机械工程用有限元法学习笔记（三）

弹性力学平面问题的有限元法

一、    平面问题的基本方程

平面问题是指弹性体内一点的应力、应变或位移状态只与两个坐标方向的变量有关的二维问题。

1.  平面应力和平面应变

应力分量：

 式3-1

应变分量：

   式3-2

应力分量与应变分量间的关系：

   式3-3

或

   式3-4

式中：[D]—弹性矩阵

对于平面应力问题

   式3-5a

对于平面应变问题（E换成，μ换成）

   式3-5b

2.  平面问题的基本方程

平面问题的总位能表达式

当δΠ=0，可以得到用位移u和v表示的基本方程

   式3-6

如采用应力函数

，可得到平面问题的基本微分方程（双调和方程）

   式3-7

用有限元法求解平面问题的思路：

①   剖分和插值

把整个平面区域S用三角形板单元或矩形板单元等进行剖分并在单元内进行位移函数（形状函数）的插值。

   式3-8

②   单元分析

把形状函数代入位能泛函式Π_i，并按单元进行计算。

   式3-9

③   单元组集

把各单元重新组集起来。

   式3-10

说明：{q}是单元各节点的位移列阵；[K]是单元刚阵；{F}是单元的广义载荷列阵；q是整个区域上各单元节点的位移总和的列阵；K是总刚阵；F是整个区域上的广义载荷列阵，S是单元总数。

二、    位移函数

①   设定的位移函数是泛函的极限条件，即控制方程的近似解。

②   选择位移函数的阶次应考虑下列因素：

ⅰ、满足完备性和协调性。一般采用一个由低阶算起完全的多项式表示位移函数。如u=a₁+a₂x+a₃y+a₄x²+a₅xy+a₆y²……

ⅱ、对称性即该多项式位移函数与局部坐标系的方位无关。

ⅲ、多项式的项数与节点自由度相等。

ⅳ、收敛性

③   设定位移函数时应符合

ⅰ、在单元内部和边界上（包括节点处）处处都能满足力的平衡条件和变形协调条件。

ⅱ、在单元内部要求应变或应力最少应是常值（或线性变化的）。

ⅲ、包含有代表刚体运动的项。

一个单元内各点的位移实际上包含着两部分，一是单元本身变形引起的部分；二是刚体位移部分。位移函数必须能反映这两种位移。

三、    三角形单元分析

1.  位移函数{d}

图3-1 三角形板单元

设三角形板单元单元内某一点的位移函数为

代数形式：

    式3-11a

矩阵形式：

    式3-11b

那么单元的三个节点i、j、k可以写成

    式3-12

由式3-12解得，

    式3-13

式中：

为了不使A为负值，i、j、k的顺序必须是逆时针方向，如图3-1。

将

代人

中，整理得

    式3-14

式中：[N]形状函数

    式3-15

2.  应变{ε}

由

，可得

    式3-16

式中：[B] 应变矩阵

    式3-17

3.  应力{σ}

根据虎克定律，得

    式3-18

式中：[R] 应力矩阵

对于平面应力问题

  式3-19a

对于平面应变问题

 式3-19b

4.  刚阵[K]

根据虚位移原理，可推得

    式3-20

式中：[K] 刚度矩阵

    式3-21

式中：

对于平面应力问题

 

对于平面应变问题

 

四、    矩形单元分析

1.  位移函数{d}

图3-2 矩形板单元

设矩形板单元单元内某一点的位移函数为

   式3-22

根据矩形板四个坐标值，求得α₁、α₂、α₃、α₄、α₅、α₆、α₇、α₈，并回带式4-1中，可以得到新的位移函数

   式3-23

2.  应变{ε}

   式3-24

式中：

3.  应力{σ}

   式3-25

式中：对于平面应力问题

对于平面应变问题

4.  刚阵[K]

对于平面应力问题

  式3-26a

对于平面应变问题

  式3-26b

五、    形状函数

对于平面梁位移，可以用下述形状函数来表示

v(x)=[N]{q}=N₁v₁+N₂v₂+N₃v₃+N₄v₄

对于平面问题三角形单元，可以用下述形状函数来表示

u=N_iu_i+N_ju_j+N_ku_k+N_lu_l

v=N_iv_i+N_jv_j+N_kv_k+N_lv_l

形状函数的几何意义反映了单元体的变形情况，即位移分布状态。

形状函数的两个重要性质：

1、

2、在单元任一点上三个形状函数之和等于1。

六、    三角形面积坐标

面积坐标就是用面积的比例关系来表示三角形单元中任意一点P(x,y)的位置。

其中：

图3-3

当采用面积坐标时，三角形单元内某点的位移函数为

  式3-27

面积坐标与直角坐标之间的关系

  式3-28a

  式3-28b

七、    载荷的转移

1、三角形单元上载荷的转移

图3-3   图3-4  图3-5  图3-6

载荷1：作用在单元i-j边上的一个沿着x方向的集中载荷P（图3-3）。

载荷2：作用在三角形单元i-j-k内的一个沿着x方向的集中载荷P（图3-4）。

载荷3：作用在三角形单元i-j-k的i-j边上为一个按三角形分布的分布载荷p（图3-5）。

载荷4：作用在三角形单元i-j-k的i-j边上为一个按梯形分布的载荷p1、p2（图3-6）。

①单元i-j-k的任意一点受集中载荷P，则单元等效节点载荷{F}

②单元i-j-k的任意一面受体力F，则单元等效节点载荷{F}_V

③单元i-j边上受分布表面力F，则单元等效节点载荷｛F｝V

2、矩形单元上载荷的转移

①矩形单元自重作用

图3-4

②矩形单元内某点作用集中力

图3-5

用上述方法也可以计算简支梁的等效节点载荷值。

八、    平面问题的有限元解法

平面问题的有限元解一般方法和步骤：

1、根据单元的性质和精度要求，写出表示单元体内任意点的位移函数，其矩阵形式

  式3-29

式中：

2、对表达式（式4-8）应用节点处的边界条件，写出以｛α｝表示的节点位移u₁、v₁、w₁、u₂、v₂、w₂、。。。。。。，其矩阵形式

    式3-30

式中：

    式3-31

    式3-32

式中：

是形状函数，是单元体内任意点位移的关系式。

3、用表达式（式4-11）计算单元的应变

    式3-33

4、根据应力应变关系，计算单元的应力，

    式3-34

式中：

是弹性矩阵，根据单元体的性质选取。

5、作用在单元上的外力

对节点位移

的外力位能

    式3-35

6、根据虚位移原理（或应变能），可以得到单元刚阵

    式3-36

7、由总位能泛函式的极值条件δΠ=0（或虚位移原理），可以得到力刚阵

    式3-37

8、把各单元进行组集，即

    式3-38

9、对K进行边界条件处理，并求解方程组

,得出结构各节点位移

。

10、根据节点位移，应用

和

，计算各节点的应力。

题1：题图1-a为一个对角受压的正方形薄板，载荷沿厚度t均匀分布，其值为20MPa,为简单起见取μ=0，t=1 m，求变形和应力。

解：由于对称，可取板的四分之一来分析，如题图1-b所示。

1、单元剖分

把计算部分（见题图1-b）分为四个单元①、②、③、④，并对四个单元分别编出节点号码i、j、k，如题图1-c和题图1-d。

2、单元分析

由于单元①与单元②、单元④具有相同的性质。所以只需单元①和单元③进行分析。

对于单元①，由于x_i=1，y_i=1；x_j=0，y_j=2；x_k=0，y_k=1，则

而

对于单元③，由于x_i=0，y_i=1；x_j=1，y_j=0；x_k=1，y_k=1，则

而

根据上列数值及μ=0，t=1，可得各单元的刚阵（此时

）

3、单元组集

按节点位移序号组成全结构的总刚阵

4、边界条件约束处理

由于u₁ = u₂ = u₄ = 0,v₄ = v₅ = v₆ =0，所以只需考虑v₁、v₂、v₃、u₃、u₅、u₆六个位移，因此缩减的刚阵是

节点力列阵是

与缩减的刚阵对应的缩减节点力列阵是

5、线性方程组建立与求解

将Fr、Kr之值代入Fr=Kr·qr中，得

解方程组，可得

 

6、单元应力分量的计算

由题可知，正方形薄板属于平面应力问题。各单元①、②、③、④的应力矩阵分别为

则各单元的应力是

单元①：

单元②：

单元③：

单元④：

题2：题图2-a为一个悬臂深梁，在右端作用着均布的剪力，其合力为P,采用图示的简单网格。设泊松比μ=1/3，t=1，试求结点位移量。

解：

1、单元剖分

把悬臂深梁剖分二个单元①，②，并分别编出单元节点号码i,j。如题图2（b）所示。

2、单元分析

对于单元①，由于x_i=2，y_i=0，x_j=0，y_j=1，x_k=0，y_k=0，则

而

对于单元②，由于x_i=0，y_i=1，x_j=2，y_j=0，x_k=2，y_k=1，则

而

根据上列数值及μ=1/3，可得各单元的刚阵（此时

）

3、单元组集

按节点位移序号组成全结构的总刚阵为

4、边界条件约束处理

由于u₁=v₁=u₄=v₄=0，所以只需考虑u₂,v₂,u₃,v₃四个位移。因此，减缩刚阵为

节点力列阵是

与缩减的刚阵对应的缩减节点力列阵是

5、线性方程组建立与求解

将Fr、Kr之值代入Fr=Kr·qr中，得

解方程组，可得