高中物理与微分方程（一）——磁场中的导轨是怎么运动的？

微分方程是大学高等数学中的内容。在高中物理中，不少问题如果想深入研究，必须借助微分方程。

就此，董川老师写出一系列文章，站在高中生的角度，解释微分方程在高中物理中的应用。

所谓微分方程，就是一个函数及其各阶导数所构成的等量关系。不同于代数方程，微分方程的解不是数，而是函数，而且通常情况下，微分方程的解都有无穷多个。

我们先看一个最简单的微分方程：

例1：

             （1-1）

用语言描述这个微分方程，即一个函数和它的导数相等。

我们在高二学过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数。这里就不再给大家列举导数公式了。我们不难发现，以

为底的指数函数满足条件，即

             （1-2）

满足式（1-1），因为

的导数还是

，但是满足式（1-1）的函数仅有式（1-2）中的这一个函数吗？

当然不是。

设

             （1-3）

则其导数

             （1-4）

与（1-3）相等，也满足微分方程（1-1）。

我们不难发现，在

前乘上任意常数，都满足微分方程（1-1）。所以我们将微分方程（1-1）的解写为   

             （1-5）

其中

为任意常数。

至此，绝大多数中学生读者们和我一起完成了人生中第一个微分方程的求解。

好的，稍微缓一缓。

我们继续看下一个微分方程

例2：

         （2-1）

其中

为非零常数。

用语言描述这个微分方程，即一个函数的导数是这个函数的

倍。对于这种函数和导数存在倍数关系的微分方程，显然幂函数、对数函数和三角函数都不满足条件，我们还是要从指数函数入手。

已经求得，例1的解是

，例2和例1仅仅相差一个系数

。我们知道，复合函数求导的时候，要先求外层函数对内层函数的导数，再乘上内层函数对自变量

的导数。我们只要让外层函数是指数函数，且内层函数的导数是非零常数

即可解决问题。

什么函数的导数是非零常数呢？显然是一次函数。也就是说，例2的解应该是一个复合函数，其中外层函数是以

为底的指数函数，内层函数是一个导数为

的一次函数，不妨设之为

，所以可以得到

             （2-2）

是微分方程（2-1）的一个解。

和例1一样，在

前乘上任意常数，都满足微分方程（2-1）。所以我们将微分方程（2-1）的解写为   

             （2-3）

其中

为任意常数。

以上的推导从大学的角度看并不是很严密，在大学我们还会学习更为深入的解法。

大家可以再缓一下，然后准备进入物理部分。

例3：设某物体以初速度

开始运动，运动的过程中，只受到一个阻力的作用，阻力的大小与速度有关，阻力

的大小满足

             （3-1）

除阻力之外不受其他力。问该物体做什么样的运动？最终能运动多远？

解：设物体运动的方向为正方向，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力一致，即与物体运动方向相反，因此加速度

        (3-2)

实际上，加速度和速度都是随着时间改变的，因此，它们都是时间的函数，因此不妨我们将式(3-2)写为

              (3-3)

我们知道，加速度是速度关于时间的变化率，也就是说，加速度是速度关于时间的导数，所以式(3-3)可以改写为

              (3-4)

式(3-4)看起来熟悉吗？没错，和例2是一样的，只不过系数

换成

，仅此而已。

求解过程请结合例2自行脑补，可以求得

              (3-5)

其中

是任意常数。

至此尚未结束，首先，常数

尚未确定，第二，已知条件

尚未用到。

当

时的速度是

，所以将式(3-5)中的

取为0，将

取作

，解方程，即可得出

的值，即

            （3-6）

即

                   （3-7）

所以该运动速度关于时间的表达式为

             （3-8）

我们发现，该物体的速度是一个指数衰减的形式，严格地说，这个物体应该永远停不下来。

虽然永远停不下来，但是这个物体的位移却是可求的。

位移应当等于速度-时间图像中和时间轴围成的面积，也就是速度对时间的积分，积分下限是0，积分上限是正无穷，即

求解完毕。

至此，我们用微分方程解析了一个变加速运动物体的运动规律。

例4：某垂直指向纸里的磁场上放置一足够长的平行光滑导轨，导轨宽度 为L ，导轨左侧有一阻值为R的电阻，导轨其余部分电阻忽略不计，导轨上有一电阻不计，质量为m的导体棒，以初速度

向右运动，问该导体棒能走多远？

该题可以通过动量定理求解电荷量，再通过磁通量的变化得出结果。但该方法注重初末状态，并不能够反映出运动过程。

现在我们另辟蹊径，研究一下导体棒是如何运动的。

金属棒显然做变速运动，设其速度随时间变化的函数关系为

导体产生的感应电动势

导体中的感应电流

以向右为正方向，导体所受安培力

导体的加速度是

至此，和例题3已经基本相同了，都是速度和加速度存在一个比例系数，只不过这次的比例系数不是

，而是

怎么样，是不是有点意思了？请自行完成本题后续过程的求解。

下期文章会公布本题公布答案，同学们也可以后台发送求解过程，同时还会继续探索新的微分方程和新的应用。