之前我们已经介绍过美国数学发展的大概历程，十九世纪末美国数学开始快速发展，到了二十世纪前期，实际上已经达到了世界先进水平，而伯克霍夫(George David Birkhoff，1884~1944年)则是这一时期最重要的美国数学家，他的横空出世对于美国数学而言及其重要，因为伯克霍夫可以被看做是美国数学跻身世界第一流水平的象征。
伯克霍夫的本科是在哈佛大学读的，而这一时期的哈佛大学数学系是由Osgood和Bocher主导的。哈佛大学数学系在两位导师的引领下，逐渐成为了分析学的中心，并且在美国各大学的竞争中首先脱颖而出，加冕成为最顶尖的数学系。美国的大学数学系基本上在世纪末才把研究当作主要任务，这其中的佼佼者有哈佛大学，芝加哥大学和普林斯顿大学等。
后来伯克霍夫又到了芝加哥大学读博士，导师是著名的美国数学家Moore，他被誉为将美国数学带向世界的领导者。Moore在美国数学界享有盛誉的原因除去自身的成就卓著外，更重要的原因是他培养了三位著名的美国数学家，他们三人将在之后几十年里分别影响哈佛大学，芝加哥大学和普林斯顿大学数学系的发展，这三人其中之一便是伯克霍夫，他也是其中最出色的一个。
比较有趣的是，伯克霍夫的三个老师刚好就是美国二十世纪之前的数学家排行榜中的前三甲，也就是Osgood，Bocher和Moore。更凑巧的是，这三位数学家都是到德国留过学的，而且Osgood和Bocher都在德国著名数学大师克莱因的指导下进行过数学研究，水平自然不一般。由此可见，德国数学对美国数学的发展所产生的影响是十分深刻的，实际上，之后美国数学会有六名主席都是克莱因的美国学生。随着二战的爆发，又有大批德国著名数学家移民到美国，例如外尔，诺特，阿廷等等，所以德国数学对美国数学的影响不仅深刻，而且也十分持久。
这样看来，伯克霍夫的成功不是没有原因的，可谓天时地利人和都齐全了。1912年，伯克霍夫在普林斯顿大学任职两年后回到哈佛大学任教，而伟大的法国数学家庞加莱刚好在这一年去世，在庞加莱去世后三个月，伯克霍夫技惊四座，解决了庞加莱遗留的带有限制条件的三体问题，一时引起了整个数学界的轰动。伯克霍夫的证明也是历史上首次将分析学中的存在性与拓扑学中的不动点定理结合起来，为这一方向的发展提供了全新的思想。
不过伯克霍夫最重要的贡献却不是三体问题，而是动力系统理论中的遍历性定理，在这个领域里，伯克霍夫极大地改进了前人的思想和工作，提出了一系列独到的创见，使得自己成为了行业内的巨擘。同样来自哈佛大学的天才数学家维纳对此高度评价到：“遍历性假设的正确表述及其定理的证明，是美国数学界，乃至全球数学界，近来最重要的成就之一”。
此外，伯克霍夫还在相对论上卓有贡献，他证明了一定条件下的爱因斯坦方程只有球对称解。同时，伯克霍夫也在拓扑，几何和分析各方面都有重要贡献，特别的，他还提出了一个解决数学难题四色猜想(最终在计算机的帮助下，四色猜想在1976年被完全解决)的重要数学工具。凭借这些重要成就，伯克霍夫毫无争议地跻身于二十世纪的世界级数学家之列。
伯克霍夫之所以在美国数学发展史占据如此重要的地位，除去他的成就之外，最重要的原因便在于他完全是由美国本土自主培养出来的数学家。伯克霍夫在取得这些世界级成就之前从未离开过美国(直到1926年，伯克霍夫才第一次造访欧洲)，而且他也并没有直接接受过外国数学家的指导，他所依靠的都是美国的数学教育，美国的数学导师。伯克霍夫的成功说明，经过前人的不懈努力，美国的数学教育已经达到世界级水平，美国数学系的学生已经没有太大必要再去欧洲留学了。
伯克霍夫完全代表了二十世纪初美国第一代完全接受美国本土数学教育的数学家，并且他将这样的优势传承了下去。据不完全统计，如今全世界出自伯克霍夫门下的学生累计起来已经超过七千人，其中不乏名人大家，例如后来的数学最高奖沃尔夫数学奖得主惠特尼。由此看来，对于美国本土的数学发展而言，伯克霍夫不仅是先行者，更是开拓者和继承人。
正是在伯克霍夫这一代美国数学家的传承和发扬之下，美国数学才有了牢固的根基，这对于今天美国数学的辉煌而言，是必不可少的。
