第二节 分布函数与连续型随机变量
§2 分布函数与连续型随机变量
一、分布函数二、连续型随机变量及密度函数三、常见的连续型随机变量一、分布函数
1.定义
离散型随机变量是用分布列来表示其概率分布。 但对其它随机变量来说，分布列不存在，例如随机变量可取的值为一连续区间的一切值时，就无法一一罗列这些值及其概率。为此要引入概率分布的新的表示法，我们希望它对一切随机变量都适用。
在第一节中，我们曾把概率分布定义为一切概率
，其中
是R上的任一波雷尔集。现在取
，它是波雷尔集，从而事件
={
}有概率
。如果我们对一切实数
都定义了上面的概率，那么对于任意实数
，事件{
}的概率可立即求出：
P{
}=
－
。 (1)
进一步， 由于任意波雷尔集B是左开右闭区间的（有限或可列）并、（有限或可列）交、逆产生的集合，所以由（1）可以算出
， 因此， 对任意实数
,
可以代表
的概率分布。
定义1 称
， －∞＜
＜+∞ (2)
为随机变量
的分布函数 (distribution function)。
对确定的随机变量
,其分布函数是唯一确定的，它是实变量
的函数，因此我们可以利用实变函数论这一有力工具来研究随机变量。
有了分布函数，则对任一波雷尔集
，概率
可以用分布函数来表示。事实上，由(1)式，
(3)
再利用概率的运算，就可得到其它事件的概率。 例如
，
，
，
。
例1 设随机变量ξ服从伯努里分布：
，写出它的分布函数，并计算
。
解 当
<0时，
=0， (不可能事件)；
当0≤
<1时，
=
；
当
≥1时，
；
因此分布函数
而
= F(0.5－0)－F(－1) =
。
例2 在△ABC内任取一点P，P到BC的距离为
，求
的分布函数。
解 设BC边上的高为
。当
< 0时，显然 P(
≤
) = 0； 当0≤
<
时，在
A
△ABC内作平行BC的线段DE，使与BC的距离为x，则{
≤
}表示点P落在梯形DBCE内。由几何概率，
D
E
P
h
ξ
=
=1－(1－
/
)
；
B
C
当
≥
时， {
≤
} 表示点P在△ABC内任意取，故P(
≤
)=1；
综上所述，分布函数为
。
2.性质
分布函数是事件{
≤
}的概率，自然有0≤
≤1，除此以外，分布函数还有下面三个基本性质：
(1) 单调不减性：若
,则
；
(2)
=0，
=1； ①
(3) 右连续性：
=
。②
证 (1)
≥0。
(2) 由于F(x) 单调有界，存在极限
F(－∞) =
F(－
)。
但{
-
}
{
-(
+1)}且
=
，故由概率的连续性定理(§3)
F(-
)=
P{
-
}=
P(
)=0。
又{
}
{
(
+1)}及
=Ω， 故
F(
)=
P{
}=
P(Ω)=1。
(3) 由F(
)的单调性，只需证
F(
+1/
) = F(
)。因
{ξ≤
+1/ (
－1)}
{ξ≤
+1/
}
且
={ξ≤
}
故
F(
+1/
) =
P{ξ≤
+1/
}
= P{ξ≤
} = F(
)。
分布函数有上述三性质，反之可证，有上述三性质的函数必可作为某随机变量的分布函数。
例3 设随机变量的分布函数如下，试确定常数a，b。
。
解
应满足上面三个性质。F(-∞)=0与 F(+∞) =1已成立；又
在各段内是不减的 (如果
>0)，故只要0≤
≤1， 就整体单调了；剩下的只需讨论右连续性，这只要考察
=－1与
=1两点，应满足F(－1+0)=F(－1)和F(1+0)=F(1)，即
-
π/ 2 = 0， 1=
+
π/2 ，
解之得
=1/2，
=1/π。
3.离散型随机变量的分布函数
分布函数作为随机变量概率分布的一种表达方式，对一切随机变量(包括离散型)都适用。在例1中已经写出伯努里分布的分布函数，这是分段函数，在
=0和
=1处各有一跳跃。
一般说来，设
的分布列为
，且
<
<…<
<…， 则
的分布函数为
，
它是间断的分段函数，在
，
=1，2， …各有一跳跃，跃度为
，在每一段 [
，
)中都是常数，呈阶梯形。
二、连续型随机变量及密度函数
定义2 若随机变量
可取某个区间 （有限或无限）中的一切值， 并且存在某个非负的可积函数
，使分布函数
满足
， (4)
则称
为连续型(continuous)随机变量，称
为
的概率密度函数，简称为密度函数(density function)，具有上述性质的函数
称为是绝对连续的。
由连续型随机变量的定义，使它的分布函数
具有下列良好的数学性质。
(1) 在实变函数论中可以证明，若
绝对连续，则
必定处处连续；并且在
的连续点，
可导，且
。 (5)
(2) (4)式表示的
与密度函数
的关系使得对一连续型随机变量，只要给出密度函数
，就可以直接算得
落在任意区间
的概率:
－
=
－
=
。 (6)
由此对R上的一切波雷尔集都可通过
来计算概率。
(3) 特别，对任一常数
，
=
= 0， (7)
因此对连续型随机变量，计算在一点的概率是没有意义的，这也是不能用分布列描写连续型随机变量的理由之一。 但
是一个可能发生的事件，这又说明对连续型随机变量,一事件A的概率为0并不表明A =φ；同样若P(A) =1，也并不表明A =Ω。 这些都是与离散型随机变量的根本区别。
密度函数具有下列性质:
(1) 非负性：
≥0； (8)
(2)
=1。 (9)
后者由F(+∞)=1得到。反之，对于定义在 (－∞，+∞)上的可积函数， 若它满足(8)和(9)式，则它就可作为某一随机变量的密度函数。
例4 例3中的
是否可作为连续型随机变量的分布函数？
解 除
=－1，1两点以外,
处处可导，记其导数为
。
当－1<
<1时，
=
； 其它情况
=0；
满足(8) (9)两式，故
为密度函数，
表示连续型分布函数。
应该指出，除了离散型，连续型以外，随机变量还有其它类型，例如
是分布函数，它不是离散型的，也不是连续型的 ( 因为它不连续 )，它是
=0处退化分布
和[0,1]上均匀分布
(见下一段) 的混合：
=(
+
)/2。
甚至还存在这样的分布，它是一个连续函数，却不是绝对连续的。不过常见的是离散型和连续型。 以后如果对一般的随机变量进行讨论，就用分布函数
；如果对离散型情形，主要就用分布列；如果对连续型，则主要用密度函数
,不另提其它类型了。
三、常见的连续型随机变量
1.均匀(Uniform)分布
对
，称随机变量
服从
上的均匀分布，如果它的密度函数为
。 (10)
简记作
～
。 当
<
时， 显然
(
≤
)=0；当
≤
<
时，
=
；
当
≥
时，
=
=1；
因此其分布函数为
上的均匀分布相当于样本空间为
的几何概率。 在区间
上投点，其落点位置就服从这个分布。又如考察一个数据，它在小数点n位后四舍五入，则其真值x与其近似值
之间的误差
一般假定服从[－0.5
， 0.5
]上的均匀分布。就可对经过大量运算后的数据进行误差分析。它在使用计算机解题时是很重要的，因为计算机的字长总是有限的。
2.正态分布
若随机变量
的密度函数为
，
(11)
就称
服从正态(Normal)分布，记作
～
。 其中
，
>0。我们来证明(11)定义的
确是密度函数。 显然
>0，又
=
上述二重积分可用极坐标表示成
也即
。
正态分布是概率论中最重要的一种分布，与二项分布、泊松分布并称为三大分布，它在实际应用与理论上都有很大作用。 一方面，正态分布应用很广，一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每一因素所起的作用又不很大，则这个数量指标服从正态分布。例如进行测量时，由于仪器精度、人的视力、心理因素、外界干扰等多种因素影响，测量结果大致服从正态分布，其中
为真值；测量误差也服从正态分布。事实上，正态分布是19世纪初高斯（Gauss）在研究测量误差时首次引进的，故正态分布又称误差分布或高斯分布；另外，生物的生理尺寸如成人的身高、体重，某地区一类树木的胸径，炮弹落地点，某类产品的某个尺寸等等都近似服从正态分布。另一方面，正态分布具有良好的性质，一定条件下，很多分布可用正态分布来近似表达，另一些分布又可以通过正态分布来导出，因此，正态分布在理论研究中也相当重要。 我们先来观察它的密度函数的图形。
如果点
与
关于直线
对称，即
，则
， 因此
关于直线
对称。
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增；
时，
→0。
时，
有最大值
，因此
越大，最高点越低；但因为曲线与
轴包围的面积等于常数
=1，因此
越大，p (x) 的图形越扁平，
取值离开
点远的概率也越大；
越小，则
的图形越陡峭，
取值越集中在点
附近。
当
=0，
=1时，称为标准正态分布(standardized normal distribution)，它的密度曲线关于纵轴对称，其密度及分布函数特别记为
和
：
， －∞<
<+∞。 (12)
利用(11)式计算正态分布的概率是不容易的。人们已经制作了专门的表格以供查阅，一般情况只需标准正态分布Φ(
)的数值表(见附录III)就够了。 下面介绍该表的使用方法。
1) 若
～N(0,1)。
当
0时, 每隔一定数值 (附录中是间隔0。1) 可以查到对应的分布函数Φ(
)的值；在这些数值之间，可以用线性插值法求得相应的函数值。
当
< 0时，注意到标准正态密度函数
(
)关于直线
= 0对称，故令
=-
，则
=
=1-
,
也即
Φ(-
)=1-Φ(y)。 (13)
结合
>0时的Φ(
) 表就可算出
<0时Φ(
)的值。
2) 对一般的
,记
(称为
的标准化随机变量)，则它服从N(0,1)。 事实上
的分布函数
=
=Φ(x)。
例5 设
～N(0,1)。
(1) 计算P(-1<
<3);
(2) 已知P(
<λ) = 0.9755, 求λ。
解 (1)P(-1<
<3)=Φ(3)-Φ(-1)=Φ(3)+Φ(1)-1= 0.9987+0.8413-1= 0.8400。
(2) Φ(λ) = 0.9755, 它在Φ(1.96) = 0.9750与Φ(1.98) = 0.9762之间, 由于Φ(
)是单调不减的，故λ在1.96与1.98之间, 由线性插值公式
λ
1.96+
·(1.98-1.96)≈1.968。
例6 设ξ～N (2,9), 求P (5 <ξ<20)。
解 令η= (ξ-2)/3，则η～N (0,1)，从而
P(5<ξ<20)= P(
<
<
)
= P(1<η<6)=Φ(6)-Φ(1)
≈1-0.8413=0.1587 。
例7 设
, 求
,
以及
。
解
～N (0,1), 故
≈0.6827，
同理，
≈0.9545,
≈0.9973。
说明正态随机变量的99.73 %的值落在
之中, 落在该区间之外的概率几乎为零,这情况被实际工作者称为“
原则”。
例8 从南郊某地乘车到北区火车站有两条路可走，第一条路较短，但交通拥挤，所需时间τ服从N (50, 100) 分布；第二条路线略长，但意外阻塞较少，所需时间ξ服从N (60,16)。
(1) 若有70分钟可用，问应走哪一条路？
(2) 若只有65分钟可用，又应走哪一条路？
解 应该走在允许时间内有较大概率赶到火车站的路线。
(1) 走第一条路线能及时赶到的概率为
P(τ≤70)=Φ(
)=Φ(2)=0.9772；
而走第二条路线能及时赶到的概率为
P(ξ≤70)=Φ(
)=Φ(2.5)=0.9938,
因此在这种场合，应走第二条路线。
(2) 走第一条路线能及时赶到的概率为
P(τ≤65)=Φ(1.5)=0.9332,
而走第二条路线能及时赶到的概率为
P(ξ≤65)=Φ(1.25)=0.8944。
此时以走第一条路线更为保险。
3.指数分布
密度函数为
(λ>0) (14)
的分布称为指数(Exponential)分布。 容易验证(14)式满足密度函数的两个条件。 现在求它的分布函数。
当
<0时,P(ξ≤
) =
=0; 当
≥0时, P(ξ≤
) =
=1--e
。
即其分布函数为
指数分布具有类似几何分布的“无记忆性”。 事实上，设随机变量ξ服从参数为λ的指数分布，则对于任意的s >0, t > 0,
=
/
=
。
还可以证明，指数分布是具有上述性质的唯一的连续型分布。 (证明略)。
4.Γ-分布
它的密度函数为
(
> 0,
> 0) (15)
其中Γ(
) 是第一型欧拉积分。参数为
,
的Γ-分布简记为Γ(
,
)，当
为整数时也称爱尔兰(Erlang)分布，
= 1时即为指数分布。
