圆的切线专题                                   

直线与圆的位置关系

直线和圆 的位置关系	O   r   d               相离	O   r   d   O             相切阿	O r   d O               相交
公共点的个数	0个	1个	2个
圆心到直线的距离d与半径r的关系
直线的名称		切线	割线
公共点名称		切点	交点

  在解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线. （1）已知直线是圆的切点线时，通常需要连接圆心和切点，这条半径垂直于切线. (2) 要证明一条直线是圆的切线：①如果直线经过圆上某一点，则需要连接这点和圆心得到辅助线半径，在证明所作半径垂直于这条直线，（已知公共点，连半径证垂直）；②如果条件中直线与圆的公共点没有确定，那么应过圆心做直线的垂线，得垂线段，在证明这条垂线段的长等于半径. (未知公共点，作垂线证半径)

切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.

三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆.

三角形的内心：三角形内切圆的圆心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.三角形的内心是三角形三条    

            内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.

精品例题展示

1.

A

D

C

B

O.  

已知，?ABC内接于⊙O，AB是一条非直径的弦，∠CAD=∠B,试判断AD

与⊙O的位置关系，并说明理由.【反之成立吗】

 

 

 

P

F

B

O

E

A

Q

2.已知：PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，Q为弧AB上一点，

过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12 cm ,∠P＝700，

（1）求?PEF的周长；（2）求∠EOF的度数.

 

 

3. ABC的内切圆的半径为r，?ABC的周长为

，求?ABC的面积S.

B  

C  

A  

I. 

 

 

 

 

变式题：ABC中，I是内心，∠BIC＝1100，求∠A.

 

 

B

C

A

D

N

G

H

P

F

E

.O    

4. 等腰梯形ABCD的上底为4，下底为10，⊙O是该梯形的内切圆，与

各边的切点分别为M、N、G、H，内切圆⊙O的半径为2，P为⊙O上的一点，

EF是过P的⊙O的切线，分别交AB于E，BC于F，求?BEF的周长

5. 已知：⊙O是

的内切圆，∠C＝900.

 （1）若AC＝12cm，BC=9cm,求⊙O的半径r；

 （2）若AC=b,BC=

,AB=c,求⊙O的半径r.

 

 

 

6. 已知：⊙O内切于等腰梯形ABCD，切点分别是E、H、F、G，AB∥DC,AD=BC.

A  

BB  

C  

D  

E  

H  

G  

F  

O  

  (1) 求证：线段EF是⊙O的直径；

  (2) 求证：∠AOD＝900；

 （3）若AB=

，DC=2b，求此梯形的面积S.

 

 

 

 

 

练习：

1．如图，⊙O内切于△ABC三边与E,D,F,若∠EOF=70°，则∠A=        .

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=BC=4,则△ABC的内心和外心的距离为          。

3.如图，一圆内切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为     。

4.如图梯形ABCD中，AD∥BC,DC⊥BC,AB=8,BC=5,若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，DC=         .

 

5. ⊙O的圆心到直线

的距离为

，⊙O的半径为R，当d、R是关于

的方程

的两根，直线

 与⊙O的位置关系是       ；若⊙O的圆心到直线

的距离d与⊙O的半径R为关于

的方程

的根，且直线

与⊙O相切，则m的值是      .

6．（2005年山西省）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动．

当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为多少？

7．（武汉市）如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，

为半径的圆的位置关系是________．

 

A  

B  

C  

E  

D  

O. 

8.已知一正方形的内切圆半径为1，那么这个正方形与它的内切圆及外接圆的面积的比为［    ］

　　A.4∶π∶2π　 B.4∶2π∶π   C.4∶2π∶1　　D.4∶1∶2

9.在圆外切四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶AD只可能是［     ］

　　A.2∶3∶4∶5　　 B.3∶4∶6∶5    C.5∶4∶1∶3　　 D.3∶4∶2∶5

10. 如图，两个圆的圆心都为O，大圆的弦AB、AC分别和小圆相切于点D和E.

求证：DE∥BC且

.

 

 

 

A  

B    

C  

F  

D  

E  

I. 

11. 已知?ABC的内切与圆I分别切BC、CA、AB于点D、E、F.求证：∠EDF＝

（∠B+∠C）.

 

 

 

12. 已知：如图，⊙O内切于

，∠BOC＝1050，∠ACB＝900，AB=20cm.

A  

C  

B  

O  

  求：BC、AC.

 

 

D  

A  

B  

C  

H  

F  

E  

G  

.   

D  

13. 如图，四边形ABCD外切于⊙O，切点分别是E、F、G、H点.

 (1) 若AB＝6cm，DC=8cm，求AD+BC;

 (2) 四边形ABCD的对边之和AB+CD与AD+BC之间有怎样的数量关系？

并证明你的结论.

 

 

14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按角分类），并说明理由．

 

 

 

 

精品方法点拨

一．勾股定理应用

.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延长线于点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若CE=3，BE=2，求CD的长．

 

 

 

 

 

二．平行线性质应用

1.如图，在等边三角形ABC中，以BC为直径的半圆O与AB边交于点D，

DE⊥AC于E.

（1）求证：DE是半圆O的切线；

 

 

 

 

 

2.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．

（1）

求证：DE是⊙O的切线；

（2）

若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．

 

 

 

三．30°角的应用

1.如图，

 是半⊙O的直径，弦

与

成30°的角，

.

（1）求证：

是半⊙O的切线；

（2）若

，求AC的长.

 

 

 

 

2.如图，四边形ABCD内接于

，BD是

的直径，

于E，

DA平分

.

（1）求证：AE是

的切线；

（2）若

 

 

 

 

四．做半径证切线是常规，但有些需做直径

1．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

 

 

 

 

 

 

 

2.如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

 

 

 

 

五．求弦长过圆心向弦做垂线构造直角三角形利用垂径定理，有些除外

已知：如图，点

是⊙

上一点，半径

的延长线与过点

的直线交于点

，

，

．

（1）求证：

是⊙

的切线；

（2）若

，

，求弦

的长．

 

 

 

 

 

六．等腰三角形三线合一应用（及等积法）

1．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径

作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，

DC的延长线与AB的延长线交于点P .

（1）求证：PD是⊙O的切线；          

（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.

 

 

 

 

 

2.如图，以等腰

中的腰

为直径作⊙

，交底边

于

点

．过点

作

，垂足为

．

（I）求证：

为⊙

的切线；

（II）若⊙

的半径为5，

，求

的长．

 

 

 

 

 

七．构造直径对的圆周角应用

.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O

交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E．

求证：BE=CE．

 

 

 

 

 

 

 

八．与相似的应用

A  

O  

C  

D  

E  

F  

B  

已知：如图，在Rt?ABC中，∠ACB＝900，AC=4，BC=

,以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，OB、DE交于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求EF:FD的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

综合1.

1.如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为

，

直线

：

与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相交于点M.

(1)求点A的坐标及∠CAO的度数；

（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线

绕点A顺时针匀速旋转.当⊙B第一次与⊙O相切时，直线

也恰好与⊙B第一次相切.问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？

（3）如图2，过点A、O、C三点做⊙

，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（ 不与A，O两点重合），

的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由.

y

x

B 

M

O

A

C

  

图1  

A

C

O

E

  

y

x

图2  

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

2.如图，P为正比例函数

图像上一个动点，⊙P的半径为3，

设点P的坐标为（x，y）．

（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；

（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．

 

 

 

综合2五年中考

1.(07) 已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A

的直线交于B点，OC = BC，AC =

OB

   （1）求证：AB是⊙O的切线；

   （2）若∠ACD =45o，OC =2，求弦CD的长.

 

 

 

 

 

D

C

O

A

B

E

2.(08)已知：如图，在

中，

，点

在

上，以

为圆心，

长为半径的圆与

分别交于点

，且

．

（1）判断直线

与

的位置关系，并证明你的结论；

（2）若

，

，求

的长．

 

 

 

 

 

 

3.(09). 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）当BC=4,cosC=

时，求⊙O的半径.

 

 

 

 

4.(10)

 

 

 

 

 

 

A

O

B

F

C

D

E

5.（11）．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．

(1)求证：直线BF是⊙O的切线；

(2)若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

6.已知：如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=

,以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，OB、DE交于点F。

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求EF:FD的值。

 

 

 

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