什么是线性系统

比如，你刚和女朋友打完球，满头大汗，于是你给她买了一瓶水。

她非常高兴：宝宝，你可真是个暖男！

如果你送她五瓶水，她五倍地高兴，这就是线性的女朋友，这是一个线性系统。

但事情的真相往往是，你送她五瓶水，她会冲你嚷嚷：傻啊你，买这么多水，人家拿不动！

你看，这就是“非线性的女朋友”，这个系统，就是一个非线性系统，因为：

输入增加多少倍，得到的不是输出增加多少倍，而是其它类型的输出。

线性系统需要满足的条件

线性系统需要满足“齐次性”和“可加性”。

齐次性就是，输入增加多少倍，输出还是原来的样子，只不过翻倍了。

数学描述是

当系统的输入为f(x)，输出y(x) ；
当系统的输入为a·f(x)，输出a·y(x) 。

可加性就是，你给它五瓶水的效果，与分别给两瓶加三瓶的效果是一样的。

数学描述是

当系统的输入为f(x)，输出y(x)；
当系统的输入为g(x)，输出z(x)；
那么，
当系统的输入为f(x) + g(x) ，输出y(x) + z(x)。

一个系统，如果满足“齐次性”和“可加性”，就是所谓的“线性系统”。

如果系统既是线性，且系统的特性不随时间变化，那么这个系统就是“线性时不变系统”。

比如，改天你再给女朋友递一瓶水，她可能会说：不要，我好想喝奶茶~

这就是“时变系统”。

线性时不变系统是一种理想模型，但是，它对于工程设计、分析有重要意义。

比如电容，就是一个人造的“线性系统”。

如果宇宙是线性时不变的，那就非常枯燥无味了，因为万事万物将皆可预见，一切历史和将来都可通过数学公式推导精确得出，这样的系统，不可能精彩。

因此，生活中的大部分自然系统，都不是线性系统，比如人类。

人类之所以高级，恰在于人是高度非线性系统，对外界的类似输入，反应可能完全不同，这才造就了各种不同的智慧、文明以及段子手。

非线性系统将表现出“混沌效应”，即：猜不透。

你很难预测它对于类似的输入，到底会输出什么，比如天气的变化，就是一种混沌现象。

又比如，一个双杆摆，其摆动规律会呈现混沌行为。

开始略微不同的初始位置，将导致完全不同的运动轨迹，它是具有混沌效应的最简单的动力系统之一。

双摆

当然，人类中，当属女人最混沌。

很多女人吐槽直男，就是因为，直男往往是线性地思考问题，直来直去，和混沌正好相反：

“什么？这么几瓶水也拿不动？你真是该锻炼身体了！”

“哼，你一点都不懂我！”

“数学不好，懂不了······”

注孤生……

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