轴子及其超辐射现象

瞬子解以及轴子的提出

在上世纪七十年代，量子色动力学(QCD)的提出表明人类对强相互作用的认识已经达到了空前的高度。无数的实验都在不断证实这个理论的正确性。量子色动力学，电弱统一理论和希格斯机制共同构成的标准模型甚至正确到让人怀疑人类是否已经找到了微观世界的终极理论，剩下的是否只有修修补补的工作。

但是在理论的进一步发展中，人们在理论上发现了 QCD 中一些奇怪的现象，其中比较有名的就是强 CP 问题。人们发现，规范场的瞬子解能够使得下面这个积分不为零

C_2 = \frac{g^2}{16 \pi^2}\int d^4x\,{\rm Tr}(G_{\mu \nu} \tilde{G}^{\mu \nu})

其中，

g

是强相互作用耦合常数，

G_{\mu\nu}

是胶子的场强张量，

\tilde{G}_{\mu\nu}

是场强张量的 Hodge 对偶，

C_2

在纤维丛理论中被称为第二陈数。瞬子解的存在使得上式结果不为零，这是一件意义非凡的事，因为利用 Bianchi 恒等式我们可以发现，被积函数是一个全导数项，即(左滑可查看完整公式)

{\rm Tr}(G_{\mu \nu} \tilde{G}^{\mu \nu}) = 2\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \partial_\mu {\rm Tr}\left[A_\nu(\partial_\rho A_\sigma - \frac{2}{3}i g A_\rho A_\sigma)\right]

如果要求场在无穷远处为零，那么这样的全导数项在四维时空下做积分就会为零。但是瞬子解的

A_\mu

在无穷远处并不为零，这就导致

C_2

可以不为零。可以证明

C_2

的值一定为整数，其大小由瞬子的拓扑荷决定。

更深入的研究表明，瞬子解连接着不同缠绕数(winding number)的真空。物理上的真空应该为各种不同缠绕数真空的线性叠加。假设

|n\rangle

表示缠绕数为

n

的真空，则物理真空为

|\theta\rangle=\sum_n e^{-in\theta}|n\rangle

其中

\theta

相位的引入是因为实现

\Delta n =1

的规范变换算符

R_1

是一个幺正算符。对规范不变的物理量的本征态

|\theta\rangle

做

R_1

变换，至多只能改变态的相位。在计算

\theta

真空的

S

矩阵元

_{\rm out}\langle\theta|\theta\rangle_{\rm in}

之后，我们可以得到考虑了不同

\theta

真空跃迁后的有效 QCD 拉格朗日密度

\mathcal{L}_{\rm eff} = -\frac{1}{4}G_{\mu \nu}G^{\mu \nu} \bar{\psi}D\!\!\!\!/\,\psi \frac{\theta g^2}{32\pi^2}G_{\mu \nu}\tilde{G}^{\mu \nu}

第三项是相较于传统 QCD 理论中多出来的一项，并且这一项不是 CP 变换下不变的，它预言的 CP 破坏效应与

\theta

的大小有关。

由流代数可以得到破坏 CP 的核子 -

\pi

介子耦合项，并进一步得到

\theta

对中子电偶极矩的贡献。实验上可以得到

|\theta| < 10^{-9}

这是一个令人费解的结果，因为

\theta

是由于强相互作用推理得到的，它不应该这么小。这就是所谓的强 CP 问题。

为了解决这个问题，一个天才的想法诞生于 1977 年的一篇 PRD 中[1]。这篇文章阐述了如果我们在拉氏量中加入一个额外的全局

U(1)

对称性，在这个对称性破缺之后，人们可以自然地引入一个赝标量玻色子。这个对称性被人们称为

U(1)_{\rm PQ}

对称性，这个粒子被称为轴子。轴子能影响可观测

\theta

的大小，使得

\theta

不完全由强相互作用提供，并且能进一步地解释为何这个值是如此之小。

基于这篇文章的想法，理论工作者们总共构造出了三种轴子理论，分别为 PQWW 轴子[1]，KSVZ 轴子[2]，DFSZ 轴子[3]。尽管在构造的细节上这三个模型有所区别，但是在破缺 PQ 对称性和手征变换后， QCD 有效拉氏量中的第三项总会变成

\Delta\mathcal{L}=\left(\theta - \frac{a}{f_a}\right)\frac{g^2}{32\pi^2}G_{\mu \nu}\tilde{G}^{\mu \nu}

其中

f_a

是轴子的衰变常数，预示着轴子物理出现的能标。轴子理论能解决强 CP 问题的原因就在于轴子场的真空期望值满足

\left(\theta - \frac{\langle a\rangle}{f_a}\right) \sim 0

上式左侧作为实际测量的物理量，既不排除由强相互作用得到的

\theta

很大的可能性，同时又说明了测量值很小的原因。

除了能对强 CP 问题做出如此美妙的解释之外，轴子还能作为暗物质的候选粒子，能解释恒星演化、超新星爆发等天文现象的功率辐射问题。因此轴子作为超出标准模型的新粒子一直吸引着理论工作者和实验工作者的注意力。

另外，上面关于

\theta

的贡献除了由

|\theta\rangle

提供的

\theta_{\rm QCD}

和轴子真空期望值贡献的部分，还有由夸克质量矩阵在手征变换后贡献的部分

\theta_{\rm QFD}

。不过这涉及到轴矢流反常，细说会偏离主题，在此略过。

轴子的超辐射

超辐射是一个广为人知的同时包含量子系统和经典系统的现象。假设一个无质量的标量场以平面波形式 $e^{-i\omega t im\phi}$ 朝着旋转的 Kerr 黑洞入射，如果满足条件 $\omega < m \Omega$ ，那么反射波将带走一部分黑洞的能量和角动量，使得反射波大于入射波。这就是超辐射现象。这里的 $\omega$ 是入射波的能量， $m$ 是入射波的磁量子数， $\phi$ 是 Boyer-Lindquist 坐标系下的极角， $\Omega$ 是黑洞旋转的角速度。Press 和 Teukolsky 曾经假设过，如果在黑洞周围围绕上一份能反射标量场的“镜子”，那么这个波能不停地提取黑洞的能量和角动量，直到条件不再满足[4]。

然而事实是，只需要标量场有质量，我们就能做到不断提取能量和角动量。在引力作用下，原本应该被反射的标量场将会被束缚在黑洞附近。被束缚的场如果依旧满足条件，则会继续提取能量，最后表现为束缚态的场呈现指数形式地增大。这里有两个细节需要注意。首先是被束缚的场必须是玻色子场，这样才能规避泡利不相容原理的限制。其次是被束缚的粒子的德布罗意波长必须与黑洞的尺度相媲美，否则量子理论的描述将会失效。一般来说，能出现超辐射效应的轴子质量应该在 $10^{-20} \sim 10^{-3}{\rm eV}$ 。

下面以轴子作为例子说明大致的推导思路，具体的推导细节可以看文献[5]。如果对推理思路不感兴趣，可以直接跳到文末总结来认识这个现象。

自由轴子场的运动方程在 Kerr 时空背景下可以写为

\begin{aligned} &\left(\nabla^\mu \nabla_\mu - \mu ^2\right) \Phi = 0 \Rightarrow\,&\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} g^{\mu \nu} \partial_\nu\Phi \right) - \mu^2 \Phi = 0 \end{aligned}

其中

g

是度规

g_{\mu \nu}

的行列式。假设方程存在以下形式的解

\Phi_{lm}(t,r,\theta,\phi)=e^{-i\omega t} R_{lm}(r) S_{lm}(\theta) e^{im\phi}

l,m

的含义与量子力学中氢原子外电子波函数的指标一样，代表了不同角动量模式。将上式代入轴子场的运动方程，进行复杂的计算与变量替换之后，和氢原子的情形相似，我们可以得到只与半径有关的方程和只与角度有关的方程(左滑可查看完整公式，下同)

\begin{split} &\left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{d}{d\theta} \left(\sin\theta \frac{d}{d\theta}\right) - a^2 q^2 \cos^2\theta - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right] S_{lm}(\theta) = A_{lm} S_{lm}(\theta) &\frac{d^2\Psi_{lm}}{dx^2} \left[\omega^2 - V(\omega, x)\right]\Psi_{lm} = 0 &V(\omega, x) = -\frac{4\varpi^2}{x^4} - \frac{8\omega\varpi}{x^3} \frac{\beta(\beta-1)}{x^2} - \frac{2qv}{x} \mu^2 \end{split}

其中

x = (r-r_ )/r_

是一个只与半径

r

有关的新变量，而

\Psi_{lm}(x) = x R_{lm}(x)

。径向方程尤为重要，它决定了本征能量的形式

\omega = \omega_R i \omega_I

，而本征能量的实部决定了能级能量，虚部决定了波函数增大(或者减小，取决于虚部的正负)的速率。

我们无法直接解径向方程，但我们能得到它在某些区域的近似解，并利用函数匹配的方法可以半解析地得到本征能量的形式。如果考虑视界附近和无穷远处，势能部分的某些项可以被忽略。在给定无穷远处为零和在视界上是纯入射形式的边界条件，径向方程的解可以由合流超几何函数近似。当

x<1/(2q)

时，有

\begin{aligned} \Psi_{I}(x)= - A_{I} \frac{\pi}{\sin(2\pi\beta)}\left[\frac{x^\beta}{\Gamma[\beta-2i\omega]\Gamma[2-2\beta]} - \frac{(-4i\varpi)^{2\beta-1}x^{1-\beta}}{\Gamma[1-\beta-2i\omega]\Gamma[2\beta]}\right] \end{aligned}

当

x>-4\varpi

时，有

\Psi_{II}(x) = A_{II} \frac{\pi}{\sin(2\pi\beta)}\left[\frac{x^\beta}{\Gamma[1-\beta -\nu]\Gamma[2\beta]} - \frac{(2q)^{1-2\beta}x^{1-\beta}}{\Gamma[\beta-\nu]\Gamma[2-2\beta]}\right]

其中

I

指视界附近的区域，

II

指无穷远处。如果

I

和

II

存在重叠区域，那么重叠区域应该同时满足上述两个方程。容易发现函数

\Psi

对变量

x

的依赖是相同的，因此我们可以通过匹配

x

的系数得到与能量

\omega

有关的等式

\frac{\Gamma[1-\beta-\nu]}{\Gamma[\beta-\nu]} = (-8i\varpi q)^{2\beta-1} \frac{\Gamma[\beta-2i\omega]}{\Gamma[1-\beta-2i\omega]} \left(\frac{\Gamma[2-2\beta]}{\Gamma[2\beta]}\right)^2

利用数值解的方法，假设

l=m=1

，

n=0

，我们可以得到本征能量虚部与轴子质量之间的关系。如下图所示

来自于[5]的图二。对于

l=m=1

，

n=0

的情况，虚部是正的，表明波函数呈指数增大。同时显然在

\mu M \approx 0.48

附近存在两个峰。

在这种方法下，

\omega_I

存在较为怪异的行为，也就是在

\mu M \approx 0.48

附近存在着两个峰和一个谷。但实际上这些行为并不是物理的。在伽马函数的奇点附近，由于有

\log x

参与修正，波函数对于变量

x

的依赖不再是简单的多项式形式，因此函数匹配方法将会失效。

如果我们不在一个区域上做函数匹配，而是在某些给定的重叠区域中的点做函数匹配，这个奇怪的行为将会消失。在类似的操作之下，我们可以得到下图

来自于[5]的图四

图中红色的线是函数在某一特定点匹配得到的。可以看出，利用这种方法得到的

\omega_I

变得平滑，并且与利用 infinte continued fraction 得到的结果接近[6](绿色的线)。

总结

以轴子为例，轴子能在黑洞附近形成近似于稳定的轴子云。“近似于稳定”这个说法来源于，如果轴子云满足超辐射的条件，那么束缚态的轴子云会不停提取黑洞的能量和角动量，表现为波函数的指数增大，直到不再满足条件。在仅考虑引力效应的时候黑洞和轴子云组成的系统就像是一个非常大的氢原子——黑洞就像是原子核，提供束缚的势能，轴子云就像电子云，它能量是量子化的，由几个量子数决定。

实际上，轴子云可以出现在任意的大质量天体中，例如脉冲星。脉冲星与轴子共同组成的系统非常有趣，因为脉冲星附近有人类目前所知最强的磁场，因此轴子-光子的耦合可能能产生可观测的信号。这是一个可以用来寻找轴子的实验，但目前还没有任何实验室开展相关工作，其中的原因有两个。第一个是脉冲星附近的环境非常复杂，不管人们用什么模型，计算的不确定性都是不可忽略的。第二个是因为脉冲星附近的轴子会参与很多不同的反应，例如共振转换，轴子-等离子体的相互作用等等，因此理论上需要做进一步的讨论，做出更符合事实的描述。笔者也在这一块做着力所能及的尝试。

最后，这篇文章如有错误，欢迎指正。希望这篇文章能帮助到各位。

参考文献：

[1] P.D. Peccei and Helen R. Quinn, PRD 16 (1977)

[2] J.E. Kim, PRL 43 2 (1979)

[3] Michael Dine, Willy Fischler and Mark Srednicki, Physics Letter 104B 3 (1981)

[4] W.H. Press and S.A. Teukolsky, Nature 238 (1972) 211

[5] J.G. Rosa, JHEP 06 (2010) 015

[6] S.R. Dolan, PRD 76 (2007) 084001

作者简介

本文作者黄佳志是我(Chung Lee)在理论物理研究所的一位同学，人称理论所最帅男生，明明可以靠脸吃饭，却非要来理论所和我们卷。

这是他读研之前的照片。多年以后，面对镜子，他将会回想起，他曾经拥有的茂密头发。

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