繁分数
连分数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数。给定一有理数
连分数，用熟知的辗转相除法，可展成有限连分数即连分数，其中α0,α1,…,αN是辗转相除法中依次得到的不完全商，规定αN>1，则表法惟一。如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表一无理数。
渐近分数和完全商 在连分数【α0，α1,…,αn,…】中取
连分数连分数
而写连分数,叫做连分数【α0,α1,…,αn,…】的第n个渐近分数。 定义αń=【αn,αn+1,…】为连分数【α0，α1,…,αn,…】的第n个完全商。
渐近分数有如下简单关系：
①连分数连分数连分数
②连分数连分数连分数
③(pn,qn)=1和qn≥n (n≥2)
④连分数
由此可得连分数存在；⑤设α =【α0,α1,…,αn,…】,n≥1，0<q≤qn，且连分数，则连分数,故在分母不大于qn的诸分数中, 连分数与α最接近；⑥设α=【α0,α1,…,αn,…】,则连分数；反之，若有一个有理数连分数适合连分数，则连分数必为α的某个渐近分数。
完全商有如下简单性质：①连分数,一般地,连分数；②αn=【αń】，n=0，1,2，…，由此可推出实数展成连分数时表法惟一。该实数为有理数时，规定最后一个αN>1。
循环连分数 设α=【α0,α1,…,αn,…】,如果l≥m时，对某个固定的正整数k,有αl=αl+k,那么这样的连分数叫做循环连分数，这种最小的 k叫做它的周期，记为 连分数连分数。例如 连分数等。运用渐近分数、完全商的性质以及,J.-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦然。
当D>0且不是平方数,则连分数连分数，其中函数【x】表示不超过x的最大整数。此外，设佩尔方程x2-Dy2=1的最小解为ε，则连分数的周期k满足连分数。
应用举例 连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α 的三个连续渐近分数中必有一个适合连分数。由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数连分数。式中连分数是最佳的,即设连分数，则必有一无理数α，使连分数不能有无穷多个解，如连分数就是这样一个数；②设D>0且不是平方数,连分数之连分数展开式中αń可表为连分数连分数，此处Pn及Qn皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)n-1Qn=1,则x=pn-1,y=qn-1是佩尔方程x2-Dy2=1的最小解;③利用连分数可以证明数论中一个著名的定理：设素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面，如求多项式的根的近似值，等等。
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