机器视觉学习笔记（4）——单目摄像机标定参数说明

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1.针孔摄像机模型

• 在介绍摄像机标定参数之前，需要先简单说一下针孔摄像机的原理。投影平面到小孔的距离为焦距f，物体到小孔的距离为Z，其中物体和投影是倒立相似的关系，下图为针孔摄像机的投影示意图：

  

• 如果按照实际的投影关系建立坐标系，那么投影坐标和物体坐标的符号总是相反的，考虑起来不太方便，于是在“数学上”把投影平面平移到其关于小孔对称的位置，这样投影坐标和物体坐标符号就相同了，示意图如下：

  

• 根据三角形相似的原理，可以列出如下等式：
  fZ=l投影l物体$\frac{f}{Z}=\frac{l_{投影}}{l_{物体}}$Zf​=l物体​l投影​​

2.摄像机中的坐标系

• 摄像机中的坐标系有4个，均为右手坐标系，分别记为{world}，{camera}，{picture}，{pixel}，下图所示列出了{camera}，{picture}和{pixel}坐标系：

  

• {world}，{camera}，{picture}和{pixel}坐标系的坐标用下标来区分，分别是W，c，p，pix

• {world}，{camera}，{picture}坐标系单位为长度，一般为mm；{pixel}坐标系单位为像素，一般为pix

• {world}坐标系为世界坐标系，可以任意指定，其他坐标系都有明确的定义

• {camera}坐标系为摄像机坐标系，原点在小孔的位置，z轴与光轴重合，Xc轴和Yc轴分别和投影面两边平行

• {picture}坐标系为图像坐标系，光轴和投影面的交点为原点，Xp轴和Yp轴分别和投影面两边平行

• {pixel}坐标系为像素坐标系，从小孔向投影面方向看，投影面的左上角为原点Opix，Xpix轴和Ypix轴和投影面两边重合

3.各个坐标系的坐标转换

3.1{world}到{camera}

设某点在{world}坐标系中的坐标为 PW=[xW,yW,zW,]T${\ P_W = [x_W,y_W,z_W,]^T}$ PW​=[xW​,yW​,zW​,]T，该点在{camera}坐标系中的坐标为Pc=[xc,yc,zc,]T$P_c = [x_c,y_c,z_c,]^T$Pc​=[xc​,yc​,zc​,]T，则有
Pc=[R0T1]PW(1)$P_c=\begin{bmatrix}R & T \\0 & 1\end{bmatrix}P_W\tag{1}$Pc​=[R0​T1​]PW​(1)
其中R是正交旋转矩阵：
R=⎡⎣⎢r11r21r31r12r22r32r13r23r33⎤⎦⎥(2)$R=\begin{bmatrix}r_{11} & r_{12}&r_{13}\\r_{21} & r_{22}&r_{23}\\r_{31} & r_{32}&r_{33}\\\end{bmatrix}\tag{2}$R=⎣⎡​r11​r21​r31​​r12​r22​r32​​r13​r23​r33​​⎦⎤​(2)
T是平移矩阵：
T=[txtytz]T(3)$T=\begin{bmatrix}t_x&t_y&t_z\end{bmatrix}^T\tag{3}$T=[tx​​ty​​tz​​]T(3)
确定R需要3个参数，确定T需要3个参数，共需6个参数，这6个参数称为摄像机的外部参数。

3.2{camera}到{picture}

根据三角形相似原理，可得
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪xp=fxczcyp=fyczc(4)$\left\{\begin{aligned}x_p=f\frac{x_c}{z_c}\\y_p=f\frac{y_c}{z_c}\end{aligned}\right.\tag{4}$⎩⎪⎨⎪⎧​xp​=fzc​xc​​yp​=fzc​yc​​​(4)
写成矩阵形式
zc⎡⎣⎢xpyp1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢f000f0001000⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢xcyczc1⎤⎦⎥⎥⎥⎥(5)$z_c\begin{bmatrix}x_p\\y_p\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_c\\y_c\\z_c\\1\end{bmatrix}\tag{5}$zc​⎣⎡​xp​yp​1​⎦⎤​=⎣⎡​f00​0f0​001​000​⎦⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xc​yc​zc​1​⎦⎥⎥⎤​(5)

3.3{picture}到{pixel}

sx$s_x$sx​表示Xpix方向上单位mm的像素数，单位是pix/mm
sy$s_y$sy​表示Ypix方向上单位mm的像素数，单位是pix/mm
x0,y0$x_0,y_0$x0​,y0​表示投影平面中心在{pixel}中的坐标，则有
{xpix=x0+xp⋅sxypix=y0+yp⋅sy(6)$\left\{\begin{aligned}x_{pix}=x_0+x_p\cdot s_x\\y_{pix}=y_0+y_p\cdot s_y\end{aligned}\right.\tag{6}${xpix​=x0​+xp​⋅sx​ypix​=y0​+yp​⋅sy​​(6)
写成矩阵形式
⎡⎣⎢xpixypix1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢sx000sy0x0y01⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢xpyp1⎤⎦⎥(7)$\begin{bmatrix}x_{pix}\\y_{pix}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_x&0&x_0\\0&s_y&y_0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_p\\y_p\\1\end{bmatrix}\tag{7}$⎣⎡​xpix​ypix​1​⎦⎤​=⎣⎡​sx​00​0sy​0​x0​y0​1​⎦⎤​⋅⎣⎡​xp​yp​1​⎦⎤​(7)

3.4{world}到{pixel}

记
{fx=f⋅sxfy=f⋅sy(8)$\left\{\begin{aligned}f_x=f\cdot s_x\\f_y=f\cdot s_y\end{aligned}\right.\tag{8}${fx​=f⋅sx​fy​=f⋅sy​​(8)
分别表示焦距f在Xpix和Ypix方向上的等效焦距，单位是pix，结合（1）（5）（7）（8）式可得
zc⎡⎣⎢xpixypix1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢fx000fy0x0y01000⎤⎦⎥⋅[R0T1]⎡⎣⎢⎢⎢⎢xWyWzW1⎤⎦⎥⎥⎥⎥(9)$z_c\begin{bmatrix}x_{pix}\\y_{pix}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_x&0&x_0&0\\0&f_y&y_0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}R & T \\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_W\\y_W\\z_W\\1\end{bmatrix}\tag{9}$zc​⎣⎡​xpix​ypix​1​⎦⎤​=⎣⎡​fx​00​0fy​0​x0​y0​1​000​⎦⎤​⋅[R0​T1​]⎣⎢⎢⎡​xW​yW​zW​1​⎦⎥⎥⎤​(9)

3.5小结

单目摄像机需要标定参数就是fx,fy,x0,y0$f_x,f_y,x_0,y_0$fx​,fy​,x0​,y0​这4个参数

• fx,fy,x0,y0$f_x,f_y,x_0,y_0$fx​,fy​,x0​,y0​叫做摄像机的内部参数，因为这些参数只和摄像机有关系，和具体的摄像场景，和世界坐标系没有关系
• R$R$R和T$T$T内部一共有6个独立的参数，叫做外部参数。外部参数是描述世界坐标系和摄相机坐标系的参数，所以只要世界坐标系和摄相机坐标系的相对位姿发生了变化，R$R$R和T$T$T就会改变，甚至可以说，每一张图片的R$R$R和T$T$T都不一样
• 单目摄像机标定就是已知像素坐标系下的坐标Ppix$P_{pix}$Ppix​和世界坐标系下的坐标PW$P_W$PW​，列方程组求解内部参数

4.摄像机透镜畸变

由于针孔可以透过的光线太少，成像会不清楚，所以往往都会加上凸透镜汇聚更多的光线。但是加上凸透镜以后，会导致成像畸变，所以还需要校正透镜畸变。透镜的畸变主要分为两类，一类是径向畸变，一类是切向畸变

4.1径向畸变

径向畸变会产生“鱼眼”现象。成像中心处径向畸变为0，径向畸变随着与成像中心距离增大而增大，在图像边缘处达到最大径向畸变。常常用偶次幂的泰勒公式描述径向畸变
{xcerrected=x(1+k1r2+k2r4+k3r6)ycerrected=y(1+k1r2+k2r4+k3r6)(10)$\left\{\begin{aligned}x_{cerrected}=x(1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)\\y_{cerrected}=y(1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)\end{aligned}\right.\tag{10}${xcerrected​=x(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)ycerrected​=y(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)​(10)

4.2切向畸变

切向畸变由透镜和成像平面不平行引起。常用如下公式描述
{xcerrectedycerrected=x+[2p1y+p2(r2+2x2)]=y+[p1(r2+2y2)+2p2x](11)$\left\{\begin{aligned}x_{cerrected}&=x+[2p_1y+p_2(r^2+2x^2)]\\y_{cerrected}&=y+[p_1(r^2+2y^2)+2p_2x]\end{aligned}\right.\tag{11}${xcerrected​ycerrected​​=x+[2p1​y+p2​(r2+2x2)]=y+[p1​(r2+2y2)+2p2​x]​(11)

4.3小结

单目摄像机透镜畸变校正需要确定的就是k1,k2,k3,p1,p2$k_1,k_2,k_3,p_1,p_2$k1​,k2​,k3​,p1​,p2​这5个参数，如果“鱼眼”现象不明显的话，常常使用k1,k2$k_1,k_2$k1​,k2​来校正径向畸变

5.总结

• 单目摄像机标定和校正最终将获得9个参数，内部参数是4个，畸变校正参数是5个
• 单目摄像机标定常用的工具有OpenCV库和Matlab摄像机标定工具箱
• 具体如何使用OpenCV标定单目摄像机（含源代码），请参考下一篇博文机器视觉学习笔记（5）——基于OpenCV的单目摄像机标定