交流心得、结论和想法。其中一个团队由来自科罗拉多大学波尔得分校的埃里克·康奈尔和卡尔·威曼率领，另一个则由麻省理工学院的沃尔夫冈·克特勒主持。埃里克·康奈尔和卡尔·威曼拔得头筹，将大约两千个铷原子冷却到绝对零度以上不到百万分之一度的温度时观察到了玻色爱因斯坦凝聚。不久克特勒也获得了类似的成果，但使用了远多于前者的原子数量。最后，三位都获得了2001年的诺贝尔物理学奖。
还记得在我参观海顿天文馆的时候，讲解员讲到虽然太阳日冕的温度高达上百万度，但我们却感觉不到其热度。我很吃惊，即使是热水倒到身上，我们都会感觉得到。然而，由于太阳的日冕稀薄得不可思议，因此所含的热量也少到几乎不存在。类似地，你也绝不可能捡起一块干冰（-78.5摄氏度的二氧化碳固体）。通过一个简单的运算也可以说明，我们完全可以捡起一个玻色爱因斯坦凝聚，而不受任何伤害。最初的玻色爱因斯坦凝聚仅仅包含2000个铷原子。相比之下，一粒盐就包含大约1018个原子，即立方体的每个表面含有1百万个原子。而一个含有2000个原子的立方体的每个表面大约只有13个原子。虽说铷原子要比钠原子或氯原子（盐的成分）大一些，但如果2000个铷原子组成的玻色爱因斯坦凝聚构成一个立方体的话，其边长大概也要小于一颗盐粒棱边长度的万分之一。因此，即使是接近绝对零度，用手将其捡起也是安全的，当然前提是你要能找得到它。
世界上通用的两种温度测量方式华氏度和摄氏度均有负的温度，因为它们的零度不过是一个参考点而已。如果气温掉到零摄氏度以下，说明今天有点冷，但不是特别冷；而如果温度掉到零华氏度（-17.78摄氏度）以下，说明今天非常寒冷，不过这对任何居住在美国中西部或加拿大的民众来说应该已经习以为常。然而，绝对零度意味着一切运动全部停止，但这一点又是违反量子力学的。因此如果绝对零度对应的是没有运动，那么我们可以想象当温度低于绝对零度时，对应的则应该是不属于这个宇宙的量子。或许是快子？这是一种假想粒子，拥有质量却能以超光速的速度运行，它或许能达到负的绝对温度。但到底什么东西能比没有运动运动得更慢呢？
这里的问题是，我们一直在以运动的概念来定义温度，这种方式来自于经典物理学。统计力学对于温度的定义则更加宽泛，采取这种方法就可以定义负的绝对温度。对此的准确解释需要用到微积分以及熵的知识，但我们可以大致了解负的绝对温度是怎样产生的，而无需涉及太多这两方面的知识。
下面是一个大家熟悉的例子，可以用来说明熵的概念。最近我参加了一个正式晚宴，晚宴分为两个阶段，餐前鸡尾酒阶段和晚餐阶段。在鸡尾酒阶段，人们自由走动；等到用餐开始，人们纷纷坐回安排好的位置上。对于熵的一个非正式定义是，熵是在不同系统状态下个体元素所具备的不同排列方式的数量。晚宴上只有两种系统状态：鸡尾酒阶段和晚餐阶段。而在这里，系统中的个体元素就是客人。鸡尾酒阶段的熵比晚餐阶段的熵高，因为在鸡尾酒阶段客人的排列方式要比晚餐阶段的更多。统计力学中使用“宏观状态”一词表示对系统内较高层的描述，使用“微观状态”一词来表示对较低层的描述。对应着鸡尾酒阶段宏观状态的微观状态大概应该如此描述：“弗雷德在吧台喝着马蒂尼酒，正和阿妮达聊天，阿妮达刚刚从酒保那里点了一杯血色玛丽。”
接下来我们来想象一杯漂浮着一块冰的水。两个相邻的冰分子被限制在彼此靠近的位置，并按照大致相同的方向运动。但当冰块融化以后，这两个分子就可以在杯中自由移动，失去彼此的关联性。冰水混合的状态所具有的个体分子的排列可能要比冰化为水时的排列少，因为后者中不存在“相邻分子”的限制。
熵也有可能会减少，不过在日常生活中，要使熵减少必须往系统中注入能量。在晚宴上，如果放任自由的话，客人会喝着鸡尾酒，四处走动。这时女主人必须宣布晚餐开始或率先落座示意大家。我们也能让一杯水转变为冰水混合的状态，但必须引入一定的能量来制造冰。这一事实使我们能够为绝对温度给出在数学上更精准的定义，这时绝对温度不再是粒子动能的函数，而是注入系统中能量的变化与相应熵的变化的比值（如果读者熟悉微积分的话，这里的公式为
当然，对于多数我们熟悉的系统来说，注入能量后熵会增加。在一个接近绝对零度的系统中，所有分子均以极低的速度运行，微观状态数量很少，因此熵会很低。为系统注入热量后，分子的运行速度会加快，并不再被限制在彼此非常靠近的状态，于是熵便会增加。由于能量被注入该系统导致熵的总量增加，
运用量子理论，我们可以想象出这样一个系统，并不难看出负的绝对温度（随着能量增加而熵减少）是如何产生的。假设通过磁阱使四个原子被限制在一根非常细的金属丝上，于是当能量被注入时，所有能量都被用于改变原子的自旋而非其位置或速度。假定该系统并非玻色爱因斯坦凝聚，所以原子1、2、3、4均拥有自己的属性。每个原子拥有两种状态：自旋向下（低能量）状态或自旋向上（高能量）状态。假设该系统的初始状态是最低能量配置，即四个原子均处于自旋向下状态，这也是该能量配置下系统的唯一微观状态。如果此时加入一个量子的能量，会产生四种可能的微观状态：其中任意一个原子都有可能变成自旋向上状态，而另外三个则保持自旋向下状态。这时微观状态的数量增加了，即能量的注入导致了熵的增加，这对应的便是正的绝对温度。如果再注入一个量子的能量，则会产生六种可能的微观状态：四个原子中的两个（1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4）会变成自旋向上状态。同样，这次能量的增加也导致了熵的增加。然而，如果此时再注入一个量子的能量，将只剩四种可能的微观状态：四个原子中只有一个处于自旋向下状态，而另外三个均处于自旋向上状态。这时能量的增加便导致了熵的减少，于是绝对温度为负——“低于”绝对零度。
这样的系统不只有负的绝对温度一项怪异之处。尽管可能看上去十分怪异，但这样的系统处于负的绝对温度时要比处于正的绝对温度时更热，并且热量会从负的绝对温度系统传导至正的绝对温度系统！当然热量总是从热的系统向冷的系统传导，不过这里并非是以温度衡量的。实际上，在绝对温度的量表上，从略微高于绝对零度到正的绝对温度再到正的无限大（尽管这不可能达到），然后跳至负的无限大（同样也不可能达到）再到负的绝对温度，最后到略微低于绝对零度，这是个愈来愈热的过程。因此，可以说略低于绝对零度时是比地狱还要热很多。
了不起的天体物理学家阿瑟·爱丁顿爵士曾经说过，宇宙不仅是奇异得超乎我们想象，而且是奇异得超乎我们所能想象。2如果我们能用数学来描述，那它或许就并未超出我们的想象。有人可能会争辩说，负的绝对温度只是一种从温度的数学定义推导出的人造物。但温度的这种定义是为了使处于热平衡的任意两个系统具有相同数值的温度。
2尽管这句名言的出处存在争议，不过我在讲普朗克常数的章节里还会再次提到它，因为我觉得它说得太好了。
负的绝对温度似乎不见于我们的宇宙，但我们可以通过定义温度的热力学等式，再加上统计力学的知识，来预言一种或许超出宇宙本身想象力的现象。在实验室中我们已经创建出了负的绝对温度的系统，相关的研究也已经进行了近半个世纪。虽然对此的商业化产品尚未出现，但请耐心等待吧。想想一个世纪以前，几滴液氦就花费了科学家将近二十年的努力，而现如今已经可以随便在谷歌上搜到五美元一公升的卖家了。3
3这的确很惊人，却也千真万确。不妨拿几样东西的价格作为参照。由于1加仑合3.785公升，所以液氦的价格大约为19美金每加仑。你爱喝的酒可能都要比这贵，当然这是假设你对酒有选择，而不是随便在连锁店买两美元一桶的便宜货。
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